PAGE第一節(jié)隨機抽樣[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.理解隨機抽樣的必要性和重要性.2.會用簡潔隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣.簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的相關概念，是2024年高考考查的熱點，題型仍將是以選擇題與填空題為主，分值為5分.1.數(shù)學運算2.數(shù)據(jù)分析‖學問梳理‖1．簡潔隨機抽樣(1)抽取方式：逐個eq\x(1)不放回地抽取；(2)特點：每個個體被抽到的概率eq\x(2)相等；(3)常用方法：eq\x(3)抽簽法和eq\x(4)隨機數(shù)法．2．分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數(shù)量的個體，作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)分層抽樣的應用范圍當總體是由eq\x(5)差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．3．系統(tǒng)抽樣的步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)先將總體的N個個體eq\x(6)編號．(2)確定eq\x(7)分段間隔k，對編號進行eq\x(8)分段，當eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n).(3)在第1段用eq\x(9)簡潔隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)．(4)依據(jù)肯定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號eq\x(10)l＋k，再加k得到第3個個體編號eq\x(11)l＋2k，依次進行下去，直到獲得整個樣本．‖基礎自測‖一、疑誤辨析1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)在簡潔隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關，第一次被抽到的可能性最大．()(2)從100件玩具中隨機拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡潔隨機抽樣．()(3)系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)許多且均衡的總體．()(4)要從1002個學生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，須要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公允．()(5)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關．()(6)某校即將召開學生代表大會，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣的方法抽?。?)答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√二、走進教材2．(必修3P100A1改編)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體B．個體C．樣本的容量D．從總體中抽取的一個樣本答案：A3．(必修3P100A2(2)改編)一個公司共有N名員工，下設一些部門，要采納等比例分層抽樣的方法從全體員工中抽取樣本容量為n的樣本，已知某部門有m名員工，那么從該部門抽取的員工人數(shù)是________．答案：eq\f(mn,N)三、易錯自糾4．從2017名學生中選取50名學生參與全國數(shù)學聯(lián)賽，若采納以下方法選?。合扔煤啙嶋S機抽樣法從2017名學生中剔除17名學生，剩下的2000名學生再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學生入選的概率()A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為eq\f(50,2017) D．都相等，且為eq\f(1,40)解析：選C若從N個個體中抽取M個個體，則每個個體被抽到的概率都等于eq\f(M,N).5．從300名學生(其中男生180人，女生120人)中按性別用分層抽樣的方法抽取50人參與競賽，則應當抽取男生人數(shù)為()A．27 B．30C．33 D．36解析：選B因為男生與女生的比例為180∶120＝3∶2，所以應當抽取男生人數(shù)為50×eq\f(3,3＋2)＝30.eq\a\vs4\al(考點一\a\vs4\al(簡潔隨機抽樣))|題組突破|1．某班級有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，其中一次抽樣結果是：抽到了4名男生、6名女生，則下列命題正確的是()A．這次抽樣可能采納的是簡潔隨機抽樣B．這次抽樣肯定沒有采納系統(tǒng)抽樣C．這次抽樣中每個女生被抽到的概率大于每個男生被抽到的概率D．這次抽樣中每個女生被抽到的概率小于每個男生被抽到的概率解析：選A這次抽樣可能采納的是簡潔隨機抽樣，A正確；這次抽樣可能采納系統(tǒng)抽樣，男生編號為1～20，女生編號為21～50，間隔為5，依次抽取1號，6號，…，46號便可，B錯誤；這次抽樣中每個女生被抽到的概率等于每個男生被抽到的概率，C、D均錯誤．故選A．2．(2025屆上饒模擬)已知總體由編號為00，01，02，…，48，49的50個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取8個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字起先由左向右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第8個個體的編號為()附：第6行至第9行的隨機數(shù)表：16227794394954435482173793237887352096438426349164844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A．17 B．20C．23 D．37解析：選B從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字起先由左到右依次選取兩個數(shù)字，符合條件的依次為39，49，43，17，37，23，35，20，故第8個數(shù)為20.3．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3解析：選D由于三種抽樣過程中，每個個體被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.?名師點津一個抽樣試驗用抽簽法的2個留意事項一是抽簽是否便利；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．eq\a\vs4\al(考點二\a\vs4\al(系統(tǒng)抽樣))|題組突破|4．(2025屆江西八校聯(lián)考)從編號為001，002，…，500的500個產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007，032，則樣本中最大的編號應當為()A．480 B．481C．482 D．483解析：選C依據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知，樣本的編號成等差數(shù)列，令a1＝7，a2＝32，則d＝25，所以an＝7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，所以最大編號為7＋25×19＝482.5．采納系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調查，將他們隨機編號1，2，…，1000.適當分組后在第一組采納簡潔隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.若抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間[1，400]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[401，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為()A．12 B．13C．14 D．15解析：選A依據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點可知，全部做問卷調查的人的編號構成首項為8，公差d＝eq\f(1000,50)＝20的等差數(shù)列{an}，∴通項公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12.令751≤20n－12≤1000，解得eq\f(763,20)≤n≤eq\f(253,5).又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做問卷C的共有12人．6．(2024年全國卷Ⅰ)某學校為了解1000名新生的身體素養(yǎng)，將這些學生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質測驗．若46號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是()A．8號學生 B．200號學生C．616號學生 D．815號學生解析：選C由系統(tǒng)抽樣可知，第一組學生的編號為1～10，其次組學生的編號為11～20，…，最終一組學生的編號為991～1000.設第一組取到的學生編號為x，則其次組取到的學生編號為x＋10，以此類推，所取的學生編號為10的倍數(shù)加x.因為46號學生被抽到，所以x＝6，所以616號學生被抽到，故選C．?名師點津解決系統(tǒng)抽樣問題的2個關鍵步驟(1)分組的方法應依據(jù)抽取比例而定，即依據(jù)定義每組抽取一個樣本．(2)起始編號的確定應用簡潔隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定了．eq\a\vs4\al(考點\a\vs4\al(分層抽樣))【例】(2025屆洛陽模擬)某高校數(shù)學系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1，要用分層抽樣的方法從全部本科生中抽取一個容量為200的樣本，則應抽取三年級的學生人數(shù)為()A．80 B．40C．60 D．20[解析]因為要用分層抽樣的方法從該系全部本科生中抽取一個容量為200的樣本，一、二、三、四年級的學生比為4∶3∶2∶1，所以三年級要抽取的學生人數(shù)是eq\f(2,4＋3＋2＋1)×200＝40.[答案]B?名師點津分層抽樣中的計算問題分層抽樣滿足“eq\f(每層中抽取的個體數(shù)量,本層的總個體數(shù)量)＝eq\f(樣本容量,總體數(shù)量)”，即“eq\f(n1,N1)＝eq\f(n2,N2)＝…＝eq\f(n,N)或n1∶n2∶…∶n＝N1∶N2∶…∶N”，據(jù)此在已知每層間的個體數(shù)量或數(shù)量比、樣本容量、總體數(shù)量中的兩個時，就可以求出第三個．|跟蹤訓練|某中學在校學生有2000人．為了響應“陽光體育運動”的號召，學校開展了跑步和登山競賽活動．每人都參與而且只參與其中一項競賽，各年級參與競賽的人數(shù)狀況如下表：高一年級高二年級高三年級跑步abc登山xyz其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校參與登山的人數(shù)占總人數(shù)的eq\f(2,5).為了了解學生對本次活動的滿足程度，從中抽取一個200人的樣本進行調查，則從高二年級參與跑步的學生中應抽取________人．解析：依據(jù)題意可知，樣本中參與跑步的人數(shù)為200×eq\f(3,5)＝120，所以從高二年級參與跑步的學生中應抽取的人數(shù)為120×eq\f(3,2＋3＋5)＝36.答案：36eq\a\vs4\al(考點\a\vs4\al(分層抽樣與概率的交匯應用問題))【例】(2024年天津卷)2024年，我國施行個人所得稅專項附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受狀況．(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受狀況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結果；②設M為事務“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事務M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采納分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．(2)①從已知的6人中隨機抽取2人的全部可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．②由表格知，符合題意的全部可能結果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．所以，事務M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).?名師點津先通過分層抽樣確定抽取樣本，再依據(jù)古典概型確定概率是解決分層抽樣與概率問題的關鍵．|跟蹤訓練|(2025屆綿陽模擬)某校共有在職老師140人，其中高級老師28人，中級老師56人，初級老師56人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法從在職老師中抽取5人進行職稱改革調研，然后從抽取的5人中隨機抽取2人進行深化了解，則抽取的這2人中至少有1人是初級老師的概率為()A．eq\f(7,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(3,20) D．eq\f(7,20)解析：選A由題意得，應從高級、中級、初級老師中抽取的人數(shù)分別為5×eq\f(28,140)＝1，5×eq\f(56,