PAGE第三章三角函數、解三角形第一講隨意角和弧度制及隨意角的三角函數學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一角的有關概念(1)從運動的角度看，角可分為正角、__負角__和__零角__.(2)從終邊位置來看，角可分為__象限角__與__軸線角__.(3)若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為__β＝2kπ＋α，k∈Z__.學問點二弧度制及弧長、扇形面積公式(1)1弧度的角長度等于__半徑長__的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度數假如半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數的肯定值是|α|＝__eq\f(l,r)__.(3)角度與弧度的換算①1°＝__eq\f(π,180)rad__；②1rad＝__(eq\f(180,π))°__.(4)弧長、扇形面積的公式設扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝__|α|r__，扇形的面積為S＝eq\f(1,2)lr＝__eq\f(1,2)|α|·r2__.學問點三隨意角的三角函數(1)定義：設α是一個隨意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝__eq\f(y,x)(x≠0)__.(2)幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是點(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的__正弦線__，__余弦線__和__正切線__.eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．終邊相同的角與對稱性拓展(1)β，α終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α終邊關于x軸對稱?β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α終邊關于y軸對稱?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)β，α終邊關于原點對稱?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.2．終邊相同的角不肯定相等，相等角的終邊肯定相同，在書寫與角α終邊相同的角時，單位必需一樣．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角．(×)(2)銳角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是30°.(×)(4)相等的角終邊肯定相同，終邊相同的角也肯定相等．(×)(5)角a＝kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)是第一象限角．(×)(6)若sinα＝sineq\f(π,7)，則α＝eq\f(π,7).(×)[解析]依據隨意角的概念知(1)(2)(3)(4)(5)(6)均是錯誤的．題組二走進教材2．(必修4P10AT8改編)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中正確的是(C)A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)[解析]由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現角度和弧度，應為eq\f(π,4)＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．3．(必修4P15T6改編)若角θ滿意tanθ>0，sinθ<0，則角θ所在的象限是(C)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]由tanθ>0知，θ是一、三象限角，由sinθ<0知，θ是三、四象限角或終邊在y軸負半軸上，故θ是第三象限角．4．已知扇形的周長為10cm，面積是4cm2，則扇形的圓心角的弧度數是(B)A．8 B．eq\f(1,2)C．8或eq\f(1,2) D．8或4[解析]設圓心角是θ，半徑是rcm，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,θ＝8))(舍)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4，,θ＝\f(1,2)，))故扇形圓心角為eq\f(1,2).題組三走向高考5．(2024·課標Ⅱ，2,5分)若α為第四象限角，則(D)A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0[解析]∵α是第四象限角，∴－eq\f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的終邊在第三、四象限或y軸非正半軸上，∴sin2α<0，cos2α可正、可負、可零．故選D．6．(2024·浙江，14分)已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).則sin(α＋π)的值為__eq\f(4,5)__.[解析]由角α的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))得sinα＝－eq\f(4,5)，所以sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(4,5).考點突破·互動探究考點一角的基本概念——自主練透例1(1)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，則在區(qū)間[0,2π)內終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角為__eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21)__.(2)若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線y＝－eq\r(3)x上，則角α的取值集合是(D)A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)))) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))(3)已知角α的終邊在其次象限，則eq\f(α,2)的終邊必在第幾象限(C)A．一 B．三C．一或三 D．二或四[解析](1)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．依題意，0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)<2π，k∈Z，解得－eq\f(3,7)≤k<eq\f(18,7)，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在區(qū)間[0,2π)內終邊與eq\f(θ,3)相同的角為eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21).(2)因為直線y＝－eq\r(3)x的傾斜角是eq\f(2π,3)，所以終邊落在直線y＝－eq\r(3)x上的角的取值集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))，故選D．(3)由角α的終邊在其次象限，所以eq\f(π,2)＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z，所以eq\f(π,4)＋eq\f(k,2)·2π<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋eq\f(k,2)·2π，k∈Z，當k＝2m，m∈Z時，eq\f(π,4)＋m·2π<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋m·2π，m∈Z，所以eq\f(α,2)終邊在第一象限；當k＝2m＋1，m∈Z時，eq\f(5π,4)＋m·2π<eq\f(α,2)<eq\f(3π,2)＋m·2π，m∈Z，所以eq\f(α,2)終邊在第三象限，綜上，eq\f(α,2)的終邊在第一或三象限．故選C．[引申](1)本例題(3)中，若把其次象限改為第三象限，則結果如何？[答案]eq\f(α,2)的終邊在其次或第四象限．(2)在本例題(3)中，條件不變，eq\f(α,3)的終邊所在的位置是__在第一、二或四象限__.(3)在本例(3)中，條件不變，則π－α是第__一__象限角，2α終邊的位置是__第三或第四象限或y軸負半軸上__.名師點撥1．快速進行角度和弧度的互化，精確推斷角所在的象限是學習三角函數學問必備的基本功，若要確定一個肯定值較大的角所在的象限，一般是先將角化成2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再依據α所在的象限予以推斷，這里要特殊留意是π的偶數倍，而不是π的整數倍．2．終邊相同角的表達式的應用利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的全部角的集合，然后通過對集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需角．3．確定eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法(1)探討法：①用終邊相同角的形式表示出角α的范圍．②寫出eq\f(α,k)的范圍．③依據k的可能取值探討確定eq\f(α,k)的終邊所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求eq\f(α,k)是第幾象限角．①等分：將每個象限分成k等份．②標注：從x軸正半軸起先，依據逆時針方向順次循環(huán)標上1,2,3,4，直至回到x軸正半軸．③選答：出現數字m的區(qū)域，即為eq\f(α,k)所在的象限．如eq\f(α,2)推斷象限問題可采納等分象限法．考點二扇形的弧長、面積公式的應用——師生共研例2已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長是20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．[解析](1)α＝60°＝eq\f(π,3)，l＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以當R＝5時，S取得最大值25cm2，此時l＝10，α＝2.(3)設弓形面積為S弓．由題知l＝eq\f(2π,3)cm.S弓＝S扇形－S三角形＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2－eq\f(1,2)×22×sineq\f(π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3)))cm2.[答案](1)eq\f(10π,3)cm(2)α＝2時，S最大為25cm2(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3)))cm2名師點撥弧長和扇形面積的計算方法(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更便利、簡捷．但要留意圓心角的單位是弧度．(2)從扇形面積動身，在弧度制下使問題轉化為關于α的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值．(3)記住下列公式：①l＝αR；②S＝eq\f(1,2)lR；③S＝eq\f(1,2)αR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，α(0<α<2π)為圓心角，S是扇形面積．〔變式訓練1〕(1)(2024·廣東珠海模擬)已知扇形的周長是4cm，則扇形面積最大時，扇形的圓心角的弧度數是(A)A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．3(2)(2024·山東濰坊期中)《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的閱歷公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑為6m的弧田，依據上述閱歷公式計算所得弧田面積約是(eq\r(3)≈1.73)(C)A．16m2 B．18m2C．20m2 D．25m2[解析](1)設扇形的半徑為R，則弧長l＝4－2R，∴扇形面積S＝eq\f(1,2)lR＝R(2－R)＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，當R＝1時，S最大，此時l＝2，扇形圓心角為2弧度．(2)如圖，由題意，得∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝6.在Rt△AOD中，可得∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×6＝3，可得矢＝6－3＝3.由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，可得弦AB＝2AD＝2×3eq\r(3)＝6eq\r(3)，所以弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)(6eq\r(3)×3＋32)＝9eq\r(3)＋4.5≈20(m2)，故選C．考點三三角函數的定義——多維探究角度1定義的干脆應用例3(1)(2024·北京海淀期中)在平面直角坐標系xOy中，點A的縱坐標為2，點C在x軸的正半軸上．在△AOC中，若cos∠AOC＝－eq\f(\r(5),3)，則點A的橫坐標為(A)A．－eq\r(5) B．eq\r(5)C．－3 D．3(2)若角θ的終邊經過點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，則cosθ的值為__－eq\f(\r(6),4)__.[分析]利用三角函數的定義求解．[解析](1)設點A的橫坐標為x，則由題意知eq\f(x,\r(x2＋4))＝－eq\f(\r(5),3)，解得x＝eq\r(5)或－eq\r(5)，又x<0，∴x＝－eq\r(5)，故選A．(2)由題意知r＝eq\r(3＋m2)，所以sinθ＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2),4)m，因為m≠0，所以m＝±eq\r(5)，所以r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，所以cosθ＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4).角度2三角函數值符號的應用例4(1)下列各選項中正確的是(D)A．sin300°>0 B．cos(－305°)<0C．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)π))>0 D．sin10<0(2)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是(C)A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析](1)300°＝360°－60°，則300°是第四象限角，故sin300°<0，－305°＝－360°＋55°，則－305°是第一象限角，故cos(－305°)<0，而－eq\f(22,3)π＝－8π＋eq\f(2π,3)，所以－eq\f(22,3)π是其次象限角，故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))<0，因為3π<10<eq\f(7π,2)，所以10是第三象限角，故sin10<0.故選D．(2)由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號，則α為其次或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0可知cosα，tanα異號，則α為第三或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．故選C．名師點撥定義法求三角函數值的兩種狀況(1)已知角α終邊上一點P的坐標，可先求出點P到原點的距離|OP|＝r，然后利用三角函數的定義求解．(2)已知角α的終邊所在的直線方程，可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離r，再利用三角函數的定義求解，應留意分狀況探討．〔變式訓練2〕(1)(角度1)若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是(D)A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)(角度2)已知角α的終邊與單位圓的交點為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα等于(C)A．－eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2) D．±eq\f(3,2)[解析](1)由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，cosθ>0，又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角，選D．(2)因為點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))在單位圓上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋y2＝1，解得y＝±eq\f(\r(3),2).當y＝eq\f(\r(3),2)時，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，所以sinα·tanα＝－eq\f(3,2).當y＝－eq\f(\r(3),2)時，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，所以sinα·tanα＝－eq\f(3,2).綜上知，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).名師講壇·素養(yǎng)提升利用三角函數線解三角不等式例5(1)不等式sinx≥eq\f(\r(3),2)的解集為__eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)))))≤x≤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))__.(2)不等式cosx≥－eq\f(1,2)的解集為__eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)≤))))x≤2kπ＋eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，k∈Z))__.(3)函數f(x)＝eq\r(2sinx＋1)＋lg(2cosx－eq\r(2))的定義域為__eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)≤x<2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))__.[分析](3)依據題意列出不等式組，通過畫圖作出三角函數線，找到邊界角，從而求出各不等式的取值范圍，最終求交集即可．[解析](1)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))作平行于x軸的直線，交單位圓于點P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則以OP1、OP2為終邊的角分別為eq\f(π,3)＋2kπ、eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，其正弦值為eq\f(\r(3),2)，終邊落在陰影部分的角的正弦值不小于eq\f(\r(3),2)，∴sinx≥eq\f(\r(3),2)的解集為{x|2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．(2)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))作垂直于x軸的直線與單位圓交于點Q1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Q2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，則以OQ1，OQ2為終邊的角的余弦值為－eq\f(1,2)，其對應的角分別為2kπ＋eq\f(2π,3)、2kπ－eq\f(2π,3)(k∈Z)，終邊落在陰影部分的角的余弦值大于－eq\f(1,2).∴cosx≥－eq\f(1,2)的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)≤x≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx＋1≥0，,2cosx－\r(2)>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥－\f(1,2)，①,cosx>\f(\r(2),2).②))在單位圓中分別畫出不等式①②的解集對應的區(qū)域，其公共區(qū)域為不等式組的解集，∴函數f(x)的定義域為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc