高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精品資料一?高中數(shù)學(xué)解題小結(jié)大匯總

熟悉這些解題小結(jié)論，啟迪解題思路、探求解題佳徑，總結(jié)解題方法，防止解

題易誤點(diǎn)的產(chǎn)生，對(duì)提升高考數(shù)學(xué)成績(jī)將會(huì)起到立竿見(jiàn)影的效果。

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

I.集合的元素具有無(wú)序性和互異性.

2.對(duì)集合4B,4口8=0時(shí)，你是否注意到“極端”情況：A=0或3=0；

求集合的子集時(shí)是否注意到0是任何集合的子集、。是任何非空集合的真子集

3.對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的

個(gè)數(shù)依次為2“，2"一1,2"-1,2'-2.

4.“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即Cu(An3)=Cu4UG；B”；“并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交，

即6(41]8)=孰4口「,8”.

5.判斷命題的真假

關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞"；注意：“不域‘即‘且‘，不目即或”.

6.“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)

是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”.

7.四種命題中“‘逆‘者‘交換‘也”、"‘否‘者‘否定‘也”.

原命題等價(jià)于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià).反證法分為三

步：假設(shè)、推矛、得果.

注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結(jié)論’所得

命題”，但苕命前是“既否定原命施而條件作為條限其否定施命函前結(jié)論作為結(jié)

論的歷.得命題”?.

8.?克妻蔡彳牛

二、函數(shù)

1.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，

d=NoTog“N=b(a>0,a*l,N>0),.

a°=l,logj=0,logtta=l,Ig2+lg5=l,logrx=lnx,

log4/機(jī)

2.(1)映射是“‘全部射出‘加‘一箭一雕映射中第一個(gè)集合A中的元素

必有像，但第二個(gè)集合8中的元素不一定有原像(4中元素的像有且僅有下一個(gè)，

但3中元素的原像可能沒(méi)有，也可任意個(gè))；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中

“值域是映射中像集8的子集”.

(2)函數(shù)圖像與x軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)，但與)，軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有，也

可任意個(gè).

(3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.

(4)原函數(shù)與反函數(shù)有兩個(gè)“交叉關(guān)系”：自變量與因變量、定義域與值域.求一

個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，分三步：逆解、交換、定域(確定原函數(shù)的值域，并作為反函數(shù)

的定義域).

注意：①/⑷尸3)=即f[f-i(x)]=x,廣I"(x)]=x,

e/rr,u)]*/-'[/?].

②0函數(shù)y=/(x+1)的反函數(shù)是y=f~\x)-\,而不是y=r'lx+l).

3,單調(diào)性和奇偶性

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)和原函數(shù)有相同的性；如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函

數(shù)一定還是奇函數(shù).

注意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱③.

確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.

對(duì)于偶函數(shù)而言有：/(-X)=/(X)=/(|A-|).

(2)若奇函數(shù)定義域中有。，則必有/(0)=0.即Ow/(x)的定義域時(shí)，

/(0)=。是/(幻為奇函數(shù)的必要非充分條件.

(3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)應(yīng)間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、

鑒定)、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.

(4)函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的一個(gè)充分非必要條件.

(5)定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一

個(gè)偶函數(shù)的和(或差)”.

(6)函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的充分非必要條件，奇函數(shù)可能反函數(shù)，但偶函數(shù)

只有/。)=0(冗10})有反函數(shù)，既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(/(x)=0,定義域是關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集).

(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。(即復(fù)合有意義)

4.對(duì)稱性與周期性(以下結(jié)論要消化吸收，不可強(qiáng)記)

⑴函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖像關(guān)于直線目=0(y軸)對(duì)稱.

推廣一：如果函數(shù)y=f(x)對(duì)于一切xwR.者B有/(a+x)=/(b—x)成立，那么

y=/(x)的圖像關(guān)于直線工=萼(由U和的一半彳=3+?：』一無(wú))確定,)對(duì)稱.

推廣二：函數(shù)y=/(〃+x),尸/9-耳的圖像關(guān)于直線.入(由

a+x=Z?-x確定)對(duì)稱.

⑵函數(shù)y=與函數(shù)y=-/(x)的圖像關(guān)于直線)，=0㈠軸)對(duì)稱.

推廣：函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=A-f(x)的圖像關(guān)于直線y/對(duì)稱(由“y和

的一半)，="＜刈+B-"刈確定").

(3)函數(shù))，=/⑺與函數(shù))，=-/(-%)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱.

推廣：函數(shù))，=/(%)與函數(shù)尸”的圖像關(guān)于點(diǎn)號(hào),啰中心對(duì)稱.

⑷函數(shù)丁一/⑴與函數(shù)y=/T(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

推廣：曲線/(匹丁)=0關(guān)于直線y=的對(duì)稱曲線是/(y-仇元+力)=0;

曲線/(%,y)=0關(guān)于直線y=-X+〃的對(duì)稱曲線是f{-y+b,-x+b)=0.

(5)曲線/*,y)=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，所得曲線是/(y,-x)=0(逆時(shí)針橫

變?cè)俳粨Q).

特別:y=f(x)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得一x=/(y),若y=/(x)有反函數(shù)

y=f~lM,則得y=/T(T).

曲線/(%y)=o繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90"所得曲線是/(-y.x)=o(順時(shí)針縱變

再交換).

特別：y=/&)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9(y,得工=/(-y),若)=/")有反函數(shù)

y=f-i(x),則得)，=-廣(X).

(6)類比“三角函數(shù)圖像”得：

若＞=/")圖像有兩條對(duì)稱軸x=〃，x=b(aNb),則y=f(x)必是周期函數(shù)，且

一周期為丁=2|。一。|.

若y=/(x)圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),B(b,0)(a/b),貝ljy=f(x)是周期函數(shù)，

且一周期為7=2|。-切.

如果函數(shù))，=/(x)的圖像有下一個(gè)對(duì)稱中心A(a,0)和一條對(duì)稱軸工=伏〃工。)，則

函數(shù)y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為丁=4|。-加.

如果)，=/(幻是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為7\那么

f(x±nT)=f(x)(neZ).

特別：若/(x+a)=-f(x)(aw0)恒成立,則T=2。.

若f(x+a)=-^—(a^0)恒成立，則丁=勿.若f(x+a)=w0)恒

fMf(x)

成立，則丁=2a.

如果y=/a)是周期函數(shù)，那么y=/(x)的定義域“無(wú)界”.

5.圖像變換

(1)函數(shù)圖像的平移和伸縮變換應(yīng)注意哪些問(wèn)題？

函數(shù)y=/(X)的圖像按向量〃=伏,力)平移后，得函數(shù)y-h=f(x-幻的圖像.

(2)函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點(diǎn)、特殊線也作相應(yīng)的變換.

(3)圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)與常見(jiàn)函數(shù)(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次

函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“魚(yú)鉤函數(shù)

y…4(%＞0)”及函數(shù)y=x+K化＜0)等)相互轉(zhuǎn)化.

JCX

注意：①形如y=a?+"+c的函數(shù)，不一定是二次函數(shù).

②應(yīng)特別重視“二次三項(xiàng)式"、“二次方程"、“二次函數(shù)”、“二次曲線”

之間的特別聯(lián)系.

③形如)，="甘(cwO,"wbc)的圖像是等軸雙曲線，雙曲線兩漸近線分別直

CaIc<

線)--鄉(xiāng)(由分母為零確定)、直線)，-￡(由分子、分母中X的系數(shù)確定)，雙曲線

的中心是點(diǎn)(—43).8

cc

三、數(shù)列

L數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前〃

項(xiàng)和公式的關(guān)系：勺咂勺￡[(〃22)(多矍時(shí)遁婚討涉

注意:%=(&-%)+(*-a*2)+…+(%—%)+%；

a?.............

凡7an-2%

2.等差數(shù)列口｝中:

(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

(2)an=^+(n-1)J=am+(n-ni)d；p+q=m+n=>ap+aq=am+an.

(3)｛瑪｛N〃｝也成等差數(shù)列?(4)兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)

列仍成等差數(shù)列.

(5)%+%+…+4+可+]+…+4+〃1，…仍成等差數(shù)列?

八cn(a.+an)_n(n-\),仁d2/d、

⑹S〃=:，S.=叫+一^^Sn=-n-+(a,--)nt

V沁,令=f(〃)n-=f(2"l).

2n-1紇t>n

(7)ap=q4q=p(p手q)=ap+q=0；S;,=qiSq=p(p。g)=>Sp+(f=一(p+q)；

Sm+n=Sm+Sn+rnnd.

(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；

“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和；

(9)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是

偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”-“奇數(shù)項(xiàng)和”二總項(xiàng)數(shù)的

一半與其公差的積；若總與數(shù)為奇數(shù)，則:奇數(shù)項(xiàng)和二一二偶數(shù)項(xiàng)和:=此數(shù)列的

場(chǎng).

(10)兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常考慮選用

“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式

法、圖像法(也就是說(shuō)數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式).

3.等比數(shù)列應(yīng)｝中:

(1)等比數(shù)列的符號(hào)特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與

等比數(shù)列的單調(diào)性.

(1)q=4g'"=4/E；p+q=m+nnbp?bq=也.

(3)｛|勺|｝、｛、+(i)3｛3｝成等比數(shù)列；｛?！ǎ?、依｝成等比數(shù)列=｛。也｝成等

比數(shù)列.

(4)兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

(5)—+?2-----1-anrak+a*+i+…+4+mT，…成等比數(shù)列?

叫(g=l)/叫(4=1)

(6)s”=￡iz^=4(i〃)(叱］)=_衛(wèi)/+衛(wèi)(#1)?

\-q\-q\~q\~q

nnn2n［

特別：a-b=(a-8)(q"T+a-b+優(yōu)二"+...+叱+b-).

n

⑺Sm+n=Sm+qSn=Sn+qSm.

(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前〃項(xiàng)積的最大值是所有大于或等于

1的項(xiàng)的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前〃項(xiàng)積的最小值是所有小于或

等于1的項(xiàng)的積；

(9)有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是

偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”=“奇數(shù)項(xiàng)和”與“公比”

的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”=“首項(xiàng)”加上“公比”與“偶數(shù)項(xiàng)和”

積的和?

(10)并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù)〃力同號(hào)時(shí)，實(shí)數(shù)匕存在等比中項(xiàng).

對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù)〃力的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì)6=±疝.也就是說(shuō)，兩實(shí)數(shù)要

么沒(méi)有等比中項(xiàng)(非同號(hào)時(shí))，如果有，必有一對(duì)(同號(hào)時(shí)).在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差

數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法

［也就是說(shuō)數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式).

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

(1)如果數(shù)列｛4｝成等差數(shù)列，那么數(shù)列總有意義)必成等比數(shù)列.

(2)如果數(shù)列｛6/J成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛log.I4|)(〃>0Mw1)必成等差數(shù)列.

(3)如果數(shù)列｛%｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛qJ是非零常數(shù)數(shù)列；

但數(shù)列｛q｝是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

(4)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差

數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由

特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)

是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列.

注意：(1)公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究%=0.但也有少數(shù)

句題中研究凡這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同.⑵三(世吐數(shù)成簽差(比)

的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法.

5.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式(三種形式)，②等比數(shù)列求和公式(三種

形式)，

③1+2+3+…+〃=/(〃+1),l2+22+32+---+n2=t〃5+1)(2〃+1),

1+3+5+…+(2/1—1)=/?~,1+3+5+…+(2〃+1)=(〃+1)~.

(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類

項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性

或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求

和(這也是等差數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的

通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)列的

和”求解(注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一

的差”！)(這也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法之一).

(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂

后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

①.1",1=1(1L),

〃(〃+1)nH4-11n(n+k)k'nn+k'

_1___1_111_1__j_

(^+1UV'

G1_1,11]金〃」1

④------------二—[--------------------],(§)------=----------,

〃(〃一1)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)5+1)!〃！(〃+1)!

⑥2(J〃+1-4n)<-^=<2(赤-,

⑦q=S”一.(〃之2),⑧Ck+c；=C3nC：=CL-C『.

特別聲明：③運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)分

類討論.

(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。

6.分期付款型應(yīng)用問(wèn)題

(1)重視將這類應(yīng)用題與等差數(shù)列或等比數(shù)列相聯(lián)系.

(2)若應(yīng)用問(wèn)題像“森林木材問(wèn)題”那樣，既增長(zhǎng)又砍伐，則常選用“統(tǒng)一法”

統(tǒng)一到“最后”解決.

(3)“分期付款”、“森林木材”等問(wèn)題的解決過(guò)程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心

計(jì)算“年限”作為相應(yīng)的“指數(shù)”.6

四、三角函數(shù)

1.a終邊與。終邊相同(a的終邊在。終邊所在射線上)=a=。+2%萬(wàn)/eZ).

a終邊與。終邊共線(。的終邊在。終邊所在直線上)o.

a終邊與。終邊關(guān)于x軸對(duì)稱oa=-。+2%萬(wàn)伏eZ).

。終邊與0終邊關(guān)于y軸對(duì)稱oa=萬(wàn)-夕+2%乃(&GZ).

a終邊與。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱Oa=%+8+244伏eZ).

一般地：。終邊與。終邊關(guān)于角夕的終邊對(duì)稱oa=2￡-6+2版■(AeZ).

a與食的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定.

2.弧長(zhǎng)公式：/=|a|R,扇形面積公式：S=pR=3la|R2,1弧度

(Irad)*57.3°.

3.三角函數(shù)符號(hào)特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

注意：sin15°=cos75°=75°=cos15°=,

tan150=cot75J=2-73,tan75°=cot15°=2+73,sin18°=名」.

4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在工軸上（起點(diǎn)在x軸上）”、余弦線“躺

在x軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”、正切線“站在點(diǎn)4L0）處（起點(diǎn)是A”.務(wù)必重視“三角

函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，’正弦‘O‘縱坐標(biāo)’、

‘余弦'=‘橫坐標(biāo)‘、’正力’='縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商’”；務(wù)必記?。?/p>

單位圓中角終邊的變化與sina士cosc值的大小變化的關(guān)系.。為銳角

5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運(yùn)用中，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和

三角函數(shù)的取值，精確確定角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)”；

6.三角函藪誘導(dǎo)公決的本質(zhì)是：春變偶無(wú)獎(jiǎng)布號(hào)看象限.

7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是

“角的變換”！

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其

倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

如a=（a+6）一￡=9-,2a=（a++（a-p）,2a=（^+a）-（/?-?）

a+i?三十-撲停訓(xùn)等.

常值變換主要指“1”的變換：

1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanxcotx=tan-^=sin-y=cos0=…等.

三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降次、

升次）、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）.解題時(shí)本著“三看”的基本原則來(lái)進(jìn)

行：“看角、看函數(shù)、看特征”，基本的技巧有:巧變角，公式變形使用,化切割為弦，

用倍角公式將高次降次.

注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號(hào)特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次

（升次）公式中的符號(hào)特征.“正余弦’三兄妹一sinx±cosx、sin/cosx'的內(nèi)存聯(lián)系”

（常和三角換元法聯(lián)系在一起，=sinx±cosx

G[~y/2,&],sinxcosx=）.

輔助角公式中輔助角的確定：。sinx+〃cos/二J。？+從sin（x+夕）（其中夕角所在

的象限由的符號(hào)確定，。角的值由tan?=2確定）在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作

a

用.尤其是兩者系數(shù)絕對(duì)值之比為1或G的情形.Asinx+Bcosx=C有實(shí)數(shù)解

A2+B2>C2.

8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

(D三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對(duì)值對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般

說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦咸半、切不變.既為

周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變；其他不定.如

y=sin2=卜出可的周期都是萬(wàn)，但)，=忖間+際乂y=|sin^+|cosAj的周期為%,

y二|taM的周期不變，問(wèn)函數(shù)產(chǎn)cosM,y=sin%2,y=sinMy=cos五,尸cos|x|是周期

函數(shù)嗎？

(2)三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

y=J^in(5+0).y=Atan(3x+°)

函數(shù)圖像的

變換：兩軸

鄰中心軸相距與方向的平

十停中心k5|二772朝匕司=772移、伸縮及卡部中心片.#772\北/4明心M

無(wú)為對(duì)賽他:

無(wú)為對(duì)賽中心其向量的平無(wú)勞對(duì)稱中心：去任意一條的垂蛻與正切

由尸gft由產(chǎn)4*?

移變換.由)=0或4y無(wú)意義確定的數(shù)圖臬都相交，且相鄰兩

交近的距需為一個(gè)周期！

(4)三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法

(五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列)和變換法.

9.三角形中的三角函數(shù)：

(D內(nèi)角和定理：三角形三角和為江，任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半

角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形=三內(nèi)角都是銳角o三內(nèi)角的余弦值為

正值三任兩角和都是鈍角至任意兩邊的平方和大于第三邊的行.

(2)正弦定理：1%=&=±=2R(R為三角形外接圓的半徑).

sinAsinDsinC

注意：已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意

可能有兩解.

(3)余弦定理：儲(chǔ)+。2-23ccosA,cosA="2+；：一。2=("+：?-"-1等,常

2bc2bc

選用余弦定理鑒定三角形的類型.

⑷面積公式：S=gaha=』absmC=嗯.

10.反三角函數(shù)：

(1)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范圍分別是

（2）異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、向量的夾角的范圍依次

是（0,萬(wàn)|,10,萬(wàn)|,|0,加,[0/1.直線的傾斜角、4到4的角、人與的夾角的范圍依次

是[0㈤,[0㈤,（0,芻.

2

五、向量

1.向量運(yùn)算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請(qǐng)注意：向量運(yùn)算中向量起點(diǎn)、終點(diǎn)及其

坐標(biāo)的特征.

2.幾個(gè)概念：零向量、單位向量（與南共線的單位向量是+奠，特別：

I函

（普+昌），（普-谷））、平行（共線）向量（無(wú)傳遞性，是因?yàn)橛?）、相等向

M\AC\\AB\\AC\

量（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以及一個(gè)向量在另一向量方向上的投影（M

在6上的投影是=同85<￡3>=隼3611）.

11忖

3.兩非零向量平行（共線）的充要條件allb<^a=Xb。（7牙=（|3畫(huà)>

O匹力一%2M二°

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件4，行=4坂=0。1。+〃1=|4一方1<=>%芍=0?

特別：零向量和任何向量共線.4=41是向量平行的充分不必要條件!

4.平面向量的基本定理：如果勾和62是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的

任一向量。，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、4，使0=4?+402.

5.三點(diǎn)A、B、。共線O用反正共線；

向量而、而、定中三終點(diǎn)A、B、。共線。存在實(shí)數(shù)。、夕使得：PA=aPB+fiPCR

a+0=1.

6.向量的數(shù)量積：|。|2=（〃）2=。.。，a-b=^a\\b\cosO=x1x2-i-y]y2,

ZB—%乜+”2

cos9=

1。1出1++￡

Z在讓的投影=|31cos<a,b>=上±=.

網(wǎng)病而

注意：<）石>為銳角。75>0且不同向；

<a,b>為直角OQB=0且〃、BwO；

<〃,坂>為鈍角04歷<0且〃、B不反向

￡石<0是<￡石,為鈍角的必要非充分條件.

向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向

量，這是題目中的天然條件，要注意運(yùn)用；對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同

乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不

能約去一個(gè)向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即ZE?占工色"3切記酶量丕熊粗膾

（相約）.

7.\\a\-\b\\<]a±b\^a\+\b\

注意：1、B同向或有0U>[3+BR￡|+I加基有|一|冽=|￡一向；

a、囚反向或有（）＜^＞\a-b\=la\+\b\＞\\a\-\b\\=la+b\；

￡、B不共線ollGl-1訓(xùn)＜|￡土引＜|￡|+1向.（這些和實(shí)數(shù)集中類似）

8.平移與定比分點(diǎn)

（D線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式

設(shè)P（x,y）、P]（xi,yi）,P2（X2J2），且肝=義質(zhì)，則.4=毛竽，y=受孕，

哈亞遮

1+A

特別：分點(diǎn)的位置與力的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

中點(diǎn)坐標(biāo)公式"一寸,訴=也空空.=;＞為6A的中點(diǎn).

I一,二

△ANC中，通+/過(guò)3C邊中點(diǎn)；（理+眄）_L（巫一匹）；

|AB|\AC\JAB|\AC\

To

與硒線的單位向量是土絲.

\AB\

~PG=^（PA+PB+PC）u＞G為A43C的重心；

特別中+方十左=6oP為AA8C的重心.

麗麗=麗?定=定麗oP為AABC的垂心；

〃上邑+-4￡-）（l工0）所在直線過(guò)MBC的內(nèi)心（是N8AC的角平分線所在直

\AB\\AC\

線）；

|而|定+|前|西+|麗|麗=6=尸AABC的內(nèi)心.

=,畫(huà)明sinA=gJ網(wǎng)[碼I福蔗了.

（2）平移公式：如果點(diǎn)P（x,y）按向量〃=（/?,2）平移至P3,y'）,貝1」卜'="+".

|y=），+2

曲線/（x,y）=0按向量。=（力，攵）平移得曲線f（x-h,y-k）=0.

六、不等式

1.（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的

端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.

（2）解分式不等式細(xì)＞〃（力（））的一般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分，分子分母

g（“

分解因式，x的系數(shù)變?yōu)檎?標(biāo)根及奇穿過(guò)偶彈回）；

⑶含有兩個(gè)絕對(duì)值的丕等式如何去絕對(duì)值J（一般是根據(jù)定義分類討論、平方

轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）；

（4）解含額示等式常分類等價(jià)轉(zhuǎn)化，必要時(shí)需分類討論.注亂接參數(shù)討論，＜

后接參數(shù)取值分別說(shuō)明其斛集，但若檜未知數(shù)討論，錄后應(yīng)求并集.

2.利用重要不等式〃+人2，萬(wàn)以及變式"”空尸等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必

注意區(qū)（或。，b非負(fù)），且“等號(hào)成立”時(shí)的條件是積"或和。+b其中

之一應(yīng)是定值（一正二定三等四同時(shí)）.

3.常用不等式有：呼N瘋之產(chǎn)「（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)

a+b

構(gòu)選用）〃、b、CGR,a2+b2-k-c2>ab+bc+ca（當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=c時(shí)，取等號(hào)）

4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性

質(zhì)法、綜合法、分析法和放縮法（注意：對(duì)“整式、分式、絕對(duì)值不等式”的放縮途

徑，“配方、函數(shù)單調(diào)性等”對(duì)放縮的豆響）.

5.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

a、〃同號(hào)或有0<^>\a+b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a-b\；

a、?異號(hào)或有0<=>\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a+b\.

注意：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化

為最值問(wèn)題）.

七、直線和圓

1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方跑回量的意義（￡=〃1,&）或

4（0,1）（2=0））及其直線方程的向量式（（X-如y-%）=丸￡（。為直線的方向向量））.應(yīng)用

直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為匕但你是否注

意到直線垂直于x軸時(shí)，即斜率左不存在的情況？

2.知直線縱截距以常設(shè)其方程為了="+方或冗=0；知直線橫截距今,常設(shè)其

方程為x=my+%（直線斜率左存在時(shí)，加為女的倒數(shù)）或y=o.知直線過(guò)點(diǎn)*0,%）,

常設(shè)其方程為》=燈工一%）+%或工=%.

注意：（1）直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一般式、

句量式.以及各種形式的局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩

式呢？）

與直線/：Ar+B），+C=0平行的直線可表示為Ar+8y+G=0；

與直線/：Ax+8），+C=0垂直的直線可表示為B?Ay+G=0；

過(guò)點(diǎn)4/，%）與直線/：Ar+5y+C=0平行的直線可表示為：

4工-％）+8（曠-％）=0；

過(guò)點(diǎn)P（x。，％）與直線/：—+為+。=0垂直的直線可表示為：

B（x-xo）-A（y-yo）=O.

（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等=直線的斜率

為-1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)=直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)；直

線兩截距絕對(duì)值相等=直線的斜率為±1或直線過(guò)原點(diǎn).

（3）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在

立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.

3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個(gè)不同的概念：夾角特指相交兩直線

所成的較小角，范圍是（0,今］,而其到角是帶有方向的角，范圍是（0,4）.相應(yīng)的公式

是：夾角公式tan6=|直告H等二直線4到L角公式

缶注：點(diǎn)到直線的距離公式d=?與+敢）+C|.

i+3A4+與&

特別：3?。*=一岫、網(wǎng)都存在時(shí)）044+￡生=0;

〃4羽：￡(船網(wǎng)都存在時(shí))0

卜，2重合O儂.徐、.都存在時(shí))={-=毀或3?=與CJ

4.線性規(guī)劃中幾個(gè)概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解.

5.圓的方程：最簡(jiǎn)方程f+y2=R2；

標(biāo)準(zhǔn)方程“一。)2+(廣加2=六；

一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)；

參數(shù)方程歸箕甯(夕為參數(shù))；

直徑式方程(工一王)。一W)+()'-,)(>-%)=°?

注意：(1)在圓的一般式方程中,圓心坐標(biāo)和半徑分別是

(-冬-號(hào)),R=<“>"2—4尸.

(2)圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：

x2+y2=x=cos仇y=sin夕，

x2+y2=2—>x=yf2cos0,y=V2sin0,

x24-y2<1->x=rcos^,y=rsin^(0r<1),

x2+y2<2x=rcos0,y=rsin^(0<r<>/2).

6.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思

路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解，重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)

成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)的作用!”

2

(1)過(guò)圓.d+y2=尺2上一點(diǎn)尸(與為)圓的切線方程是.xr0+yy0=/?,

過(guò)圓CT-4+(y-b)2=R2上一點(diǎn)P(x。,為)圓的切線方程是：

2

(x-a)(xQ-a)+(y-a)(y0-a)=R,

過(guò)圓f+/+6+@+尸=0(。2+1一尸>0)上一點(diǎn)P(X(),%)圓的切線方程是：

科+?0+芻&+/)+號(hào)(y+%)+尸=o.

如果點(diǎn)P(X。,J在圓外，盤么上述直線方程表示過(guò)點(diǎn)P兩切線上兩切點(diǎn)的“切點(diǎn)

弦”方程.

如果點(diǎn)P(%,y0)在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于0f(01為圓

心)的直線方程，Iq尸I/=解(d為圓心。|到直線的距離).

7.曲線G"(x,y)=O與C2：g(x,y)=o的交點(diǎn)坐標(biāo)0方程組{公：累8的解；

過(guò)兩圓G:/a,y)=0、G:g(x,y)=0交點(diǎn)的圓(公共弦)系為f(x,y)+%g(x,y)=0,

當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)平方項(xiàng)時(shí)，/(x,y)+4g(x,?，)=0為兩圓公共弦所在直線方程.

八、圓錐曲線

1.圓錐曲線的兩個(gè)定義，及其“括號(hào)”一內(nèi)的限制條件，在圓錐曲線問(wèn)題中，如

果涉及到其兩焦點(diǎn)(兩相異定點(diǎn))，那么將優(yōu)先選用圓解曲線第一定義；如果涉及到

其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(一定點(diǎn)和不過(guò)該點(diǎn)的一定直線)或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線

第二定義；涉及到焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾

何性質(zhì)的應(yīng)用.

（1）注意:①同錐曲線第一定義與配方法的綜合運(yùn)用；②圓錐曲線第二定義是：

“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母，橢圓0點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是小于1的正

數(shù)，雙曲線o點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是大于1的正數(shù)，拋物線0點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距

商是等于1.③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對(duì)稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特

殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢(shì).其中e=￡,橢圓中力=廬、雙曲線中

a7a2=77=T.

重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其‘頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等

相互之間與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的幾何性質(zhì)’”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值

的特點(diǎn).注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì).

3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思

路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.特別是：

①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程

時(shí)，務(wù)必“判別式20”,尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問(wèn)題時(shí),必須先有“判別式20”.

②直線與拋物線（相交不一定交于兩點(diǎn)）、雙曲線位置關(guān)系（相交的四種情況）的特殊性，應(yīng)

謹(jǐn)慎處理.0

③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問(wèn)題的關(guān)鍵是“斜

率”、“中點(diǎn)弦”問(wèn)題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、率長(zhǎng)度（弦

垃二問(wèn)題去鍵跳度遢母公式

一0="（%一%2）2+（%一%）2，IA8|=Jl+公|x,-x,|=J1+公

\a\

④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.

4.要重視常見(jiàn)的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點(diǎn)法、

參數(shù)法、交軌法、向量法等），以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)（定義

法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思

想等），這是解析幾何的兩類基本問(wèn)題，也是解析幾何的基本出發(fā)點(diǎn).

注意：①如果問(wèn)題中涉及到平面向量卻識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考

慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行嘀帽子金脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)

行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化.

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程

時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性g.粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平

分線的雙重身份）、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、“分類討論

思想”化整為零分化處埋、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

九、直線、平面、簡(jiǎn)單多面體

1.計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是小整（補(bǔ)形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角，或建立空

司坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角計(jì)算

（121=7^7=舊+V+z2、土電，y±%，4±Z2）、

ab=+z,z2xAa=（/IX）,2^,Az1）（2GR）、

a//b（bw0）o%=生,y=4%，4-2z2,（2GR）,

aLb<=>毛毛4-yxy2+z,z2=0.

特別：A=&,"］）,B=（x2ty29z2）t

則=-。4=（工2，%，22）一（%,用zj=（w-辦，月一凹心-zj.

-rX1x2++ZjZj

8S<a，b>=］、'；j「；，，

IA月1=J（硒2=f）2+（%-%>+（Z［-Z2）2

2.計(jì)算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影，或向量法（直線上向量與

平面法向量夾角的余角），三余弦公式（最小角定理,cos。=COS，COS。2）,或先運(yùn)用

等積法求點(diǎn)到直線的距離，后虛擬直角三角形求解.注：一斜線與平面上以斜足為頂

點(diǎn)的角的兩邊所成角相等=斜線在平面上射影為角的平分線.

3.計(jì)算二面角的大小主要有：定義法（先作其平面角后計(jì)算大?。?、公式法

［cos。=￡）、向量法（兩平面法向量的夾角）、等價(jià)轉(zhuǎn)換法等等二面角平面角的主要

作法有：定義法（取點(diǎn)、作垂、構(gòu)角）、三垂線法（兩垂一連，關(guān)雉是第一垂（過(guò)二面角

一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)，作另一個(gè)面的垂線））、垂面法.

4.計(jì)算空間距離的主要方法有：定義法（先作垂線段后計(jì)算）、等積法、轉(zhuǎn)換法

［平行換點(diǎn)、換面）等.

5.空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進(jìn)

行，模式是：

線線關(guān)系率線面關(guān)系2面面關(guān)系，請(qǐng)重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系（三垂

線定理及其逆定理）的橋梁作用.注意：書(shū)寫證明過(guò)程需規(guī)范.

特別聲明：①證明計(jì)算過(guò)程中，若有“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)線，則常借助于“中位

線、重心”等知識(shí)轉(zhuǎn)化.

②在證明計(jì)算過(guò)程中常將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化（構(gòu)造）為特殊幾何

體（如三棱錐、正方體、長(zhǎng)方體、三棱柱、四棱柱等）中問(wèn)題，并獲得去解決.

③如果根據(jù)已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此為基

礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題.

6.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長(zhǎng)方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐

關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對(duì)角面、平行于底的截面的幾何體性質(zhì).

如長(zhǎng)方體中：對(duì)角線長(zhǎng)棱長(zhǎng)總和為4（a+"c）,全俵湎積為

2（ab+bc+ca）,（結(jié)合（a+b+c）：=/+〃?+（?+2a/?+2/?c+2ca可得關(guān)于他們的等量

關(guān)系，結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式），

cos2a+cos2p+cos2y=2（1）；

如三棱錐中：側(cè)棱長(zhǎng)相等（側(cè)棱與底面所成角相等）0頂點(diǎn)在底上射影為底面外

心，側(cè)棱兩兩垂直（兩對(duì)對(duì)棱垂直）0頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心，斜高長(zhǎng)相等（側(cè)

面與底面所成相等）且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi)。頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.

如正四面體和正方體中：

7.求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、割補(bǔ)法、等積（轉(zhuǎn)換）法、比例（性質(zhì)轉(zhuǎn)換）

法等,注意：補(bǔ)形：三棱錐n三棱柱n平行六面體分割：三棱柱中三棱錐、四三

棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是—.

8.多面體是由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體.棱柱和棱錐是特殊的多面體.

正多面體的每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱，這樣

的多面體只有五種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.

關(guān)于多面體的概念間有如下關(guān)系：

｛多面體｝｛簡(jiǎn)單多面體｝｛凸看面體｝｛正飆體｝;

｛凸多面體｝倭柱｝（廉柱｝｛正榻酎｛正方便｝;

｛凸多面體｝｛督錐｝｛正聶?錐｝｛正崛體｝.

歐拉公式《+尸一E=2）是簡(jiǎn)單多面體的重要性質(zhì)，在運(yùn)用過(guò)程中應(yīng)重視“各面的邊數(shù)總

和等于各頂點(diǎn)出發(fā)的棱數(shù)總和、等于多面體棱數(shù)的兩倍”.“簡(jiǎn)單多面體各面的內(nèi)角總和是

（V-2）x3600w.

過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)有n條棱，每個(gè)面是m邊形的一般方法是什么？

小.球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn).球面是到球心的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的

點(diǎn)的集合.球的截面是圓面，其中過(guò)球心的截面叫做大圓面.球面上兩點(diǎn)間的距離，是過(guò)這兩

點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)，計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)約度等條件，先尋求球面

上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)”，因?yàn)榇讼议L(zhǎng)既是球面上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)，又是大圓上兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng).注：

“經(jīng)度是'小小半徑所成角'，緯度是'大小半徑的夾角'

球體積公式丫=±乃卡，球表面積公式5=4萬(wàn)/?2,是兩個(gè)關(guān)于球的幾何度量公式.它們都

3

是球半徑及的函數(shù).解決球的相關(guān),可題務(wù)必注意球的幾何性質(zhì)（尤其是“球的半徑、球心截面

距、小圓半徑構(gòu)成直角三角形”；球與多面體相切或相接時(shí)，組合體的特殊關(guān)聯(lián)關(guān)系）.

十、排列、組合和概率

L排列數(shù)A：'、組合數(shù)C：中〃2見(jiàn)〃21,m20,〃、mGN.

(1)排列數(shù)公式

4：=n(n-l)(n-2)---(n—m+1)=———(m<n)；=n!=n(n-l)(n—2)-^2-l.

(2)組合數(shù)公式

C：=H.?…(〃—加+1)=.=”(〃？,〃)；A：=m!-C：：

m-(m-1)216!(〃一〃z)!Ain

(3)組合數(shù)性質(zhì)：

l

C：=Cm<辦C：=C二+C：：t(m<n),kC；=nC^,

，+4+/+???+《=C：：：.

2.解排列組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合.

3,解排列組合問(wèn)題的規(guī)律是［優(yōu)限法和間接法)：相鄰問(wèn)題捆綁法；不鄰(相間)問(wèn)

題插空法；多排問(wèn)題單排法；定位問(wèn)題優(yōu)先法；多元問(wèn)題分類法；有序問(wèn)題用除法

［組合法)；選取問(wèn)題先選后排法；至多至少問(wèn)題間接法，特別地還有隔板法(什么時(shí)

候用？)、字典法、構(gòu)造法等.

4.(1)二項(xiàng)式定理：(a+b)”=*+*%+..?+禺/-方+...+0/,其中各系數(shù)就

是組合數(shù)C；,它叫做第rH項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開(kāi)式共有〃+1項(xiàng)，其中第升1項(xiàng)

(+1=G/〃-7/.某項(xiàng)“加數(shù)6”的指數(shù)三該項(xiàng)的“項(xiàng)數(shù)減去1的差”，也可看成組合數(shù)的上

標(biāo).

(2)二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)(組合數(shù))的性質(zhì)：對(duì)稱性、等距性、單調(diào)最值性

和C：+C：+…+C：+…+C；=2".

(3)應(yīng)用“賦值法”同樣可得相關(guān)性質(zhì)或?qū)で蠖?xiàng)式展開(kāi)式中“奇次(數(shù))項(xiàng)”

“偶次(數(shù))項(xiàng)”的系數(shù)和.如c：+c：+C：+??=C+C+c：+…=2"、奇(偶)次項(xiàng)系

數(shù)和=夕/⑴一/(-1)］q［，⑴+/(-Di)-

注翟：二項(xiàng)式版開(kāi)式中區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)”，尋求其中項(xiàng)的系數(shù)的

最大值是將相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)構(gòu)建不等式進(jìn)行