2025屆西藏省數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.42．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則（）A.255 B.257C.127 D.1293．命題“若，則”的否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．已知兩直線與，則與間的距離為（）A. B.C. D.5．已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則直線的斜率為A. B.C. D.7．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.8．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（）A. B.C. D.9．雙曲線x21的漸近線方程是（）A.y=±x B.y=±xC.y=± D.y=±2x10．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)則該數(shù)滿足的概率為（）A. B.C. D.11．設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無(wú)極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(guò)(a,0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率14．過(guò)拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)做拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，則A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為_(kāi)__________15．不等式的解集是_______________16．若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，四棱錐的底面為矩形，，，過(guò)底面對(duì)角線作與平行的平面交于點(diǎn)（1）求二面角的余弦值；（2）求與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正弦值18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）判斷點(diǎn)是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；（2）過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，過(guò)拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，……，以此類推，得到數(shù)列，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式.19．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí),求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點(diǎn)的軌跡方程20．（12分）已知雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)21．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，．點(diǎn)E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值22．（10分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得方程組，求得公差.【詳解】等差數(shù)列中,,，由通項(xiàng)公式可得解得故選：A2、C【解析】由題設(shè)可得，再由即可求值.【詳解】由數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，∴，即，∴.故選：C.3、B【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結(jié)論都要否定【詳解】解：因?yàn)樵}的否命題是條件結(jié)論都要否定所以命題“若，則”的否命題是若，則；故選：B4、B【解析】把直線的方程化簡(jiǎn)，再利用平行線間距離公式直接計(jì)算得解.【詳解】直線的方程化為：，顯然，，所以與間的距離為.故選：B5、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D6、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，求得p的值，即可得拋物線，的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)后，再根據(jù)斜率公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以直線的斜率為．故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及了直線的斜率公式；拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離；解題過(guò)程中注意焦點(diǎn)的位置.7、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D8、C【解析】建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示向量，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨令，則，，，，，.因?yàn)?，所以，則，，，，則解得，，，故.故選：C9、D【解析】根據(jù)雙曲線漸近線定義即可求解.【詳解】雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題.10、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得：在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選：.11、B【解析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.12、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過(guò)結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，存在使，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即有極小值，無(wú)極大值，故B錯(cuò)誤；設(shè)為的極值點(diǎn)，則，且，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確，D錯(cuò)誤.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、e＝2.【解析】先求出直線的方程，利用原點(diǎn)到直線的距離為，，求出的值，進(jìn)而根據(jù)求出離心率【詳解】由l過(guò)兩點(diǎn)(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點(diǎn)到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關(guān)于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應(yīng)舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線性質(zhì)，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構(gòu)造出關(guān)于的等式，屬于中檔題14、8【解析】設(shè)，，，，由可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切線的方程，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，三點(diǎn)共線時(shí)距離最小，進(jìn)而求出最小值【詳解】解：設(shè)，，，，由可得，所以，所以直線，的方程分別為：，，聯(lián)立，解得，即，，又有在準(zhǔn)線上，所以，所以，設(shè)直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，可得，所以可得，即直線恒過(guò)點(diǎn)，即直線恒過(guò)焦點(diǎn)，即直的方程為：，代入拋物線的方程：，，所以，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和，所以當(dāng)時(shí)，距離之和最小且為8，這時(shí)直線平行于軸故答案為：815、或【解析】將分式不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】將點(diǎn)代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）設(shè)，連接、，證明出平面，推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值；（2）利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（3）利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則為、的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，同理可證，，平面，，，則，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.【小問(wèn)2詳解】解：，，，因此，與所成角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】解：，，因此，與平面所成角的正弦值為.18、（1）在拋物線上，理由見(jiàn)解析（2）,,.【解析】（1）根據(jù)直線的方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（2）設(shè)出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令，即可求出，同理可以求出，設(shè)出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令即可求出的方程，若令，，即，故數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】由已知條件得直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，由直線的方程為可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足拋物線，則點(diǎn)是否在拋物線上；【小問(wèn)2詳解】設(shè)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知，設(shè)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，其中，即，，解得，直線的方程為，即，令得，即直線過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率為，直線的方程也可以表示為，即，令，，即，則，即數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故.19、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過(guò)的定點(diǎn),再根據(jù)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求解.(2)用直譯法求解【小問(wèn)1詳解】直線即,所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),因?yàn)橹本€PC的斜率所以此時(shí)直線的斜率所以當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最短時(shí),求直線的方程為,即【小問(wèn)2詳解】設(shè),易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因?yàn)閳A與圓外切,所以即整理得點(diǎn)的軌跡方程為20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線斜率、雙曲線過(guò)點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，由此可得雙曲線方程；（2）由雙曲線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得方程，與雙曲線方程聯(lián)立后，利用弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過(guò)點(diǎn)，；由得：，雙曲線的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由（1）得：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；若直線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，則，由得：；設(shè)，，則，；由雙曲線對(duì)稱性可知：當(dāng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)時(shí)，；綜上所述：.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫(xiě)出，，的坐標(biāo)，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫(xiě)出