第33講等高線問題【典型例題】例1．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為A． B． C． D．例2．已知函數(shù)，若成立，則的最小值為A． B． C． D．例3．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則最小值為A． B． C． D．例4．已知函數(shù)，若存在實數(shù)，，，，滿足，且，則的取值范圍是A． B．， C．， D．例5．已知函數(shù)，，若，，則的最大值為．例6．已知函數(shù)，若存在互不相等實數(shù)、、、，有（a）（b）（c）（d），則的取值范圍是．例7．已知，若存在實數(shù)，，，滿足．且，則的取值范圍為，．例8．函數(shù)對于任意，均滿足，，若存在實數(shù)，，．滿足（a）（b）（c）（d），則的取值范圍是．例9．已知函數(shù)對于任意，均滿足，當(dāng)時，，若存在實數(shù)，，，滿足（a）（b）（c）（d），則的最大值為．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為A． B． C． D．2．已知函數(shù)f（x）對于任意x∈R，均滿足f（x）＝f（2﹣x），當(dāng)x≤1時，f（x）＝，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)a，b，c，d（a＜b＜c＜d）滿足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），則（a+b+c+d）b﹣ea的取值范圍為（）A．（﹣1，4） B．[﹣1，） C．（，4） D．[2ln2﹣1，）3．已知函數(shù)，，若，，則的最小值為A． B． C． D．4．已知函數(shù)，．若，，則的最小值為A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若對任意，，總存在，使，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．6．已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點，則的最小值為A．2 B． C． D．二．多選題7．已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點，則A．的最小值為 B．使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線 C．函數(shù)至少存在一個零點 D．使得曲線在點處的切線也是曲線的切線8．已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于、兩點，則A．的最小值為 B．存在實數(shù)，使得曲線在點處的切線平行于曲線在點處的切線 C．函數(shù)至少存在一個零點 D．存在實數(shù)，使得曲線在點處的切線也是曲線的切線三．填空題9．已知函數(shù)，若有且僅有不相等的三個正數(shù)，，，使得，則的值為12．10．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，，，則的取值范圍是．11．已知函數(shù)，存在三個互不相等的正實數(shù)，，且有（a）（b）（c），則（a）的取值范圍是．

第33講等高線問題【典型例題】例1．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：不妨設(shè)，，，，故，令，，，易知在上是增函數(shù)，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，取得極小值同時也是最小值，此時，即的最小值為；故選：．例2．已知函數(shù)，若成立，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：不妨設(shè)，，，，，，故，，令，，，易知在上是增函數(shù)，且，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減．即當(dāng)時，取得極小值同時也是最小值，此時，即的最小值為．故選：．例3．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則最小值為A． B． C． D．【解析】解：函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又（1），所以時，；時，，同時，若存在，，使得成立，則且，所以，即，又，所以，故，令，，則，令，解得，令，解得：，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，故選：．例4．已知函數(shù)，若存在實數(shù)，，，，滿足，且，則的取值范圍是A． B．， C．， D．【解析】解：函數(shù)的圖象如圖所示其中，且，，關(guān)于對稱，，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)時，，的取值范圍為，故選：．例5．已知函數(shù)，，若，，則的最大值為．【解析】解：由題意得，，即，由函數(shù)，得，所以時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，時，作函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時，有唯一解，故，且，，設(shè)，，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以（e），即的最大值為．故答案為：．例6．已知函數(shù)，若存在互不相等實數(shù)、、、，有（a）（b）（c）（d），則的取值范圍是．【解析】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，設(shè)與函數(shù)的交點自左至右依次為，，，，由圖可知，，，由，解得，由，解得，故，，，，在，上是減函數(shù)，，，故的取值范圍是，．故答案為：，．例7．已知，若存在實數(shù)，，，滿足．且，則的取值范圍為，．【解析】解：由題意，函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖象知，，；由，關(guān)于對稱，可得，，可得，那么，構(gòu)造新函數(shù)，，；則，，；在區(qū)間，單調(diào)遞增，可得，在區(qū)間，單調(diào)遞減，，可得數(shù)區(qū)間，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值為故答案為，；．例8．函數(shù)對于任意，均滿足，，若存在實數(shù)，，．滿足（a）（b）（c）（d），則的取值范圍是．【解析】解：由函數(shù)對于任意，均滿足，可知的對稱軸方程為．又當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，與，與關(guān)于直線對稱，，，又（a）（b），，，，，設(shè)（b），，（b），（b）在上單調(diào)遞增，（b），即，，，即的范圍為，．故答案為：，．例9．已知函數(shù)對于任意，均滿足，當(dāng)時，，若存在實數(shù)，，，滿足（a）（b）（c）（d），則的最大值為．【解析】解：函數(shù)對于任意，均滿足，可得的圖象關(guān)于直線對稱，即，（a）（b），即有，即，，，可設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值3，由在，遞減，可得的最大值為（3），故答案為：3．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：，函數(shù)定義域，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，（1），所以時，；時，；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時，所以若存在，，使得成立，則且，所以，即，所以，，令，，，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，．故選：．2．已知函數(shù)f（x）對于任意x∈R，均滿足f（x）＝f（2﹣x），當(dāng)x≤1時，f（x）＝，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)a，b，c，d（a＜b＜c＜d）滿足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），則（a+b+c+d）b﹣ea的取值范圍為（）A．（﹣1，4） B．[﹣1，） C．（，4） D．[2ln2﹣1，）【解析】解：由函數(shù)f（x）對于任意x∈R，均滿足f（x）＝f（2﹣x），可知f（x）的對稱軸方程為x＝1．又當(dāng)x≤1時，f（x）＝，∴作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：由圖可知，a與d，b與c關(guān)于直線x＝1對稱，則a+b+c+d＝4．又∵f（a）＝f（b），∴ea＝lnb+2，因此（a+b+c+d）b﹣ea＝4b﹣lnb﹣2．由題意知，＜b≤，令g（b）＝4b﹣lnb﹣2，（＜b≤），則g′（b）＝4﹣，令g′（b）＝0，得b＝，故g（b）在上單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增．故，由，g（）＝，而＞0．∴g（b）∈[2ln2﹣1，）．故選：D．3．已知函數(shù)，，若，，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：的定義域為，所以，，，，，則，又因為，所以，令，則，，當(dāng)時，，遞增，所以，則，，，所以在區(qū)間上，，遞減；在區(qū)間，上，，遞增，所以的最小值為，即選項正確．故選：．4．已知函數(shù)，．若，，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：，即，①，，②，又在，上單調(diào)遞增，故由①②得，故，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，故選：．5．已知函數(shù)，若對任意，，總存在，使，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：對任意，，，即函數(shù)的值域為，，若對任意，，總存在，使，設(shè)函數(shù)的值域為，則滿足，即可．當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，則此時，當(dāng)時，，，①當(dāng)時，即時，要使，成立，則此時，所以；②當(dāng)時，此時，要使，成立，則此時當(dāng)時，，，此時滿足，即，得，綜上或，故選：．6．已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點，則的最小值為A．2 B． C． D．【解析】解：由題意，，，，其中，且，，令，則，，時，；時，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，時，．故選：．二．多選題7．已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點，則A．的最小值為 B．使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線 C．函數(shù)至少存在一個零點 D．使得曲線在點處的切線也是曲線的切線【解析】解：令，得，令，得，則點、，如下圖所示：由圖象可知，，其中，令，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，．函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，選項正確；，，則，，曲線在點處的切線斜率為，曲線在點處的切線斜率為，令，即，即，則滿足方程，使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線，選項正確；構(gòu)造函數(shù)，可得，函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，（1），則存在，使得，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．，函數(shù)沒有零點，選項錯誤；設(shè)曲線在點處的切線與曲線相切于點，，則曲線在點處的切線方程為，即，同理可得曲線在點處的切線方程為，，消去得，令，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，（1），，則存在，使得，且．當(dāng)時，，當(dāng)時，．函數(shù)在上為減函數(shù)，，，由零點存定理知，函數(shù)在上有零點，即方程有解．使得曲線在點處的切線也是曲線的切線．故選：．8．已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于、兩點，則A．的最小值為 B．存在實數(shù)，使得曲線在點處的切線平行于曲線在點處的切線 C．函數(shù)至少存在一個零點 D．存在實數(shù)，使得曲線在點處的切線也是曲線的切線【解析】解：令，得，令，解得，則點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，，畫出，的圖象和直線，如圖所示：由圖象可知，，其中，令，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，故正確；因為，，則，，曲線在點處的切線的斜率為，曲線在點處的切線的斜率為，令，即，即，因為滿足方程，所以存在實數(shù)，使得曲線在點處的切線平行于曲線在點處的切線，故正確．由函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，（1），所以存在，，使得，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)沒有零點，故錯誤；設(shè)曲線在點處的切線與曲線相切于點，，同理，曲線在點處的切線方程為，所以，消去得，令，則，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，因為（1），（2），則存在實數(shù)，使得，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，因為（2），（8），由函數(shù)零點存在定理知，函數(shù)在上有零點，即方程在上有解，所以，存在實數(shù)，使得曲線在點處的切線也是曲線的切線，故正確．故選：．三．填空題9．已知函數(shù)，若有且僅有不相等的三個正數(shù)，，，使得，則的值為12．【解析】解：不妨設(shè)、、、按從左到右順序排列：如圖：當(dāng)時，有且僅有不相等的三個正數(shù)，，，使得，則當(dāng)時，，，，此時；如圖，，結(jié)合上問可知，當(dāng)時，存在，使得，不妨令此時，則對于、滿足方程，即，所以；對于、滿足方程，即，所以，則有，所以，其中，則，故答案為：12；．1