學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1算法的基本思想1．通過對(duì)解決具體問題的過程與步驟的分析，體會(huì)算法的思想，了解算法的含義．2．學(xué)會(huì)用自然語言來描述算法；初步學(xué)會(huì)為一個(gè)具體問題設(shè)計(jì)算法．算法(1）定義:在解決某些問題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟，通過實(shí)施這些步驟來解決問題，通常把這些______稱為解決這些問題的算法．這種描述不是算法的嚴(yán)格定義，但是反映了算法的基本思想．(2）算法的性質(zhì):①確定性：算法中的每一步都應(yīng)該是確定的，并且能有效地執(zhí)行并得到確定的結(jié)果，而不能含糊其辭，含有歧義．②有限性:對(duì)于一個(gè)算法來說，它的操作步驟必須是有限的，必須在有限的步驟之內(nèi)完成．③普遍性:一個(gè)算法通常能解決一類問題，不是僅僅解決一個(gè)單獨(dú)的問題．(3）作用:使________代替人完成某些工作．（4）注意：解決一個(gè)問題可能有多個(gè)算法，但有優(yōu)劣之分，其中操作簡(jiǎn)單、步驟少且能解決一類問題的算法稱為最優(yōu)算法．算法與一般意義上具體問題的解法既有聯(lián)系又有區(qū)別，它們之間是一般與特殊、抽象與具體的關(guān)系．算法的獲得要借助于一般意義上具體問題的求解方法,而任何一個(gè)具體問題都可以利用這類問題的一般算法來解決．在解決某些問題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟,這些步驟稱為解決這些問題的算法，這種解決問題的思想方法稱為算法的思想．【做一做1】下列對(duì)算法的理解不正確的是(）．A．算法有一個(gè)共同特點(diǎn)就是對(duì)一類問題都有效(而不是個(gè)別問題）B．算法要求是一步步執(zhí)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果C．算法一般是機(jī)械的，有時(shí)要進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是是一種通法D．任何問題都可以用一個(gè)算法來解決【做一做2】求半徑r＝2的圓的周長(zhǎng),寫出算法．一個(gè)好的算法應(yīng)滿足哪些要求？剖析：一般來說，一個(gè)好的算法應(yīng)滿足以下要求：(1）寫出的算法必須能解決一類問題（例如解任意一個(gè)二元一次方程組)，并且能夠重復(fù)使用；（2）算法的過程要能一步一步執(zhí)行,每一步操作,必須明確,不能含混不清，而且要在有限步之內(nèi)得出結(jié)果；(3）算法要簡(jiǎn)潔,要清晰可讀，不能繁雜，也就是說在解決同一類問題的許多種不同的算法中，我們所確定的算法步驟應(yīng)該是最簡(jiǎn)單有效的，即最優(yōu)化算法．題型一算法的概念【例題1】下列關(guān)于算法的敘述中,不正確的是(）．A．計(jì)算機(jī)解決任何問題都需要算法B．只有將要解決的問題分解為若干步驟，并且用計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別的語言描述出來，計(jì)算機(jī)才能解決問題C．算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果D．解決同一個(gè)問題的算法并不唯一，而且每一個(gè)算法都要一步一步執(zhí)行，每一步都要產(chǎn)生確切的結(jié)果題型二求正約數(shù)的算法設(shè)計(jì)【例題2】求18的所有正約數(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)兩種算法．分析：分別對(duì)1，2，3，…，18逐一檢驗(yàn),或者對(duì)18進(jìn)行因數(shù)分解，寫出相關(guān)步驟即可．反思:解決一個(gè)問題可以有多個(gè)算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡(jiǎn)單的、步驟盡量少的算法．上面的兩種算法都符合題意，但算法二運(yùn)用了因數(shù)分解原理，這樣步驟就比算法一少了許多,因此更為科學(xué)．本題體現(xiàn)了算法的特征：(1)一個(gè)算法往往具有代表性,能夠解決一類問題；(2)算法不是唯一的；(3）兩種算法各自體現(xiàn)了不同的思想內(nèi)涵．題型三計(jì)算問題的算法設(shè)計(jì)【例題3】寫出求兩底面半徑分別為1和4,高為4的圓臺(tái)的側(cè)面積、表面積及體積的算法．分析：可先由兩底面半徑r1，r2和高h(yuǎn)計(jì)算出圓臺(tái)母線長(zhǎng)l，進(jìn)而求出圓臺(tái)側(cè)面積S側(cè)＝π(r1＋r2)l。同時(shí)由r1，r2計(jì)算出兩底面積S1，S2，然后由體積公式V＝eq\f(1,3)（S1＋S2＋eq\r（S1S2）)·h及表面積公式S＝S1＋S2＋S側(cè)求得結(jié)果．反思:寫數(shù)值性問題的算法一定要掌握有關(guān)知識(shí)及公式的正確運(yùn)用和計(jì)算,要注意過程的條理化和步驟的清晰化．題型四用二分法求方程近似解的算法設(shè)計(jì)【例題4】用二分法設(shè)計(jì)一個(gè)求方程x2－2＝0的近似解的算法．分析：若令f（x)＝x2－2，則求方程x2－2＝0的近似解,就是求函數(shù)f（x)的零點(diǎn)的近似值．借助用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法，我們便可以設(shè)計(jì)出求方程近似解的算法．反思：從本例可以發(fā)現(xiàn)，求解某類問題的算法不同于求解一個(gè)具體問題的方法，它必須能解決一類問題．只要有了解決問題的算法，不管借助的工具是紙筆、計(jì)算器，還是計(jì)算機(jī)，都能按照算法步驟求得相同的結(jié)果．題型五易錯(cuò)辨析【例題5】設(shè)計(jì)一個(gè)解方程ax2＋bx＋c＝0的算法．錯(cuò)解:小華采用的算法描述如下:1．計(jì)算Δ＝b2－4ac；2．若Δ＜0，則輸出“方程無實(shí)根”;3．若Δ＞0，則輸出方程的根．錯(cuò)因分析：上述算法中有兩處錯(cuò)誤：第一處是沒有考慮a是否為0，顯然a＝0時(shí)，方程無判別式,上述算法無效；第二處錯(cuò)誤是漏掉了Δ＝0的情況．1下列關(guān)于算法的說法中,正確的是()．A．算法就是某個(gè)問題的解題過程B．算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果C．解決某類問題的算法不一定是唯一的D．算法可以無限地操作下去不停止2下列語句表達(dá)中是算法的有（）．①從濟(jì)南到巴黎可以先乘火車到北京,再坐飛機(jī)抵達(dá);②＞2x＋4；③求M（1，2）與N（－3，－5）兩點(diǎn)連線的方程，可先求MN的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程求得．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)3給出算法：1．輸入n＝10.2．令i＝1，S＝0。3．判斷i≤n是否成立，若不成立,輸出S，結(jié)束算法；若成立,執(zhí)行下一步．4．令S的值加i,仍用S表示,令i的值增加1，仍用i表示，返回第3步．該算法的功能是_______________________________________________________．4已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,4,5，設(shè)計(jì)算法求其體積．5寫出解方程x2－2x－3＝0的一個(gè)算法．答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理（1)步驟（3)計(jì)算機(jī)【做一做1】D【做一做2】分析：直接用公式C＝2πr求解．解：算法如下：1．取r＝2.2．計(jì)算C＝2πr。3．輸出C.典型例題·領(lǐng)悟【例題1】C算法的主要特征是確定性和順序性，確定性包括結(jié)果明確，每一步產(chǎn)生的結(jié)果和最后的結(jié)果都是明確的；順序性包括步驟確切,每一步執(zhí)行什么是明確的；因此，C項(xiàng)不正確，故選C。【例題2】解：算法一：1．1是18的正約數(shù)，將1列出；2．2是18的正約數(shù)，將2列出;3．3是18的正約數(shù)，將3列出；4．4不是18的正約數(shù),將4刪除；……18．18是18的正約數(shù),將18列出．算法二:1．18＝2×9;2．18＝2×32；3．列出18的所有正約數(shù)：1，2，3，32,2×3，2×32.【例題3】解：算法步驟如下：1．取r1＝1，r2＝4，h＝4；2．計(jì)算l＝eq\r((r2－r1)2＋h2)；3．計(jì)算S1＝πr21，S2＝πr22，S側(cè)＝π(r1＋r2)l；4．計(jì)算S表＝S1＋S2＋S側(cè);5．計(jì)算V＝eq\f（1,3）(S1＋eq\r（S1S2）＋S2)h.【例題4】解：我們先假設(shè)所求近似值與精確解的差的絕對(duì)值不超過0.005.算法步驟如下:1．令f（x)＝x2－2。因?yàn)閒（1）＜0,f（2)＞0，所以設(shè)x1＝1，x2＝2.2．令m＝eq\f(x1＋x2,2),判斷f（m）是否為0.若是,則m為所求；若否，則繼續(xù)判斷f(x1)·f(m）大于0還是小于0。3．若f(x1）·f（m)＞0，則令x1＝m；否則，令x2＝m。4．判斷｜x1－x2|＜0。005是否成立．若是，則x1，x2之間的任意取值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第2步．【例題5】正解:1.輸入a，b，c的值．2．若a＝0，b≠0，則輸出方程的根x＝－eq\f（c,b）;若a＝b＝0,c≠0，則輸出“方程無實(shí)根”；若a＝b＝c＝0,則輸出“方程有無數(shù)個(gè)實(shí)根”．3．若a≠0，計(jì)算Δ＝b2－4ac:若Δ＜0，則輸出“方程無實(shí)根”；若Δ≥0，則輸出方程的根x1＝eq\f（－b－\r（Δ），2a)，x2＝eq\f(－b＋\r(Δ)，2a)。隨堂練習(xí)·鞏固1．C2．C3．計(jì)算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10的值4．分析：利用公式V長(zhǎng)方體＝長(zhǎng)×寬×高,寫出算法．解：算法如下：1．輸入長(zhǎng)方體的長(zhǎng)a，寬b，高h(yuǎn).2．計(jì)算V＝abh.3．輸出V.5．解:方