第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，用符號(hào)語(yǔ)言可表述為(

)

A.α∩β=m，n?α，m∩n=A

B.α∩β=m，n∈α，m∩n=A

C.α∩β=m，n?α，A?m，A?n

D.α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n2.如圖，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，其中A′B′//O′x′，A′C′//O′y′，且A′B′=A′C′=1，那么△ABC的面積是(

)A.1

B.22

C.8

3.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為4，高為23，則圓錐的全面積為(

)A.10π B.12π C.14π D.16π4.已知直線a與平面α，β，γ，能使α//β的充分條件是(

)

①α⊥γ，β⊥γ

②α//γ，β//γ

③a//α，a//β

④a⊥α，a⊥βA.①② B.②③ C.①④ D.②④5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是(????)(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺(tái)體的體積公式V=1A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸6.如圖所示，ABCD?A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A.A，M，O三點(diǎn)共線 B.A，M，O，A1不共面

C.A，M，C，O不共面 D.B，B1，O，7.正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4，高與斜高的夾角為30°，則該四棱錐的側(cè)面積(

)A.32 B.48 C.64 D.328.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，E為棱D1D上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))A.四邊形 B.等腰梯形 C.五邊形 D.六邊形9.正方體ABCD?A1B1C1D1A.2π B.8π C.12π D.16π10.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=12，則下列結(jié)論中正確的是(

)

①AC⊥BE

②EF//平面ABCDA.①②③

B.①②④

C.②③④

D.①③④二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.如圖所示，在所有棱長(zhǎng)均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)A1，則爬行的最短路線長(zhǎng)為_(kāi)_____．

12.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)，則在所有的棱中與直線CD

13.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=1，E，F(xiàn)分別是

14.圓錐的底面半徑為3，母線與底面成45°角，過(guò)圓錐頂點(diǎn)S作截面SAB，且與圓錐的高SO成30°角，則底面圓心O到截面SAB的距離是______．15.如圖1，在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，點(diǎn)A折起后的位置記為點(diǎn)A1，得到四棱錐A1?BCDE，M為AC的中點(diǎn)，如圖2.某同學(xué)在探究翻折過(guò)程中線面位置關(guān)系時(shí)，得到下列四個(gè)結(jié)論：

①恒有A1D⊥A1E；②恒有BM//平面A1DE；

③三棱錐A1?DEM的體積的最大值為三、解答題：本題共3小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題13分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB、PB的中點(diǎn)．

(1)求證：DE//平面PAC；

(2)求證：AB⊥PB．17.(本小題13分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中點(diǎn)，AB=AA1=2．

(1)求證：平面AB1D⊥平面B18.(本小題14分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是菱形，側(cè)面PAB是正三角形，M是PD上一動(dòng)點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)．

(Ⅰ)當(dāng)M是PD中點(diǎn)時(shí)，求證：PC//平面BMN；

(Ⅱ)若∠ABC=60°，求證：PC⊥AB；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，是否存在點(diǎn)M，使得PC⊥BM？若存在，求PMMD的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案1.A

2.A

3.B

4.D

5.B

6.A

7.A

8.D

9.C

10.B

11.1012.AB、A113.60°

14.315.①②③

16.證明：(1)∵D，E分別是AB，PB的中點(diǎn)，

∴DE/?/PA．

又∵PA?平面PAC，DE?平面PAC

∴DE/?/平面PAC；

(2)∵PC⊥底面ABC，AB?底面ABC，

∴PC⊥AB，

∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，

∴AB⊥平面PBC，

∵PB?平面PBC，

∴AB⊥PB．

17.(1)證明：因?yàn)椤鰽BC為正三角形，且D是BC的中點(diǎn)，

所以AD⊥BC．

因?yàn)閭?cè)棱AA1⊥底面ABC，AA1/?/BB1，

所以BB1⊥底面ABC．

又因?yàn)锳D?底面ABC，所以BB1⊥AD．

而B(niǎo)1B∩BC=B，B1B?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，

所以AD⊥平面BB1C1C.

因?yàn)锳D?平面AB1D，

所以平面AB1D⊥平面BB1C1C.

(2)證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1=E，連接DE．

由已知得，四邊形A1ABB1為正方形，則E為A1B的中點(diǎn)．

因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，

所以DE//A1C.

又因?yàn)镈E?平面AB118.(Ⅰ)證明：因?yàn)辄c(diǎn)M是PD中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD中點(diǎn)，所以MN//PC，

因?yàn)镻C?平面BMN，MN?平面BMN，

所以PC//平面BMN．

(Ⅱ)證明：如圖，取AB中點(diǎn)F，連接AC，PF，CF，

因?yàn)閭?cè)面PAB是正三角形，所以PF⊥AB，

因?yàn)榈酌鍮CD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形，

所以CF⊥AB，

因?yàn)镻F⊥AB，CF⊥AB，PF∩CF=F，PF，CF?平面PFC，

所以AB⊥平面PFC，

因?yàn)镻C?平面PFC，所以PC⊥AB．

(Ⅲ)解：如圖，取PC中點(diǎn)E，連接BE，AE．

因?yàn)樗睦忮FP?ABCD的底面是菱形，側(cè)面PAB是正三角形，

所以PB