2.6.2平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用舉例課標(biāo)闡釋

1.能運(yùn)用平面向量的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問題和物理問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)2.掌握用向量法解決平面幾何問題的方法,培養(yǎng)向量運(yùn)算能力、推理論證能力.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.通過具體問題的解決,理解用向量知識(shí)研究物理的一般思路與方法,培養(yǎng)探究意識(shí)和應(yīng)用意識(shí),體會(huì)向量的工具作用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例由于向量的運(yùn)算有著鮮明的幾何背景,幾何圖形的許多變化和性質(zhì),如平移、全等、長(zhǎng)度、夾角等都可以用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.名師點(diǎn)析向量方法可以運(yùn)用于證明有關(guān)直線平行、垂直、線段的相等、點(diǎn)共線、求夾角等問題,其基本方法有:(1)證明線段相等,常運(yùn)用向量加法的三角形法則與平行四邊形法則,有時(shí)也用到向量減法的定義.如要證兩線段AB=CD,可轉(zhuǎn)化為證明(2)證明線段平行、三角形相似,判斷兩直線(或線段)是否平行,常運(yùn)用向量平行(共線)的條件:a∥b?a=λb(或x1y2-x2y1=0).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥(4)證明線段的垂直問題,如證明四邊形是矩形、正方形,判斷直線(線段)是否垂直等,常運(yùn)用向量垂直的條件:a⊥b?a·b=0(或x1x2+y1y2=0).(6)向量的坐標(biāo)法,也可解決一些平面幾何問題,如長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等,通過建立直角坐標(biāo)系,把向量用坐標(biāo)表示,通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考向量可以解決哪些常見的幾何問題?答案(1)解決直線平行、垂直、線段相等、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等位置關(guān)系.(2)解決有關(guān)夾角、長(zhǎng)度及參數(shù)的值等的計(jì)算或度量問題.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形答案B激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).答案(1)×

(2)×激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、向量在物理中的應(yīng)用舉例1.力與向量力與向量的異同.(1)相同點(diǎn):力和向量都既要考慮大小又要考慮方向.(2)不同點(diǎn):向量與起點(diǎn)無關(guān),力和作用點(diǎn)有關(guān),大小和方向相同的兩個(gè)力,如果作用點(diǎn)不同,那么它們是不相等的.2.向量方法在物理中的應(yīng)用(1)力、速度、加速度、位移都是向量.(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運(yùn)算,運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成.(3)功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析向量在物理中的應(yīng)用(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用點(diǎn)的向量,它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同,但力是具有大小和方向的量,在不計(jì)作用點(diǎn)的情況下,可用向量求和的平行四邊形法則,求兩個(gè)力的合力.(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四邊形法則,求兩個(gè)速度的合速度.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考1向量與力有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?答案向量是既有大小又有方向的量,它們可以有共同的作用點(diǎn),也可以沒有共同的作用點(diǎn),但是力卻是既有大小,又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的.用向量知識(shí)解決力的問題,往往是把向量起點(diǎn)平移到同一作用點(diǎn)上.微思考2向量的運(yùn)算與速度、加速度及位移有什么聯(lián)系?答案速度、加速度與位移的合成與分解,實(shí)質(zhì)上是向量的加減法運(yùn)算,而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成.向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”.向量在解決涉及上述物理量的合成與分解時(shí),實(shí)質(zhì)就是向量的線性運(yùn)算.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)已知三個(gè)力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y)和合力F1+F2+F3=0,則F3的坐標(biāo)為

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解析由F1+F2+F3=0,得F3=0-F1-F2=0-(3,4)-(2,-5)=(-5,1).答案(-5,1)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)向量在平面幾何中的應(yīng)用角度1

平行或共線問題探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

證明A,B,C三點(diǎn)共線的步驟(1)證明其中兩點(diǎn)組成的向量與另外兩點(diǎn)組成的向量共線.(2)說明兩向量有公共點(diǎn).(3)下結(jié)論,即A,B,C三點(diǎn)共線.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1如圖,已知AD,BE,CF是△ABC的三條高,且交于點(diǎn)O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求證:HG∥EF.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)角度2

垂直問題例2如圖,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),四邊形PECF是矩形,用向量證明:PA⊥EF.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量法證明平面幾何中AB⊥CD的方法

探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),求證:AF⊥DE.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)角度3

長(zhǎng)度問題例3如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對(duì)角線BD=2,求對(duì)角線AC的長(zhǎng).探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

在解決求長(zhǎng)度的問題時(shí),可利用向量的數(shù)量積及模的知識(shí),解題過程中用到的整體代入使問題得到簡(jiǎn)捷、明了的解決.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)答案B探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究本例中,條件不變,試問:在BC上是否存在點(diǎn)M,使得∠EAM=45°?若存在,求出點(diǎn)M的位置;若不存在,說明理由.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)向量在物理中的應(yīng)用角度1

向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用例5帆船比賽是借助風(fēng)帆推動(dòng)船在規(guī)定距離內(nèi)競(jìng)速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng).如果一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫|30°,速度為20km/h,此時(shí)水的流向是正東,流速為20km/h.若不考慮其他因素,求帆船的速度與方向.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

運(yùn)用向量解決物理中的速度問題,一般涉及速度的合成與分解,因此應(yīng)充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題,正確地作出圖形再解決問題.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)角度2

向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用例6如圖,已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上),大小為50N,一個(gè)質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20m.問力F和摩擦力f所做的功分別為多少?(g=10m/s2)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量在力學(xué)中的應(yīng)用一般涉及力的合成與分解,應(yīng)充分借助向量平行四邊形法則把物理問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.該題涉及解三角形,因此正確