1.2.1角的概念推廣

1.2.2象限角及其表示課標(biāo)闡釋

1.理解正角、負(fù)角和零角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握象限角的特征及其表示方法.(數(shù)學(xué)抽象)3.理解終邊相同的角的概念,會(huì)表示終邊相同的角的集合.(邏輯推理)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥當(dāng)鐘表慢了或快了時(shí),我們會(huì)將分針按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng),把時(shí)間調(diào)整準(zhǔn)確.在調(diào)整的過(guò)程中,你能分析出分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度有什么不同嗎?在體操或跳水比賽中,運(yùn)動(dòng)員會(huì)做出“轉(zhuǎn)體兩周”“向前翻騰兩周半”等動(dòng)作,做上述動(dòng)作時(shí),你知道運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體多少度嗎?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、角的概念推廣1.角的概念平面內(nèi)一條射線(xiàn)OA繞著它的端點(diǎn)O按箭頭所示方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,形成角α.其中點(diǎn)O是角α的頂點(diǎn),射線(xiàn)OA是角α的始邊,射線(xiàn)OB是角α的終邊.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.角的分類(lèi):按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類(lèi):名師點(diǎn)析1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡(jiǎn)記成“α”.2.角的范圍由0°~360°推廣到任意角后,角的加減運(yùn)算就類(lèi)似于實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1用任意角表示下列各角:(1)順時(shí)針擰螺絲1圈轉(zhuǎn)過(guò)的角為

;

(2)將時(shí)鐘撥慢2h,分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為

.

答案(1)-360°

(2)720°微練習(xí)2下列說(shuō)法正確的是(

)A.最大角是180° B.最大角是360°C.角不可以是負(fù)的 D.角可以任意大小解析由角的定義,角可以是任意大小的.故選D.答案D激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、象限角在平面直角坐標(biāo)系中研究角時(shí),角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸.以角的終邊(除端點(diǎn)外)在平面直角坐標(biāo)系的位置對(duì)角分類(lèi):角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.名師點(diǎn)析1.在角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合的前提下,才能對(duì)象限角進(jìn)行定義,否則不能判斷角的終邊在哪一個(gè)象限,也就不能稱(chēng)作象限角.2.若角的終邊落在坐標(biāo)軸上,則這個(gè)角不屬于任何象限.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)下列各角是第三象限角的是(

)

A.15° B.105°C.215° D.315°解析因?yàn)?15°=180°+35°,所以215°是第三象限的角.故選C.答案C激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥三、終邊相同的角一般地,給定一個(gè)角α,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一個(gè)與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和.名師點(diǎn)析理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下幾點(diǎn):(1)式中角α為任意角;(2)k∈Z這一條件必不可少;(3)k·360°與α之間是“+”,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),即與-30°角終邊相同;(4)當(dāng)α與β的終邊相同時(shí),α-β=k·360°(k∈Z),反之亦然.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考160°,-660°,-300°,420°,780°的角的終邊有什么關(guān)系?提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°,420°=60°+360°,780°=60°+2×360°.微思考2如何表示與60°終邊相同的角的集合?提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考160°,-660°,-300°,420°,780°的角的終邊有什么關(guān)系?提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°,420°=60°+360°,780°=60°+2×360°.微思考2如何表示與60°終邊相同的角的集合?提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

概念辨析問(wèn)題的求解方略對(duì)于概念辨析題,一是利用反例排除錯(cuò)誤答案,二是利用定義直接判斷.本題需要準(zhǔn)確理解象限角、銳角、鈍角、終邊相同的角等基本概念才能作出正確的判斷.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1一個(gè)角為30°,其終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度是多少?按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后又是多少?解終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周,轉(zhuǎn)過(guò)的角度為360°×3=1

080°,所以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的角度數(shù)是1

110°.同理按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度是-3×360°+30°=-1

050°.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)終邊相同的角例2寫(xiě)出與75°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合360°≤β<1080°的元素β寫(xiě)出來(lái).解與75°角終邊相同的角的集合為S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}.當(dāng)360°≤β<1

080°時(shí),即360°≤75°+k·360°<1

080°,又k∈Z,所以k=1,或k=2.當(dāng)k=1時(shí),β=435°;當(dāng)k=2時(shí),β=795°.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

終邊相同的角的求解方法求與已知角α終邊相同的角時(shí),要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定整數(shù)k的值,求出滿(mǎn)足條件的角.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2與-2020°角終邊相同的最小正角是

.

解析因?yàn)?2

020°=140°-6×360°,所以與-2

020°終邊相同的最小正角是140°.答案140°探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)象限角例3(1)分別判斷角α=-130°和β=-940°是第幾象限角.(2)若角α是第二象限角,試判斷180°-α及2α是第幾象限角.解(1)由于α=-130°=-360°+230°,即α角與230°角終邊相同,而230°是第三象限角,故α是第三象限角.由于β=-940°=-3×360°+140°,即β角與140°角終邊相同,而140°是第二象限角,故β是第二象限角.(2)由α是第二象限角可得,90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°)(k∈Z),即-k·360°<180°-α<90°-k·360°(k∈Z).所以180°-α為第一象限角.同理,180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),所以角2α可能是第三、第四象限角或者終邊落在y軸的非正半軸上.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

象限角的判定1.已知一個(gè)角的大小判斷其所在象限時(shí),可先根據(jù)終邊相同的角的表示方法,找到在[0°,360°)內(nèi)與之終邊相同的角,再確定其象限.2.已知角的終邊所在的象限,求待求角的終邊所在的位置時(shí),通常首先根據(jù)所給已知角的范圍,得到待求角的范圍,然后判斷待求角終邊所在的位置.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3在0°~360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限的角:(1)-120°;(2)660°;(3)-950°08'.解(1)因?yàn)?120°=240°-360°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-120°角終邊相同的角是240°角,它是第三象限角.(2)因?yàn)?60°=300°+360°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與660°角終邊相同的角是300°角,它是第四象限角.(3)因?yàn)?950°08'=129°52'-3×360°,所以在0°~360°范圍內(nèi),與-950°08'終邊相同的角是129°52',它是第二象限角.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)1.(2020山東淄博高一期中)-215°是(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析因?yàn)?215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,所以-215°是第二象限角,故選B.答案B探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)2.集合M={α|α=k·90°,k∈Z}中各角的終邊都在(

)A.x軸非負(fù)半軸上B.y軸非負(fù)半軸上C.x軸或y軸上D.x軸非負(fù)半軸或y軸非負(fù)半軸上解析當(dāng)k=4n(n∈Z)時(shí),α=n·360°;當(dāng)k=4n+1(n∈Z)時(shí),α=90°+n·360°;當(dāng)k=4n+2(n∈Z)時(shí),α=180°+n·360°;當(dāng)k=4n+3(n∈Z)時(shí),α=270°+n·360°.因此,集合M中各角的終邊都在x軸或y軸上.答案C探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)3.時(shí)間過(guò)了3小時(shí)20分,則鐘表的分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為

,時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為

.

答案-1200°

-100°探究一