學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精本講測試1已知點M的極坐標為(-5,）,下列所給出的四個坐標中不能表示點M的坐標的是()A.(5，)B。（5，)C。（5,）D.（—5，)思路解析：點(—5,）所在的位置如圖:點(5，-)所在的位置如圖:而的終邊落在OB的位置上，極徑又是正的,所以B、C選項所表示的點也在點B的位置上;+2π=,的終邊落在OA的位置上，但是極徑是負的，D選項所表示的點也在點B的位置上。答案：A2點P的直角坐標為(1，），則點P的極坐標為（)A。(2,)B.(2,)C。（2，)D。(2，）思路解析：因為點P(1,）在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為，所以點P的一個極坐標為(2，)，排除A、B選項,+2π=，所以極坐標(2,）所表示的點在第二象限。答案：C3極坐標方程4ρ·sin2=5表示的曲線是(）A。圓B。橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線思路解析：若直接由所給方程很難斷定它表示何種曲線，因此通常要把極坐標方程化為直角坐標方程加以研究。4ρ·sin2=4ρ·=2ρ—2ρcosθ=5,化為直角坐標方程：=5，化簡,得y2=5x+.故該方程表示拋物線。答案:D4極坐標ρ=cos(—θ)表示的曲線是(）A。雙曲線B.橢圓C。拋物線D。圓思路解析：由ρ=cos(—θ)=cos(θ-）可直接判斷曲線為圓.也可以將方程化為直角坐標方程,判斷曲線形狀,由于ρ不恒等于0，方程兩邊同乘ρ,得ρ2=ρcos(—θ)=ρ(cosθ+sinθ）=（ρcosθ+ρsinθ)。在以極點為原點，以極軸為x軸正半軸的直角坐標系中,ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，因此有x2+y2=（x+y),∴方程ρ=cos（-θ）表示圓。此題還有另一種思路：極坐標方程ρ=2acosθ表示圓，而—θ與極軸的旋轉(zhuǎn)有關(guān)，它只影響圓心的位置，而不改變曲線的形狀，故方程ρ=cos(-θ)表示圓.答案：D5圓ρ=（cosθ+sinθ)的圓心坐標是()A。(1,）B。（,)C。（，)D。(2，）思路解析：可化為直角坐標方程(x-）2+(y—）2=1或化為ρ=2cos（θ—）,這是ρ=2rcos(θ-θ0）形式的圓的方程。答案：A6在極坐標系中,與圓ρ=4sinθ相切的一條直線方程為(）A.ρsinθ=2B。ρcosθ=2C。ρcosθ=4D。ρcosθ=—4思路解析：如圖，⊙C的極坐標方程為ρ=4sinθ，CO⊥Ox,OA為直徑，｜OA|=4，l和圓相切,l交極軸于B（2,0）,點P（ρ，θ)為l上任意一點,則有cosθ=,得ρcosθ=2。答案:B7已知直線的極坐標方程為ρsin(θ+）=,則極點到該直線的距離是__________.思路解析:極點的直角坐標為O（0,0），ρsin(θ+)=ρ(sinθ+cosθ）=，∴ρsinθ+ρcosθ=1，化為直角坐標方程為x+y—1=0?！帱cO（0,0）到直線x+y-1=0的距離為d==，即極點到直線ρsin(θ+）=的距離為。答案：8在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€(x—5)2+（y+6)2=1,求曲線C的方程，并判斷其形狀.思路分析：考查變換公式：將新坐標代入到已知曲線中,即可得原曲線方程。解：將代入（x′—5)2+（y′+6）2=1,得(2x—5）2+(2y+6)2=1?；喌茫▁-)2+(y+3)2=.∴曲線C是以(,-3)為圓心,半徑為的圓.9說出由曲線y=tanx得到曲線y=3tan2x的變換規(guī)律，并求滿足其圖形變換的伸縮變換.思路分析：函數(shù)y=f(ωx)，x∈R(其中ω＞0，ω≠1）的圖象，可以看作把f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短（當ω＞1時）或伸長（當0＜ω＜1時）到原來的（縱坐標不變）而得到。函數(shù)y=Af（x），x∈R(其中A＞0,ω≠1）的圖象,可以看作把f(x)圖象上所有點的縱坐標伸長（當A＞1時）或縮短(當0＜A＜1時）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到.圖形變換的伸縮變換公式：。解：y=tanx的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的,得到y(tǒng)=tan2x，再將其縱坐標伸長為原來的3倍，橫坐標不變，得到曲線y=3tan2x.設(shè)y′=3tan2x′，變換為將其代入y′=3tan2x′，得μy=3tan2λx.與y=tanx比較，可得10已知P(5,)，O為極點，求使△POP′為正三角形的P′點的坐標。思路分析：畫出圖形分析即可.解:設(shè)P′(ρ1,θ1）,∵△POP′為正三角形，如圖,∴∠POP′=60°?！唳?=—=或θ1=+=π.∵ρ1=5,∴P′（5，）或P′(5，π）.11圓心為C(3,)，半徑為3的圓的極坐標方程是什么？思路分析：此題較容易，根據(jù)圖形求各參數(shù),代入即可.解:如右圖，設(shè)圓上任一點為P（ρ,θ）,則｜OP|=ρ，∠POA=θ—，|OA|=2×3=6，Rt△OAP中,|OP|=|OA｜·cos∠POA,∴ρ=6cos（θ—)。12如圖1-1，長方體OABC—D′A′B′C′中，｜OA｜=3，｜OC｜=5，｜OD′|=3,A′C′與B′D′相交于點P，分別寫出點C、B′、P的柱坐標.圖1-1思路分析：求點的柱坐標，需要找到空間任意一點P在Oxy平面上的射影在平面Oxy上的極坐標(ρ,θ）(ρ≥0,0≤θ＜2π).解:C點的ρ、θ為｜OC｜及∠COA；B′點的ρ,θ分別為｜OB｜=,θ=∠BOA，tan∠BOA=，∴∠BOA=arctan.P點的ρ、θ為OE、∠AOE,|OE｜=|OB|,∠AOE=∠AOB。13如圖1-2，棱長為a的正方體OABC—D′A′B′C′中，對角線OB′與BD′相交于點P，頂點O為坐標原點，OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,試寫出點P的球坐標。圖1—2思路分析：求點P的球坐標,需要找（r，φ,θ）三個量。解:r=｜OP|,φ=∠D′OP,θ=∠AOB,｜OP|=a,∠D′OP=∠OB′B，tan∠OB′B=,θ=∠AOB=。14△ABC底邊BC=10,∠A=∠B，以B點為極點，BC為極軸，求頂點A的軌跡的極坐標方程。思路分析:本題利用正弦定理的邊角關(guān)系找到頂點A的ρ,θ之間的關(guān)系而求得其軌跡方程.解：如圖,令A(yù)（ρ，θ)。顯然△ABC內(nèi)，∠B=θ，∠A=，|BC|=10,｜AB｜=ρ。于是由正弦定理，得A點軌跡的極坐標方程為ρ=30—40sin2.15已知線段BB′=4，直線l垂直平分BB′，交BB′于點O，在屬于l并且以O(shè)為起點的同一射線上取兩點P、P′,使OP·OP′=9，求直線BP與直線B′P′的交點M的軌跡方程。思路分析：題目中有互相垂直的兩條直線，以它建立直角坐標系，將直線BP與B′P′的直線方程求出來，再去找交點M的坐標，把設(shè)的字母消掉即可得交點M的軌跡方程。解:以O(shè)為原點,BB′為y軸,l為x軸建立如右圖所示直角坐標系,則B（0，2),B′（0，—2）,設(shè)P（a,0),a≠0，則由OP·OP′=9，得P′(，0）.直線BP的方程為=1，直線B′P′的方程為=1，即2x+ay—2a設(shè)M(x,y),則由(a為參數(shù))。消去a,可得4x2+9y2=36（x≠0),∴點M的軌跡是長軸長為6，短軸長為4的橢圓（除去點B，B′）。16如圖1—3,在圓ρ=acosθ上有兩點A和B，它們的極角分別是α、β，由極點向直線AB作垂線，垂足為H，求H點的極坐標.圖1-3思路分析：求H點的極坐標,需要找到極角和極徑。極徑為OH，極角為∠HOC，找極角∠HOC時,利用初中學的圖形幾何關(guān)系.解：連結(jié)AC、BO，則∠OAC=∠OBC=，設(shè)∠AOC=α,∠BOC=β.∵∠OHB=，∴∠OCB+β=∠HOA+∠OAB=?！唷螼CB=∠OAB。∴∠HOA=β?！唷螲OC=α+β?！逴A=acosα,∴OH=acosαcosβ?！郒(acosαcosβ，α+β).17求過定圓內(nèi)一定點，且與定圓相切的圓心的軌跡的極坐標方程。思路分析：需要找圓心P的極角和極徑的關(guān)系.在這里可以根據(jù)三角形中的余弦定理來建立關(guān)系式。解：以定圓圓心O為極點，定點為點A。求圓心P的軌跡。以射線OA為極軸建立極坐標系.設(shè)定圓半徑為r，A(m,0），P（ρ,0），在△AOP中，|AP|2=|OA｜2+|OP｜2-2｜OA|·|OP|cosθ，即（r-ρ）2=m2+ρ2—2mρcosθ。化簡得ρ=。當m取不同數(shù)值時，軌跡會有不同的形狀.18在極坐標系中,已知圓C的圓心C（3,)，半徑為1.Q點在圓周上運動，O為極點.（1）求圓C的極坐標方程；（2)若P在直線OQ上運動,且滿足,求動點P的軌跡方程.思路分析：在△OCM中，根據(jù)余弦定理,可找到圓C上的任意一點M的ρ、θ之間的關(guān)系；通過比例，可找到Q點與P點極坐標之間的關(guān)系，從而求出點P的軌跡方程。解：（1)設(shè)M（ρ，θ)為圓C上任意一點，如圖，在△OCM中,｜OC|=3，｜OM|=ρ,|CM|=1,∠COM=|θ-|,根據(jù)余弦定理,得1=ρ2+9—2·ρ·3·cos|θ-|。化簡整理，得ρ2—6·ρcos（θ—）+8=0為圓C的軌跡方程。（2)設(shè)Q(ρ1，θ1),則有ρ12-6·ρ1cos(θ1—）+8=0。①設(shè)P(ρ,θ）,則OQ∶QP=ρ1∶（ρ-ρ1)=2∶3.∴ρ1=ρ.又θ1=θ，即代入①,得ρ2—6·ρcos(θ-）+8=0。整理,得ρ2-15ρcos(θ—）+50=0。它為P點的軌跡方程。19如圖1-4，在面積為1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=2.建立適當?shù)淖鴺讼?求出以M、N為焦點,且過點P的橢圓方程。圖1—4思路分析：在此題中,角的正切可看作相應(yīng)直線的斜率,從而得點P的坐標與c的關(guān)系,求a時可有三種方法：代入點法,利用橢圓的第一定義得方程；利用點在橢圓上,將點的坐標代入橢圓方程；根據(jù)△PMN是直角三角形。解：以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸建立坐標系.設(shè)以M、N為焦點，且過點P的橢圓方程為=1，焦點為M(—c，0),N（c,0）.由tan∠PMN=，tan∠PNx=tan（π-∠PNM)=-2，得直線PM和PN的方程分別為y=（x+c)和y=—2（x-c)。聯(lián)立兩方程解得x=c,y=c，即P點坐標為(c,c）.在△PMN中,MN=2c,MN上的高為c，∴S△MNP=×2c×c=1.∴c=，即P點坐標為(）,|PM|==2，｜PN｜==1.∴a=(｜PM|+|PN｜）=.從而b2=a2—c2=1，故所求橢圓方程為x2+y2=1.20如圖1-5，直線l1和l2相交于點M，點N∈l1，以A、B為端點的曲線段C上任意一點到l2的距離與到點N的距離相等,若△AMN為銳角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立適當坐標系，求曲線段C的方程.圖1-5思路分析：題中給出了相互垂直的直線l1、l2,則以l1、l2為x軸、y軸，M為坐標原點,建立坐標系的思路非常自然，設(shè)P(x，y)是曲線段C上任意一點,作PH⊥l2,H是垂足,則由題意知點P滿足等式｜PN|=|PH｜，為求得方程，只需求得N點的坐標.解法一：如右圖，建立坐標系,分別以l1、l2為x軸、y軸,M為坐標原點,作AE⊥l1，AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分別是E、D、F,設(shè)A（xA，yA),B(xB，yB）,N(xN，0),依題意，有xA=|ME｜=|DA|=｜AN|=3,yA=｜DM｜==。由于△AMN是銳角三角形，故有xN=｜ME｜+｜EN｜=|ME|+=4，xB=｜BF｜=｜BN｜=6。設(shè)點P(x，y）是曲線段C上任一點,作PH⊥l2,H是垂足，則由題意知P屬于集合{(x,y）|（x—xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y>0}.故曲線段C的方程為y2=8(x-2）（3≤x≤6,y〉0)。解法二：如圖，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立坐標系,根據(jù)題意,曲線段C是以N