2025屆北京市西城區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過，兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則（）A.2 B.2C.1 D.12．經(jīng)過點(diǎn)且圓心是兩直線與的交點(diǎn)的圓的方程為（）A. B.C. D.3．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓4．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.5．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限的點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.9．《九章算數(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升10．?dāng)?shù)列1，6，15，28，45，...中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第10個(gè)六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.27611．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，則的值為（）A. B.C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，圓O與雙曲線C的漸近線在第一、四象限分別交于P，Q兩點(diǎn)滿足（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積是_________14．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______15．已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________.16．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線與交于兩點(diǎn)，為何值時(shí)？18．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足(且)，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識(shí)競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率.20．（12分）已知.（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角內(nèi)角，，的對(duì)邊長分別是，，，若，.求面積的最大值.21．（12分）設(shè)數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.22．（10分）已知函數(shù)f（x）+alnx，實(shí)數(shù)a＞0（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，10）上的單調(diào)性和極值情況；（3）若存在x∈（0，+∞），使得關(guān)于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo)，由且列方程求y值.【詳解】由題設(shè)，，則且，所以，即，可得.故選：C2、B【解析】求出圓心坐標(biāo)和半徑后，直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由得，即所求圓的圓心坐標(biāo)為.由該圓過點(diǎn)，得其半徑為1，故圓的方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關(guān)于CD對(duì)稱，所以，故，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.4、C【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以的最小值?故選：C.5、D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.6、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C7、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.故選：C.8、C【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線的斜率，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，，則，可得，則，所以點(diǎn)，故，因此，直線的傾斜角為.故選：C.9、B【解析】設(shè)出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列，根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)求出的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出第5節(jié)的容積【詳解】解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：，，，，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡求值，屬于中檔題10、B【解析】細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)聯(lián)系相關(guān)知識(shí),如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形可知，，，，，，，據(jù)此即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項(xiàng)為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查合情推理中的歸納推理；考查邏輯推理能力；觀察分析、尋求規(guī)律是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、探索型試題.11、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.12、B【解析】由韋達(dá)定理得a3a15=2，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【詳解】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故選B【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)積與另一項(xiàng)的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)在圓上可求出的值，設(shè)線段與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)求出的坐標(biāo)，代入圓中，求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在圓上，所以，設(shè)線段與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合雙曲線與圓的對(duì)稱性可知為線段的中點(diǎn)，又因?yàn)椋?，且，則，又因?yàn)橹本€的方程為，所以，又因?yàn)樵趫A上，所以，又因?yàn)?，則，所以，從而，故,故答案為：.14、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.15、.【解析】設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.16、【解析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)計(jì)算最值作答.【詳解】橢圓的右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，則，即，且，于是得，因，則當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得：點(diǎn)的軌跡為橢圓，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，，，解出可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)，，直線方程與橢圓聯(lián)立，化為：，恒成立，由，可得，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解得【詳解】解：（1）由題意可得：點(diǎn)的軌跡為橢圓，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，，，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)，，聯(lián)立，化為：，恒成立，，，，，，解得．滿足當(dāng)時(shí)，能使【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題18、（1），；（2）.【解析】(1)根據(jù)，列方程組即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)化簡，利用裂項(xiàng)相消法求該數(shù)列前n項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴；【小問2詳解】∵，∴，.19、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多這個(gè)事件是，然后由相互獨(dú)立的事件和互斥事件的概率公式計(jì)算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗(yàn)的樣本空間，.共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，根據(jù)獨(dú)立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對(duì)的題數(shù)比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨(dú)立，所以..因此，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率為.20、（1）；（2）.【解析】（1）首先根據(jù)三角函數(shù)恒等變換得到，再求其單調(diào)增區(qū)間即可.（2）根據(jù)得到，根據(jù)余弦定理和基本不等式得到，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意.由，得，令，得，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是【小問2詳解】因?yàn)?，所以，得，又C是銳角，所以，由余弦定理：，得，所以，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以，故面積最大值為21、（1）（2）存在【解析】（1）利用“退作差”法求得的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得，由此求得.【小問1詳解】依題意①，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，②，①-②得，，時(shí)，上式也符合.所以.【小問2詳解】.所以.故存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.22、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案見解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程；（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，分a、0＜a兩種情況討論求出答案即可；（3）由題意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性和極值可得答案【小問1詳解】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a＝2時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為4，可得f（x）在x＝1處的切線的斜率為4，又f（1）＝6，所以f（x）在x＝1處的切線的方程為y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；【小問2詳解】f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）a2，x＞0，令f′（x）＝0，可得x（舍去），①當(dāng)010，即a時(shí)，當(dāng)0＜x時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x＜10時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增所以f（x）在（0，）上遞減，在（，10）上遞增，f（x）在x處取得極小值，無極大值；②當(dāng)10即0＜a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上遞減，無極值綜上可得，當(dāng)a時(shí)，f（x）在（0，）單調(diào)遞減，在（，10）上單調(diào)遞增，f（x）在x時(shí)取得極小值，無極大值當(dāng)0＜a時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，10）上遞減，無極值；【小問3詳