（蘇科版）七年級上冊數(shù)學(xué)《第2章有理數(shù)》2.3數(shù)軸知識點一知識點一有理數(shù)◆1、有理數(shù)的概念：我們把能寫成分?jǐn)?shù)形式（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)．所有的整數(shù)都可以表示為分母為1的分?jǐn)?shù)，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，它們都是有理數(shù)．【注意】引入負(fù)數(shù)之后，小學(xué)學(xué)過的奇數(shù)和偶數(shù)的范圍相應(yīng)地擴(kuò)大了，奇數(shù)和偶數(shù)也可以是負(fù)數(shù).知識點二知識點二有理數(shù)的分類①按有理數(shù)的定理分類：有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)②按有理數(shù)的性質(zhì)符合分類：有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是分?jǐn)?shù)，所以也是有理數(shù)；無限不循環(huán)小數(shù)（如π）不是分?jǐn)?shù)，就不是有理數(shù).【注意】：①分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，結(jié)果也不同；②分類的結(jié)果應(yīng)無遺漏、無重復(fù)；③零是整數(shù)，但零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).知識點三知識點三無理數(shù)◆1、無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，無理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)無理數(shù)．◆2、常見的無理數(shù)的幾種類型：一般的無限不循環(huán)小數(shù)：如0.357894…（2）看似有規(guī)律的循環(huán)實際上是無限不循環(huán)小數(shù)，如0.1010010001…（每兩個1之間的0依次加1）．（3）與圓周率π有關(guān)的式子，如π2知識點四知識點四數(shù)軸◆1、數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸.◆2、畫數(shù)軸的步驟：（1）畫直線，取原點：在直線上任取一點表示數(shù)0，這個點叫做原點；（2）標(biāo)正方向：通常規(guī)定直線上從原點向右(或上)為正方向，從原點向左(或下)為負(fù)方向；（3）選取單位長度，標(biāo)數(shù)：選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，···；從原點向左，用類似方法依次表示1，2，3，···.◆3、畫數(shù)軸的注意事項：(1)原點、單位長度和正方向三要素缺一不可；(2)直線一般是水平的；(3)正方向用箭頭表示，一般取從左到右；(4)取單位長度應(yīng)結(jié)合實際需要，但要做到刻度均勻.知識點五知識點五數(shù)軸上的點與數(shù)的關(guān)系1、有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反過來，數(shù)軸上的任意一點都表示一個有理數(shù)或無理數(shù)．2、數(shù)軸上原點右邊的數(shù)是正數(shù)，原點左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，0是正、負(fù)數(shù)的分界線.3、一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度；表示數(shù)a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度．知識點六知識點六利用數(shù)軸比較數(shù)的大小1.在數(shù)軸上的兩個點中，右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)．2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．題型一有理數(shù)概念的辨析題型一有理數(shù)概念的辨析【例題1】（2023?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）下列各數(shù)不是有理數(shù)的是（）A．1.5 B．﹣2 C．3π D．1【分析】根據(jù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【解答】解：A、1.5是有理數(shù)，故A不符合題意；B、﹣2是有理數(shù)，故B不符合題意；C、3π是無理數(shù)，故C符合題意；D、12是有理數(shù)，故D故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)，有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．解題技巧提煉整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是分?jǐn)?shù)，所以也是有理數(shù)；【變式11】（2023?青島三模）下列四個選項中的數(shù)不是分?jǐn)?shù)的是（）A．?12 B．227 C．【分析】根據(jù)無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，進(jìn)而判斷得出答案．【解答】解：A．?1B．227C．π2D．80%是分?jǐn)?shù)，故此選項不合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了有理數(shù)，正確掌握分?jǐn)?shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式12】（2023?大新縣校級模擬）下列各數(shù)中，是負(fù)整數(shù)的數(shù)是（）A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣2.5【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)的定義即可判定選擇項．【解答】解：A、2是正整數(shù)，故選項不合題意；B、2.5為正分?jǐn)?shù)，故選項不合題意；C、﹣2為負(fù)整數(shù)，故選項正確；D、﹣2.5為負(fù)分?jǐn)?shù)，故選項不合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的相關(guān)概念及其分類方法，然后就可以熟練進(jìn)行判斷，難度適中．【變式13】（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）下列各數(shù)：?74，1.010010001，833，0，﹣πA．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用有理數(shù)的概念分析得出答案．【解答】解：?74，1.010010001，833，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.1?2?，其中有理數(shù)為：故選：D．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的相關(guān)概念，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式14】（2022秋?西峰區(qū)校級期末）在“﹣1，﹣0.3，+116，0，﹣2.7”這五個數(shù)中，負(fù)有理數(shù)是【分析】根據(jù)小于零的有理數(shù)是負(fù)有理數(shù)，可得答案．【解答】解：負(fù)有理數(shù)是﹣1，﹣0.3，﹣2.7．故答案為：﹣1，﹣0.3，﹣2.7．【點評】本題考查了有理數(shù)，掌握小于零的有理數(shù)是負(fù)有理數(shù)是關(guān)鍵．【變式15】（2023春?閔行區(qū)期中）在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，?A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類得到在所給數(shù)中非負(fù)數(shù)為513【解答】解：在﹣15，513，﹣0.23，0，7.6，2，?非負(fù)數(shù)為513故選：B．【點評】本題考查了有理數(shù)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．題型二有理數(shù)的分類題型二有理數(shù)的分類【例題2】（2023春?南崗區(qū)校級月考）下列各數(shù)中，負(fù)有理數(shù)有（）個．﹣1，2.5，+43，0，﹣πA．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)負(fù)有理數(shù)的分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．【解答】解：負(fù)有理數(shù)有﹣1、﹣1.732、?2故選：C．【點評】本題考查了有理數(shù)分類，解題關(guān)鍵是掌握負(fù)有理數(shù)包括負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)．解題技巧提煉有理數(shù)有兩種分類方法，一是按定義來分，分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)；一是按性質(zhì)符號來分，分為正有理數(shù)、0和負(fù)無理數(shù).注意：如果一個數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．【變式21】（2022秋?盧龍縣期中）在有理數(shù)﹣0.2、﹣3、0、213、﹣5、1中，非負(fù)整數(shù)有【分析】0和正整數(shù)即為非負(fù)整數(shù)，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：有理數(shù)﹣0.2、﹣3、0、213則非負(fù)整數(shù)共2個，故答案為：2．【點評】本題考查有理數(shù)的分類，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．【變式22】（2022秋?隆回縣期末）在?13，227，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5這些數(shù)中，正有理數(shù)有m個，非負(fù)整數(shù)有n個，分?jǐn)?shù)有k個，則m﹣nA．3 B．4 C．6 D．5【分析】先求出m，n，k的值，再進(jìn)行計算即可．【解答】解：∵2270，14是非負(fù)整數(shù)，共2個；?13，∴m＝3，n＝2，k＝4，∴m﹣n+k＝3﹣2+4＝5．故選：D．【點評】本題考查的是有理數(shù)，熟知有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2022秋?東港區(qū)校級期末）下列說法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)有理數(shù)定義及其分類解答即可．【解答】解：①沒有最小的整數(shù)，故①錯誤，不符合題意；②有理數(shù)包括正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)，故②錯誤，不符合題意；③非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0，故③正確，符合題意；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，故④正確，符合題意；故選：C．【點評】本題側(cè)重考查的是有理數(shù)，掌握有理數(shù)定義及其分類是解決此題的關(guān)鍵．【變式24】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合圈里：﹣50%，0.628，﹣3，?7【分析】根據(jù)負(fù)有理數(shù)，分?jǐn)?shù)，以及非負(fù)數(shù)的定義判斷即可得到結(jié)果．【解答】解：負(fù)有理數(shù)集合：﹣50%，﹣3，?7分?jǐn)?shù)集合：﹣50%，0.628，?7非負(fù)數(shù)集合：0.628，0，5.9．【點評】此題考查了有理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的分類法是解本題的關(guān)鍵．【變式25】（2022秋?沈丘縣期末）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)：15，?19，﹣5，215（1）分?jǐn)?shù)集合{…}；（2）自然數(shù)集合{…}；（3）非正整數(shù)集合{…}；（4）非負(fù)有理數(shù)集合{…}；【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類解答即可．【解答】解：15，?19，﹣5，215（1）分?jǐn)?shù)集合{?19，故答案為：?19，（2）自然數(shù)集合{15，0，5…}；故答案為：15，0，5；（3）非正整數(shù)集合{﹣5，0…}；故答案為：﹣5，0；（4）非負(fù)有理數(shù)集合{15，215故答案為：15，215【點評】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)以及有理數(shù)，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．題型三無理數(shù)的概念題型三無理數(shù)的概念【例題3】（2023春?肇源縣期末）下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）A．﹣2 B．3.14 C．227 D．【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：無理數(shù)是π2故選：D．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．解題技巧提煉無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，無理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)無理數(shù)．小學(xué)學(xué)過的圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)，它的值是3.141592653589…，π是無理數(shù)．此外，像0.1010010001…、－0.1010010001…這樣的無限不循環(huán)小數(shù)也是無理數(shù)．【變式31】（2023?湖北二模）在實數(shù)﹣1，0，0.5，3.14159…中，無理數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．0.5 D．3.14159…【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義（無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)）逐個判斷即可．【解答】解：A．﹣1是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；B．0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；C．0.5是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；D．3.14159…是無理數(shù)，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了無理數(shù)的定義，能熟記無理數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．【變式32】（2022秋?禪城區(qū)期末）下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．2π B．0.33333C．0 D．﹣0.1010010001【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義（無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)）逐項判斷即可．【解答】解：A、2π是無理數(shù)，則此項符合題意；B、0.33333C、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，則此項不符合題意；D、﹣0.1010010001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，則此項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了無理數(shù)，熟記無理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式33】（2023春?新羅區(qū)期中）在3.14159…，101999，0，π，0.0A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】無理數(shù)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，根據(jù)定義判斷即可．【解答】解：在3.14159…，101999，0，π，0.03.故選：A．【點評】此題考查了無理數(shù)，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式34】（2022秋?阜寧縣期中）下列各數(shù)：3.14，721，0.010010001，π2，0.317?．其中是無理數(shù)的為【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．【解答】解：在實數(shù)3.14，721，0.010010001，π2，0.317?故答案為：π2【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，6，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．【變式35】在227，π4，3.14159，23，1.3，0.121121112……（每兩個2之間增加一個1）這些數(shù)中，無理數(shù)有【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義求解即可．【解答】解：在227，π4，3.14159，無理數(shù)有π4故答案為：2．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，6，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．題型四數(shù)軸的定義題型四數(shù)軸的定義【例題4】下列各圖中，數(shù)軸畫正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點、單位長度、正方向，可得答案．【解答】解：A、原點、單位長度、正方向都符合條件，故A正確；B、原點左邊的單位表示錯誤，應(yīng)是從左到右由小到大的順序，故B錯誤；C、沒有正方向，故C錯誤；D、正方向標(biāo)錯，應(yīng)該是向右為正方向，故D錯誤；故選：A．【點評】本題考查了數(shù)軸，注意數(shù)軸的三要素：原點、單位長度、正方向．解題技巧提煉規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸，原點、單位長度和正方向三要素缺一不可.【變式41】下列圖形中，數(shù)軸畫正確的是（）A． B． C． D．【分析】數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，根據(jù)數(shù)軸的定義逐個判斷即可．【解答】解：A、左邊的數(shù)比右邊的數(shù)大，故本選項不符合題意；B、沒有正方向，不是數(shù)軸，故本選項不符合題意；C、沒有原點，不是數(shù)軸，故本選項不符合題意；D、符合數(shù)軸的定義，是數(shù)軸，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了數(shù)軸的定義，能熟記數(shù)軸的定義是解此題的關(guān)鍵，數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．【變式42】判斷下列圖中所畫的數(shù)軸正確的個數(shù)是（）個．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素是：原點、正方向、單位長度，結(jié)合圖形判斷即可．【解答】解：數(shù)軸的三要素是：原點、正方向、單位長度，圖（1）沒有原點，故（1）不正確；圖（2）滿足數(shù)軸的定義，故（2）正確；圖（3）所畫負(fù)半軸上的數(shù)字排列順序不對，故（3）錯誤；圖（4）所畫單位長度不一致，故（4）不正確．故選：B．【點評】本題考查了數(shù)軸的畫法，明確數(shù)軸的三要素，并數(shù)形結(jié)合進(jìn)行識別，是解題的關(guān)鍵．題型五數(shù)軸上的點與數(shù)的關(guān)系題型五數(shù)軸上的點與數(shù)的關(guān)系【例題5】如圖示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．以上均不對【分析】根據(jù)點A在數(shù)軸上位置即可判斷．【解答】解：由圖可得：數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為：﹣2，故選：A．【點評】本題考查了數(shù)軸，找準(zhǔn)點A在數(shù)軸上位置是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、任意一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；但數(shù)軸上的點都不表示有理數(shù).2、數(shù)軸上原點右邊的數(shù)是正數(shù)，原點左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，0是正、負(fù)數(shù)的分界線.【變式51】﹣3在數(shù)軸上位置的描述，正確的是（）A．在﹣4表示的點的左邊 B．在﹣2表示的點和原點之間 C．由1表示的點向左平移4個單位長度得到 D．和原點的距離是﹣3【分析】比較﹣3和選項中的數(shù)的大小，依據(jù)右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)即可判斷．【解答】解：A、﹣3＞﹣4，則﹣3在﹣4的右邊，故A選項錯誤；B、﹣3＜﹣2＜0，則﹣3在﹣2的左邊，故B選項錯誤；C、點1向左平移4個單位得到﹣3，故C選項正確；D、﹣3和原點的距離是3，故D選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了利用數(shù)軸表示有理數(shù)的大小，理解數(shù)軸上右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023?白城模擬）如圖，在數(shù)軸上，手掌遮擋住的點表示的數(shù)可能是（）A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5【分析】設(shè)小手蓋住的點表示的數(shù)為x，則﹣1＜x＜0，再根據(jù)每個選項中實數(shù)的范圍進(jìn)行判斷即可．【解答】解：設(shè)小手蓋住的點表示的數(shù)為x，則﹣1＜x＜0，則表示的數(shù)可能是﹣0.5．故選：B．【點評】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，熟知實數(shù)與數(shù)軸上各點是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式53】下列說法正確的是（）A．所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示 B．?dāng)?shù)軸上所有的點都表示有理數(shù) C．?dāng)?shù)軸上距離原點3個單位長度的點所表示的數(shù)是3 D．?dāng)?shù)軸上表示﹣a的點一定在原點左邊【分析】根據(jù)有理數(shù)都能用數(shù)軸表示可判斷A項正確，根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸一一對應(yīng)可得出B項錯誤，根據(jù)絕對值得幾何意義可判斷C項錯誤，根據(jù)﹣a在a＜0時，也可以表示正數(shù)可得D項錯誤．【解答】解：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，故A項符合題意，數(shù)軸不僅可以表示有理數(shù)，還可以表示無理數(shù)，故B項不符合題意，數(shù)軸上距離原點2個單位長度的點所表示的數(shù)為3或﹣3，故C項不符合題意，當(dāng)a＜0時，﹣a＞0，此時﹣a在原點右邊，故D項不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查數(shù)軸與點的關(guān)系，靈活判斷，適當(dāng)?shù)慕o出反例是解題的關(guān)鍵．【變式54】（2022春?海淀區(qū)校級月考）直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達(dá)O'點，點O'對應(yīng)的數(shù)是（）A．3 B．3.1 C．π D．3.2【分析】計算出圓的周長即可知道點O′所表示的數(shù)，而圓的周長＝π×直徑．【解答】解：圓的周長＝π×1＝π，所以O(shè)′對應(yīng)的數(shù)是π，故選：C．【點評】本題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是求出圓的周長．【變式55】與原點距離為5.5個單位長度的點有個，它們分別表示的有理數(shù)是和.【分析】根據(jù)數(shù)軸的知道，與原點距離為5.5個單位長度的點在數(shù)軸上有左右兩邊各有一個，所以有兩個點，它們分別是+5.5和﹣5.5．．【解答】解：由分析知：與原點距離為5.5個單位長度的點有2個，

它們分別表示有理數(shù)+5.5和﹣5.5．

故答案為2；+5.5；﹣5.5．【點評】本題主要考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是把數(shù)和點對應(yīng)起來．【變式56】在下面數(shù)軸上，A、B、C、D、E各點分別表示什么數(shù)？【分析】根據(jù)數(shù)軸即可得到各點表示的數(shù)．【解答】解：A、B、C、D、E各點分別表示﹣3，﹣1.5，0，0.5，3．【點評】本題考查了數(shù)軸，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)軸上的點所表示的數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式57】畫一條數(shù)軸，并畫出表示下列各數(shù)的點：0，﹣114，﹣2.1，+0.25，13【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點表示有理數(shù)的方法，畫數(shù)軸標(biāo)出各有理數(shù)對應(yīng)的位置即可．【解答】解：【點評】此題考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)的能力，關(guān)鍵是能將有理數(shù)在數(shù)軸準(zhǔn)確位置表示出來，非常直觀，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．題型六利用數(shù)軸求兩點之間的距離題型六利用數(shù)軸求兩點之間的距離【例題6】在數(shù)軸上表示數(shù)﹣2和2021的兩點分別為點A和點B，則A、B兩點之間的距離為（）A．2019 B．2021 C．2022 D．2023【分析】由數(shù)軸上表示數(shù)﹣1和2021的點到原點的距離分別為2個單位長度和2021個單位長度，且這兩個點位于原點的兩側(cè)，故這兩個點之間的距離為2023．【解答】解：點A在原點的左側(cè)，到原點的距離是2個單位長度，點B在原點的右側(cè)，到原點的距離是2021個單位長度，B兩點之間的距離為2+2021=2023，故選：D．【點評】本題考查數(shù)軸上兩點間距離；會求數(shù)軸上兩點間的距離是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉求數(shù)軸上任意兩點之間的距離就是求兩點之間有多少個單位長度，可借助畫數(shù)軸加深理解.【變式61】在數(shù)軸上表示5的點與表示﹣4的點之間的距離是（）A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣4【分析】由數(shù)軸上表示數(shù)5和﹣4的點到原點的距離分別為5個單位長度和4個單位長度，且這兩個點位于原點的兩側(cè)，故這兩個點之間的距離為9．【解答】解：點A在原點的右側(cè)，到原點的距離是5個單位長度，點B在原點的左側(cè)，到原點的距離是4個單位長度，B兩點之間的距離為5+4=9，故選：A．【點評】本題考查數(shù)軸上兩點間距離；會求數(shù)軸上兩點間的距離是解題的關(guān)鍵．【變式62】如圖，點A表示﹣4，點D表示﹣5．（1）在數(shù)軸上標(biāo)出原點O；（2）指出點B所表示的數(shù)；（3）若C，B兩點到原點的距離相等，且C，B兩點在原點的兩側(cè)，則點C表示什么數(shù)？【分析】點B與原點相距3個單位長度，且在原點的右邊，表示正數(shù)．【解答】解：（1）如圖所示．（2）點B所表示的數(shù)為3；（3）點C表示的數(shù)為﹣3．【點評】本題考查數(shù)軸的定義，掌握數(shù)軸的特征是解題關(guān)鍵．【變式63】如圖，在數(shù)軸上有A、B、C這三個點．回答：（1）A、B、C這三個點表示的數(shù)各是多少？A：；B：；C：．（2）A、B兩點間的距離是，A、C兩點間的距離是．（3）應(yīng)怎樣移動點B的位置，使點B到點A和點C的距離相等？【分析】（1）本題可直接根據(jù)數(shù)軸觀察出A、B、C三點所對應(yīng)的數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)軸的幾何意義，根據(jù)圖示直接回答；（3）由于AC＝10，則點B到點A和點C的距離都是5，此時將點B向左移動2個單位即可．【解答】解：（1）根據(jù)圖示，知A、B、C這三個點表示的數(shù)各是﹣6、1、4，故答案為﹣6、1、4；（2）根據(jù)圖示知AB的距離是7；AC的距離是10，故答案為：7；10；（3）∵A、C的距離是10，∴點B到點A和點C的距離都是5，此時將點B向左移動2個單位即可．【點評】本題考查了是數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)軸上點的移動和數(shù)的大小變化規(guī)律是左減右加是解答此題的關(guān)鍵．【變式64】點A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示．（1）點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是；（2）若點C在數(shù)軸上，且點B與點C的距離是3，求點A與點C的距離．【分析】（1）根據(jù)圖形可求出點B和點A表示的數(shù)；（2）根據(jù)題意可分為兩種情況：點C在點B的左邊和點C在點B的右邊．【解答】解：（1）由數(shù)軸可知，點A表示﹣4，點B表示﹣1，故答案為：﹣4，﹣1；（2）①當(dāng)點C在點B的左邊時，∵點B與點C的距離為3，∴點C表示的數(shù)是﹣4，此時點A與點C的距離是0；②當(dāng)點C在點B的右邊時，∵點B與點C的距離為3，∴點C表示的數(shù)是2，此時點A與點C的距離是6；綜上，點A與點C的距離是0或6．【點評】本題主要考查數(shù)軸上表示數(shù)的兩點間的距離，根據(jù)題意分析解決．題型七利用數(shù)軸上兩點之間的距離求點表示的數(shù)題型七利用數(shù)軸上兩點之間的距離求點表示的數(shù)念【例題7】（2022秋?甘肅期末）數(shù)軸上點P表示的數(shù)為﹣2，與點P距離為3個單位長度的點表示的數(shù)為（）A．1 B．5 C．1或﹣5 D．1或5【分析】在數(shù)軸上表示出P點，找到與點P距離3個長度單位的點所表示的數(shù)即可．此類題注意兩種情況：要求的點可以在已知點﹣2的左側(cè)或右側(cè)．【解答】解：如圖：根據(jù)數(shù)軸可以得到在數(shù)軸上與點P距離3個長度單位的點所表示的數(shù)是：﹣5或1．故選：C．【點評】此題主要考查了數(shù)軸，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點．解題技巧提煉1、由于點的位置不確定，要借助數(shù)軸進(jìn)行分類討論，分在已知點的左側(cè)和右側(cè)兩種情況.2、確定符號和距離，確定距離時要表示所對應(yīng)的點距原點幾個單位長度.【變式71】數(shù)軸上+5表示的點位于原點邊距原點個單位長度，數(shù)軸上位于原點左邊4個單位長度的點表示，數(shù)軸上距原點6個單位長度并在原點右邊的點表示的數(shù)是．【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點及距離的定義解答即可．【解答】解：數(shù)軸上+5表示的點位于原點右邊距原點5個單位長度，數(shù)軸上位于原點左邊4個單位長度的點表示﹣4，數(shù)軸上距原點6個單位長度并在原點右邊的點表示的數(shù)是+6．故答案為：右，5，﹣4，+6．【點評】本題考查了數(shù)軸的知識，比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是熟知以下知識：（1）數(shù)軸上原點右邊的數(shù)都大于0，左邊的數(shù)都小于0；（2）數(shù)軸上各點到原點的距離是這個數(shù)的絕對值．【變式72】（2023?上城區(qū)二模）如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸1個單位長度是1cm），刻度尺上0cm對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)3，那么刻度尺上6.5cm對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為（）A．﹣2.5 B．﹣3.5 C．﹣6 D．﹣6.5【分析】利用兩點間的距離，求得刻度尺上5.5cm的點到原點的距離即可．【解答】解：∵刻度尺上的0cm對應(yīng)數(shù)軸上的3，∴刻度尺上6.5cm對應(yīng)的數(shù)到3的距離也是6.5cm，∴到原點的距離是6.5﹣3＝3.5（cm），∵在原點左側(cè)，∴對應(yīng)的數(shù)是﹣3.5．故選：B．【點評】本題考查的是數(shù)軸上的點，解題的關(guān)鍵是計算出點到原點的距離．【變式73】點O，A，B，C在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為原點，A、C兩點間的距離是2，A、B兩點到原點的距離相等．若點C所表示的數(shù)為﹣3，則點B所表示的數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．3【分析】根據(jù)C表示的數(shù)是﹣3和AC＝2可得點A表示的數(shù)是﹣5，再根據(jù)A、B兩點到原點的距離相等可得答案．【解答】解：∵C表示的數(shù)是﹣3，AC＝2，∴點A表示的數(shù)是﹣5，∵A、B兩點到原點的距離相等，∴點B所表示的數(shù)為5，故選：B．【點評】本題考查了數(shù)軸和兩點的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點的距離是關(guān)鍵．【變式74】（2022秋?定陶區(qū)期末）在數(shù)軸上與表示﹣2的點距離等于3的點所表示的數(shù)是（）A．1 B．﹣1或5 C．﹣5 D．﹣5或1【分析】根據(jù)題意分該點在﹣2的左側(cè)以及右側(cè)兩種情況進(jìn)一步求解即可．【解答】解：當(dāng)該點在﹣2左側(cè)時，該點表示的數(shù)為：﹣2﹣3＝﹣5；當(dāng)該點在﹣2右側(cè)時，該點表示的數(shù)為：﹣2+3＝1；綜上所述，該點表示的數(shù)為﹣5或1，故選：D．【點評】本題主要考查了數(shù)軸，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．【變式75】畫出數(shù)軸，并解答下列問題：（1）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：5，3.5，﹣212（2）在數(shù)軸上標(biāo)出表示﹣1的點A，寫出將點A沿數(shù)軸平移4個單位長度后得到的數(shù)．【分析】（1）畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示各數(shù)即可求解；（2）先在數(shù)軸上標(biāo)出表示﹣1的點A，再寫出將點A平移4個單位長度后得到的數(shù)是3或﹣5即可求解．【解答】解：（1）如圖所示，（2）如圖所示：將點A平移4個單位長度后得到的數(shù)是3或﹣5．【點評】此題主要考查了數(shù)軸，關(guān)鍵是正確在數(shù)軸上表示各數(shù)的點的位置．題型八利用數(shù)軸比較數(shù)的大小題型八利用數(shù)軸比較數(shù)的大小【例題8】（2023?朔州模擬）在?11A．?113 B．﹣5 C．0【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．【解答】解：∵﹣5＜?11∴在?11故選：B．【點評】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而?。忸}技巧提煉比較數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小．【變式81】（2023?晉安區(qū)校級模擬）四個數(shù)﹣1，0，1，13A．﹣1 B．0 C．1 D．1【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；【解答】解：∵1＞1∴四個數(shù)﹣1，0，1，13故選：C．【點評】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；【變式82】如圖，點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，則（）A．a(chǎn)＜﹣a＜﹣1 B．﹣a＜a＜﹣1 C．﹣a＜﹣1＜a D．﹣1＜﹣a＜a【分析】直接利用數(shù)軸得出a的取值范圍，進(jìn)而比較大小即可．【解答】解：如圖所示：a＞0，a＞1，則﹣a＜﹣1，故﹣a＜﹣1＜a．故選：C．【點評】此題主要考查了實數(shù)比較大小，正確利用數(shù)軸是解題關(guān)鍵．【變式83】（2022秋?冷水灘區(qū)月考）請在數(shù)軸上表示下列有理數(shù)，并用“＞”連接下列各數(shù)：2.5，?3【分析】先在數(shù)軸上表示出來，再比較即可．【解答】解：如圖所示：故2.5＞0＞﹣0.5＞?3【點評】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較的應(yīng)用，注意：在數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．【變式84】（2023春?松北區(qū)校級月考）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：3，0，12【分析】將各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，然后根據(jù)數(shù)軸右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)進(jìn)行大小排列即可．【解答】解：將各數(shù)在數(shù)軸上表示如圖所示：那么﹣4＜﹣2.5＜0＜1【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．【變式85】（2022秋?棗陽市期末）點A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示：（1）點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是．（2）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，?413，﹣2，（3）把（1）（2）中的六個有理數(shù)用“＜”號連接起來．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸即可得到答案；（2）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可得到答案；（3）根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)，即可得到答案．【解答】解：（1）根據(jù)數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是﹣4，點B表示的數(shù)是1，故答案為：﹣4，1；（2）在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：（3）各數(shù)大小關(guān)系排列如下：?41【點評】本題考查了數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握用數(shù)軸表示有理數(shù)，熟記數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)．題型九利用數(shù)軸解決實際問題題型九利用數(shù)軸解決實際問題念【例題9】（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）數(shù)軸上一點A，一只螞蟻從A出發(fā)向右爬了2個單位長度到了原點，則點A所表示的數(shù)是．【分析】根據(jù)題意知螞蟻位于原點左側(cè)2個單位的位置，據(jù)此可得．【解答】解：根據(jù)題意知螞蟻位于原點左側(cè)2個單位的位置，即A所表示的數(shù)為﹣2，故答案為：﹣2．【點評】此題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上的點表示的數(shù)是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉數(shù)形結(jié)合解決實際問題，有理數(shù)和數(shù)軸上的點的關(guān)系是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，數(shù)軸能直觀的反映出點與點之間的關(guān)系.【變式91】（2023春?崇川區(qū)校級月考）如圖所示，半徑為單位1的圓從原點沿著數(shù)軸無滑動的逆時針滾動一周到達(dá)A點，則A點表示的數(shù)是.【分析】由數(shù)軸的概念，圓周長公式，即可計算．【解答】解：∵圓的周長為2πr＝2π，∴半徑為單位1圓從原點沿著數(shù)軸無滑動的逆時針滾動一周到達(dá)A點，則A點表示的數(shù)是﹣2π．故答案為：﹣2π．【點評】本題考查數(shù)軸的概念，圓周長公式，關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的三要素．【變式92】（2023春?荔城區(qū)校級期中）如圖，把半徑為0.5的圓放到數(shù)軸上，圓上一點A與表示1的點重合，圓沿著數(shù)軸滾動一周，此時點A表示的數(shù)是（）A．0.5+π或0.5﹣π B．1+2π或1﹣2π C．1+π或1﹣π D．2+π或2﹣π【分析】根據(jù)半徑為0.5的圓從數(shù)軸上表示1的點沿著數(shù)軸滾動一周到達(dá)A點，再由圓的周長公式得出周長為π，分兩種情況，即可得答案．【解答】解：由半徑為0.5的圓從數(shù)軸上表示1的點沿著數(shù)軸滾動一周到達(dá)A點，故滾動一周后A點與1之間的距離是π，故當(dāng)A點在1的左邊時表示的數(shù)是1﹣π，當(dāng)A點在1的右邊時表示的數(shù)是1+π．故選：C．【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確求得數(shù)軸上兩點間的距離是解決本題的關(guān)鍵．【變式93】郵遞員騎車從郵局出發(fā)，先向南騎行3km，到達(dá)A村，繼續(xù)向南騎行2km到達(dá)B村，然后向北騎行8km到達(dá)C村，最后回到郵局．（1）以郵局為原點，以向南為正方向，用1cm示1km，畫出數(shù)軸并表示出A，B，C三個村莊的位置．（2）C村離A村有km（3）郵遞員一共騎了多少千米？【分析】（1）在數(shù)軸上表示出A，B，C三個村莊的位置即可；（2）根據(jù)題意列出算式3﹣（﹣3），求出即可；（3）根據(jù)題意得出算式3+2+8+3，求出即可．【解答】解：（1）A，B，C三個村莊的位置如圖，（2）∵3+3＝6km，∴C村到A村有6km；故答案為：6；（3）∵3+2+8+3＝16（km），答：郵遞員一共騎行了16km．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，數(shù)軸和有理數(shù)的計算的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出算式．【變式94】（2023?石家莊模擬）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與數(shù)表示的點重合；（2）若﹣2表示的點與4表示的點重合，回答以下問題：①5表示的點與數(shù)表示的點重合；②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為9（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點表示的數(shù)是多少？【分析】（1）根據(jù)1表示的點與﹣1表示的點重合讀出對稱中心即可得；（2）由表示﹣2的點與表示4的點重合，可確定對稱點是表示1的點，則：①表示5的點與對稱點距離為4，與左側(cè)與對稱點距離為4的點重合；②由題意可得，A、B兩點距離對稱點的距離為4.5，據(jù)此求解．【解答】解：（1）∵1表示的點與﹣1表示的點重合，∴對稱中心是原點，∴﹣2表示的點與2表示的點重合，（2）①∵若﹣2表示的點與4表示的點重合，∴對稱中心是1表示的點，∴5表示的點與數(shù)﹣3表示的點重合；②由題意可得，A、B兩點距離對稱點的距離為9÷2＝4.5，∵對稱點是表示1的點，∴A、B兩點表示的數(shù)分別是﹣3.5，5.5，故答案為：2；﹣3．【點評】本題主要考查數(shù)軸，此題根據(jù)重合點確定對稱點是解題的關(guān)鍵．題型十與數(shù)軸相關(guān)的探究題題型十與數(shù)軸相關(guān)的探究題際問題念【例題10】數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫一條長10厘米的線段AB，則AB蓋住的整數(shù)點的個數(shù)共有個．【分析】某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為10厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點的個數(shù)可能正好是11個，也可能不是整數(shù)，而是有兩個半數(shù)那就是10個．【解答】解：依題意得：①當(dāng)線段AB起點在整點時覆蓋10+1＝11個數(shù)；②當(dāng)線段AB起點不在整點，即在兩個整點之間時覆蓋10個數(shù)．故答案為：11或10．【點評】本題主要考查了數(shù)軸的實際應(yīng)用，學(xué)生一時想不出來，可以動手親自畫一畫，但要注意畫時，找個短線段即可．解題技巧提煉根據(jù)線段的端點與數(shù)軸上的整數(shù)點是否重合分情況討論,求較大范圍內(nèi)的整數(shù)點個數(shù)時，可類比較小范圍內(nèi)的情況.【變式101】（2023?花都區(qū)一模）數(shù)軸上表示整數(shù)的點叫整點，某數(shù)軸單位長度為1cm，若在數(shù)軸上隨意畫一條長為2015cm的線段AB，則線段AB蓋住的整點的個數(shù)為（）A．2015 B．2014 C．2015或2014 D．2015或2016【分析】根據(jù)數(shù)軸與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，分線段AB起點在整數(shù)點與不在整數(shù)點兩種情況討論．【解答】解：依題意可知，當(dāng)線段AB起點在整數(shù)點時，能覆蓋2016個數(shù)；當(dāng)線段AB起點不在整數(shù)點，即在兩個整點之間時，能覆蓋2015個數(shù)，故選：D．【點評】本題考查數(shù)軸與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式102】已知動點A在數(shù)軸上從原點開始運(yùn)動，第一次向左移動1厘米，第二次向右移動2厘米，第三次向左移動3厘米，第四次向右移動4厘米，…，移動第2022次到達(dá)點B，則點B在點A的（）A．左側(cè)1010厘米B．右側(cè)1010