專題05幾何證明選擇填空之壓軸題訓練（1）一、選擇題（本大題共12題）1.（浦東四署2019期中6）下列命題中，真命題的序號為（）①相等的角是對頂角；②在同一平面內，若a//b,b//c,則a//c；③同旁內角互補；④互為鄰補角的兩角的平分線互相垂直.A.①②；B.①③；C.①②④；D.②④.【答案】D；【解析】解：相等的角不一定是對頂角，還要考慮位置關系，故①錯誤；若a//b,b//c,則a//c，故②正確；兩直線平行，同旁內角互補，故③錯誤；互為鄰補角的兩角的平分線互相垂直，故④正確；因此答案選D.2.（松江區(qū)2020期末6）下列說法錯誤的是（）A．在一個角的內部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；B．到點P距離等于1cm的點的軌跡是以點P為圓心，半徑長為1cm的圓； C．到直線l距離等于2cm的點的軌跡是兩條平行于l且與l的距離等于2cm的直線；D．等腰△ABC的底邊BC固定，頂點A的軌跡是線段BC的垂直平分線.【答案】D;【解析】解：在一個角的內部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線，A正確；到點P距離等于1cm的點的軌跡是以點P為圓心，半徑長為1cm的圓，B正確；到直線l距離等于2cm的點的軌跡是兩條平行于l且與l的距離等于2cm的直線，C正確；等腰△ABC的底邊BC固定，頂點A的軌跡是線段BC的垂直平分線（BC的中點除外），D錯誤，故答案選D．3.（2019位育10月5）下列命題正確的是（）A.到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；B.線段的垂直平分線上的點與該線段的兩端點均能構成等腰三角形；C.三角形一邊的兩端到這邊中線所在的直線的距離相等；D.兩邊及第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等.【答案】C；【解析】解：到角的兩邊距離相等的點可以在這個角平分線的反向延長線上，故A錯誤；當點在線段的中點時，不能構成等腰三角形，故B錯誤；三角形一邊的兩端到這邊中線所在的直線的距離相等，根據(jù)等面積法可知C正確；如圖所示的兩個三角形不全等，故D錯誤；因此答案選C.4.（浦東部分校2020期末5）下列命題中，逆命題是假命題的是（）A.全等三角形的對應邊相等；B.全等三角形的對應角相等；C.直角三角形的兩個銳角互余；D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.【答案】B；【解析】解：對應邊相等的兩個三角形全等，故A正確；對應角相等的兩個三角形不一定全等，故B錯誤；兩個銳角互余的三角形是直角三角形，故C正確；一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，可以證明這個結論正確，故D正確；因此答案B.5.（金山教育局2020期末6）下列四個命題:①有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等;②三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩部分:③若,則a>0:④點P(1,2)關于原點的對稱點坐標為P(-1,-2);其中真命題的是()A.①、②；B.②、④；C.③、④；D.①、③【答案】B；【解析】解：①有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，故①錯誤；②三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩部分，故②正確；③若,則a≥0，故③錯誤；④點P(1,2)關于原點的對稱點坐標為P(-1,-2)，故④正確.其中真命題的是②④.故答案選B.6.（2019華理附10月6）如圖，在四邊形ABCD中，如果AD//CD，AE//CF,BE=DF，那么下列等式中錯誤的是（）A.∠DAE=∠BCF；B.AB=CD；C.∠BAE=∠DCF；D.∠ABE=∠EBC；【答案】D；【解析】解：∵AD//CD，∴∠ADB=∠CBD，∵AE//CF，∴∠AED=∠CFB，∵BE=DF，∴BF=DE，∴△ADE≌△CBF，∴∠DAE=∠BCF，故A正確；∴AD=BC，故四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，故B正確；∴BAD=∠BCD，∴∠BAE=∠DCF；故C正確；此時四邊形ABCD不一定是菱形，故∠ABE=∠EBC不一定成立，故D錯誤；因此答案選D.7.（浦東南聯(lián)合2019期中6）如圖所示，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD:BD=3:4,AE:CE=2:1.聯(lián)結DE，那么（）（A）（B）（C）（D）【答案】B；【解析】解：聯(lián)結BE，設，∵AD：BD=3：4，∴，∴，又∵AE:CE=2:1，∴，∴，∴，∴=，故答案選B.8.（建平實驗2019期中6）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，點D在△ABC內，且∠DBC=∠DCA，則∠BDC的度數(shù)為（）A.120°B.115°C.110°D.105°【答案】C；【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，又設∠DBC=∠DCA=x，則∠DCB=70°-x，∴∠BDC=180°-（x+70°-x）=110°，故答案選C.9.（浦東四署2020期末6）如圖，在中，點D在BC邊上，DE垂直平分AC邊，垂足為點E，若，且AB+BD=BC，則的度數(shù)是（）A.；B.；C.；D..【答案】D；【解析】如圖，聯(lián)結AD，因為AB+BD=BC，所以AB=CD，又DE垂直平分AC邊，所以AD=CD，故AB=AD=CD，所以所以=，，故，因此選D.10.（浦東新區(qū)2020期末6）如圖，在中，，CD是高，BE平分∠ABC交CD于點E，EF∥AC交AB于點F，交BC于點G．在結論：(1)；(2)；(3)；(4)中，一定成立的有()A.1個；B.2個；C.3個；D.4個.【答案】B;【解析】解：∵EF∥AC，∠BCA=90°，∴∠CGE=∠BCA=90°，∴∠BCD+∠CEG=90°，又∵CD是高，∴∠EFD+∠FED=90°，∵∠CEG=∠FED（對頂角相等），∴∠EFD=∠BCD，故（1）正確；只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形時，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，錯誤；∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠EBF，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（AAS），∴BF=BC，故（4）正確，綜上所述，正確的有（1）（4）共2個．故選：B．11.（浦東新區(qū)2021期末6）在中，、、的對應邊分別是a、b、c，下列條件中不能說明是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】C；【解析】解:A．，即，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形，故A不符合題意．B．根據(jù)三角形內角和與，得出，即，所以△ABC是直角三角形，故B不符合題意．C．設，則，，根據(jù)三角形內角和，即，解得，即、、．所以△ABC不是直角三角形，故C符合題意．D．設，則，，由可知，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形，故D不符合題意．故選：C．12.（2019徐匯南模12月6）如圖，將邊長的正方形沿其對角線剪開，再把沿著方向平移，得到，若兩個三角形重疊部分的面積為，則它移動的距離等于（）A.；B.；C.；D..【答案】B；【解析】解：設AC交A′B′于H，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠A=45°，∠D=90°，

∴△A′HA是等腰直角三角形，設AA′=x，則陰影部分的底A′H=x，高A′D=2-x，

∴x?(2-x)=1，即，解得：，即AA′=1cm．故選：B．二、填空題（本大題共12題）13.(2019浦東一署10月18)如果一個等腰三角形的一個外角是110°，那么它的底角為°.【答案】70°或55°；【解析】解：如果110°是頂角的外角，則此等腰三角形的底角為=；如果110°是底角的外角，則此等腰三角形的底角為180°-110°=70°；故它的底角為或70°.14.（2019復旦附中10月14）如圖，在△ABC中，已知點O是邊AB、AC垂直平分線的交點，點E是∠ABC、∠ACB角平分線的交點，若∠O+∠E=180°，則∠A=度.【答案】36；【解析】解：聯(lián)結OA，∵點O是邊AB、AC垂直平分線的交點，∴OA=OB=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∴∠BOC=∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA=2∠BAC，即∠BOC=2∠BAC；又∵點E是∠ABC、∠ACB角平分線的交點，∴∠E=90°+；∵∠O+∠E=180°，∴2∠BAC+90°+=180°，∴∠BAC=36°.15.（2019上寶15）如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為原點，點A、C的坐標分別為(2，0)、.將△AOC繞AC的中點旋轉180°，點O落到點B的位置，D的坐標為.若點P是x軸上一點，以P、A、D為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點在y軸上，則點P的坐標為.【答案】P(-1,0)或P(1,0)或P(3,0);【解析】解：設，另一個頂點為.①當AP與DQ為對角線時，∵A(2,0)，，∵平行四邊形對角線互相平分與中點坐標公式得：a+2=1+0，解得a=-1，∴P(-1,0);②當AQ與PD為對角線時，同理可得：2+0=a+1，解得a=1，∴P(1,0);③當AD與PQ為對角線時，可得：2+1=a+0，a=3，∴P(3,0);綜上述：P(-1,0)或P(1,0)或P(3,0).16.（川中南2019期中18）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，BC=4，將點C折疊到點E處，折痕為BD，則DE的長度為.【答案】；【解析】解：∵折疊，∴CD=DE，∠C=∠DEB=90°，故，即，∴，∴，∴.17.（建平實驗2019期中18）如圖，正方形ABCD中，點E是DC邊上一點，DE=6，EC=3，點F在直線AB上，當線段CF的長為時，把線段AE繞點A旋轉，使點E恰好落在點F處.【答案】或；【解析】解：∵DE=6，EC=3，∴AD=AB=9，∴AE==；若點F在BA延長線上時，AF=AE=，∴BF=9+，BC=9，∴CF==；當點F在AB延長線上時，BF=-9，∴CF==；綜上述CF=或.18.（浦東新區(qū)2020期末18）正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，BE=3，M為線段AE上一點，射線BM交正方形的一邊于點F，且BF=AE,則BM的長為____．【答案】;【解析】解:如圖，當BF如圖位置時，∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，∴△ABE≌△BAF（HL），∴∠ABM=∠BAM，∴AM=BM，AF=BE=3，∵AB=4，BE=3，∴AE=，過點M作MS⊥AB，由等腰三角形的性質知，點S是AB的中點，BS=2，SM是△ABE的中位線，∴BM=AE=×5=，當BF為BG位置時，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，

∴△BHE∽△BCG，∴BH：BC=BE：BG，∴BH=．故答案是：．19.（松江區(qū)2020期末18）如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，點D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著點D逆時針旋轉m（0＜m＜180）度后，如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝．【答案】70°或120°；【解答】解：①當點B落在AB邊上時，∵DB＝DB1，∴∠B＝∠DB1B＝55°，∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×55°＝70°，②當點B落在AC上時，在RT△DCB2中，∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，∴∠CB2D＝30°，∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，故答案為70°或120°．20.（靜安附校2020期末14）在△ABC中，∠B=15°，△ABC的面積為3，過點A作AD⊥AB交邊BC邊于點D.設BC=x，BD=y.那么y與x之間的函數(shù)解析式.（不寫函數(shù)定義域）.【答案】；【解析】解：過A作AH⊥BC于點H，由，得；又AH=AB?sin15°，AB=BD?cos15°,∴AH=y?sin15°cos15°=,∴，解得.（或用，）21.（普陀區(qū)2020期末18）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=43，BC=3，如圖所示.如果將△ABC繞點C順時針旋轉60°得到△DEC，其中點A、B的對應點分別為點D、E，聯(lián)結BD，那么BD的長等于.