專題05圓中的重要模型之圓冪定理模型圓冪定理是一個總結性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀由德國數學家施泰納（Steiner）或者法國數學家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關的線段比例、角度、面積等問題。模型1.相交弦模型條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內。結論：。例1．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）如圖，點，，，在上，，．若，，則的長是．

例2．（2022·山東·統(tǒng)考三模）如圖，圓O上有A，B，C三點，AC是直徑，點D是的中點，連接CD交AB于點E，點F在AB延長線上，且FC＝FE．(1)求證：CF是圓O的切線；(2)若，BE＝2，求圓O的半徑和的值．例3．（2023秋·山西大同·九年級?？计谀┱堥喿x下列材料，并完成相應的任務：斯庫頓定理：如圖1．在中，為的平分線，則．下面是該定理的證明過程：證明：如圖2，是的外接圓，延長交于點，連接．∵為的平分線，∴．∵，（依據①__________________________）．（依據②_________________________）又，．．……任務：（1）證明過程中的依據是：①_____________________．②_______________________．（2）將證明過程補充完整：（3）如圖3．在圓內接四邊形中，對角線，相交于點．若，，，，，請利用斯庫頓定理，直接寫出線段的長．模型2.雙割線模型條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。結論：例1．（2023·遼寧葫蘆島·一模）已知：如圖，、是⊙的割線，，，.則=.例2．（2023·湖北九年級月考）如圖，割線交于、兩點，且，交于，，，則的長為（

）A． B． C． D．例3．（2022·湖北九年級課時練習）如圖所示：、分別與圓O交于A、B、C、D四點，連接、，(1)證明：(2)若，，，求的長.模型3.切割線模型條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結論：例1．（2023·江蘇南通·中考模擬）如圖，已知是的切線，為切點，與相交于．兩點，，，則的長等于（

)

A． B．16cm C． D．例2．（2022·河南駐馬店·校聯(lián)考三模）復習鞏固切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.如圖1，直線l1為⊙O的切線割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.如圖1，直線l2為⊙O的割線切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.閱讀材料《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所普的一部數學著作.它是歐州數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數學幾何部分最成功的教科書其中第三卷命題36一2圓冪定理（切割線定理）內容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程已知：如圖2，A是⊙O外一點，．求證：[提示]輔助線可先考慮作⊙O的直徑DE．例3．（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所著的一部著作，它是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數學幾何部分最成功的教科書．下面是其中的切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線上是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，即如圖①，是的切線，直線為的割線，則．下面是切割線定理的證明過程（不完整）：證明：如圖②，連接，連接并延長交于點E，連接、．∵是的切線，是的半徑，∴．∵是的直徑，∴（__________），∴，∴__________．∵，∴__________．∵，∴∽，∴（__________），∴．任務：(1)請在橫線上補充證明過程，在括號內補充推理的依據；(2)如圖③，已知是的直徑，是的切線，A為切點，割線與于點E，且滿足，，求的長．模型4.弦切角模型條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。結論：1）；2）；3）。例1．（2023·成都九年級期中）定義：弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．問題情景：已知如圖所示，直線是的切線，切點為，為的一條弦，為弧所對的圓周角．（1）猜想：弦切角與之間的關系．試用轉化的思想：即連接并延長交于點，連接，來論證你的猜想．（2）用自己的語言敘述你猜想得到的結論．例2．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考三模）人類會作圓并且真正了解圓的性質是在2000多年前，由我國的墨子給出圓的概念：“圓，一中同長也．”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比古希臘數學家歐幾里得給圓下的定義要早100多年．與圓有關的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾弧所對的圓周角度數．(1)如圖1，是的切線．點C，D在上．求證：；(2)如圖2，是的切線．連接交于點D，為的直徑．若，，的半徑為5，求的長．例3．（2023·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點為切點，為內一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數學巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5個公設和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內容是：“弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，為的切線，點為切點，為內一條弦，點在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點，點是上一動點，過點作于點，交于，連接，，．若，，求弦的長．模型5.托勒密定理模型條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結論：例1．（2022春·廣東九年級課時練習）閱讀與應用請閱讀下列材料，完成相應的任務：托勒密是“地心說”的集大成者，著名的天文學家、地理學家、占星學家和光學家．后人從托勒密的書中發(fā)現(xiàn)一個命題：圓內接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積．下面是對這個命題的證明過程．如圖1，四邊形ABCD內接于．求證：．證明：如圖2，作交BD于點E．∵，∴．（依據）∴．∴．．…∴．∴．∴．∵，∴．∴．任務：(1)證明過程中的“依據”是______；(2)補全證明過程；(3)如圖3，的內接五邊形ABCDE的邊長都為2，求對角線BD的長．例2．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應任務托勒密，古希臘天問學家、地理學家和光學家，而他在數學方面也有重大貢獻，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一個定理，圓內接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩條對角線的乘積．下面是該定理的證明過程（部分）已知：如圖①四邊形是的內接四邊形

求證：證明：以C頂點，為一邊作交于點E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任務：(1)請將“托勒密”定理的證明過程補充完整；(2)當圓內接四邊形是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：．(3)如圖②若，試探究線段之間的數量關系，并利用托勒密定理證明這個結論．

課后專項訓練1．（2023·福建九年級月考）如圖，是的切線，為切點，是割線，交于、兩點，與直徑交于點，已知，，，那么等于（）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知為⊙的直徑，直線與⊙相切于點，于點，交⊙于點．若，，則．

3．（2023·四川成都·九年級?？茧A段練習）如圖，為的割線，且，交于點C，若，則的半徑的長為．4．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，過點引圓的兩條割線和，分別交圓于點和，連結，則在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你認為成立的比例式的序號都填上）．5．（2023·山東九年級月考）如圖，從圓外一點引圓的切線，點為切點，割線交于點、．已知，，則．6．（2023·重慶九年級月考）如圖，割線、分別交于和，若，，，則．7．（2023·重慶·九年級專題練習）閱讀下列材料，完成相應任務：弗朗索瓦?韋達，法國杰出數學家．第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為“代數學之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．如圖1，P是外一點，是的切線，是的一條割線，與的另一個交點為B，則．證明：如圖2，連接、，過點C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．……任務：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，與相切于點A，連接并延長與交于點B、C，，，，連接．①與的位置關系是．②求的長．8．（2023秋·河北邯鄲·九年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．(1)判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)求證：BC2=CD·2OE；(3)若AB：AC=3：5，BE=6，求OE的長．9．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，以邊的邊為直徑作圓O，交于D，E在弧上，連接、、，若．(1)求證：為切線；(2)求證：(3)若點E是弧的中點，與交于點F，當，時，求的長．10．（2022·廣東·一模）如圖，直線BC與⊙A相切于點C，連接BA，延長與圓交于點E，連接CE，CD．(1)求證：；(2)若，，求的值．11．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在ΔABC中，點O是BC中點，以O為圓心，BC為直徑作圓，剛好經過A點，延長BC于點D，連接AD．已知∠CAD＝∠B．(1)求證：AD是O的切線；(2)求證：ΔACD～ΔBAD；(3)若BD＝8，tanB＝，求⊙O的面積．12．（2023·內蒙古包頭·校考三模）如圖，是的直徑，點A為圓上一點（不與C，D點重合），經過A作的切線，與的延長線交于點P，點M為上一點，連接并延長，與交于點F，E為上一點，且，連接并延長，與交于點B，連接．（1）求證：．（2）若，求的長．（3）如果，求的長．13．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，是的弦，延長交于點C，連接．(1)若平分，求的度數；(2)若點E為的中點，，，求的半徑．14．（2022·河南南陽·統(tǒng)考三模）閱讀資料：我們把頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如圖1中即為弦切角．同學們研究發(fā)現(xiàn)：A為圓上任意一點，當弦AB經過圓心O，且DB切于點B時，易證：弦切角．問題拓展：如圖2，點A是優(yōu)弧BC上任意一點，DB切于點B，求證：．證明：連接BO并延長交于點，連接，如圖2所示．∵DB與相切于點B，∴________∴．∵是直徑，∴_____________（依據）．∴．∴________________（依據）．又∵________________（依據），∴．(1)將上述證明過程及依據補充完整．(2)如圖3，的頂點C在上，AC和相交于點D，且AB是的切線，切點為B，連接BD．若，求BC的長．15．（2023·黑龍江綏化·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，然后解答問題：如圖（1）：AB是⊙O的直徑，AD是⊙O切線，BD交⊙O與點C，求證：∠DAC=∠B．證明：因為AB為直徑，AD為切線，所以AB⊥AD，即∠BAD=900，故∠DAC+∠BAC=900，又因為AB是直徑，所以∠ACB=900，即∠BAC+∠B=900，所以∠DAC=∠B．（1）如圖（2）：若AB不是⊙O的直徑，上述材料中的其他條件不變，那么∠DAC=∠B還成立嗎？如果成立，證明你的結論；如果不成立，猜想∠DAC和∠B的大小關系；（2）若切線AD和弦AC所夾的角∠DAC叫弦切角，那么通過上述的證明，可得出一個結論：弦切角等于它所夾的弧所對的角.16．（2023·安徽宿州·二模）如圖，是的內接三角形，D是圓外一點，連接，，連接交于點E．(1)求證：是的切線．(2)若，E是的中點，求的長度．

17．（2023春·浙江·九年級開學考試）如圖，已知⊙O和⊙⊙相交于A、B兩點，過點A作⊙的切線交⊙O于點C，過點B作兩圓的割線分別交⊙O、⊙于E、F，EF與AC相交于點P，（1）求證：；（2）求證：；（3）當⊙O與⊙為等圓時，且時，求△PEC與△FAP的面積的比值.18．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是的內心，的延長線與邊相交于點，與的外接圓相交于點．(1)求證：；(2)求證：；(3)求證：；(4)猜想：線段三者之間存在的等量關系．（直接寫出，不需證明．）

19．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）【問題探究】已知：如圖①所示，∠MPN的頂點為P，⊙O的圓心O從頂點P出發(fā)，沿著PN方向平移．（1）如圖②所示，當⊙O分別與射線PM，PN相交于A、B、C、D四個點，連接AC、BD，可以證得△PAC∽△，從而可以得到：PA?PB＝PC?PD．（2）如圖③所示，當