2024年高考“2024年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺——教化因你我而變．平面對量及其應用向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景，向量既是代數探討對象，也是幾何探討對象，是溝通幾何與代數的橋梁．向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和探討其他數學領城向量的基礎，在解決實際向題中發(fā)揮重要作用．本單元的學習，可以幫助學生理解平面對量的幾何意義和代數意義；駕馭平面對量的概念、運算、向量基本定理以及向量的應用，用向量語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的問題．內容包括：向量概念、向量運算、向量基本定理及坐標表示、向量應用．（1）向量概念①通過對力、速度、位移等的分析，了解平面對量的實際背景，理解平面對量的意義和兩個向量相等的含義．②理解平面對量的幾何表示和基本要素．（2）向量運算①借助實例和平面對量的幾何表示，駕馭平面對量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義．②通過實例分析，駕馭平面對量數量運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義．理解兩個平面對量共線的含義．③了解平面對量的線性運算性質及其幾何意義．④通過物理中功等實例，理解平面對量數量積的概念及其物理意義，會計算平面對量的數量積．⑤通過幾何直觀，了解平面對投影的概念以及投影向量的意義（參見案例）．⑥會用數量積推斷兩個平面對的垂直關系．（3）向量基本定理及坐標表示①理解平面對量基本定理及其意義．②借助平面直角坐標系，駕馭平面對量的正交分解及坐標表示．③會用坐標表示平面對量的加、減運算與數乘運算．④能用坐標表示平面對量的數量積，會表示兩個平面對量的夾角．⑤能用坐標表示平面對量共線、垂直的條件．（4）向量應用與解三角形①會用向量方法解決簡潔的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用．②借助向量的運算，探究三角形邊長與角度的關系，駕馭余弦定理、正弦定理．③能用余弦定理、正弦定理解決簡潔的實際問題．1．【2024全國Ⅰ卷】設，為單位向量，且，則．【答案】【解析】因為，為單位向量，所以，，所以，解得，所以．故答案為．【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉化實力，屬于中檔題．2．【2024全國Ⅱ卷】已知單位向量，的夾角為，與垂直，則．【答案】【解析】由題意可得，由向量垂直的充分必要條件可得，即，解得，故答案為．【點睛】本題主要考查平面對量的數量積定義與運算法則，向量垂直的充分必要條件等學問，意在考查學生的轉化實力和計算求解實力．一、單選題．1．已知向量，，若，則實數的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵向量，，若，則，∴實數，故選A．2．已知向量，，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，，因為，所以，從而，故選D．3．已知向量，，，若，則實數（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，又，，所以，即，解得，故選C．4．已知向量與的夾角為，，，當時，實數為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】向量與的夾角為，，，由，知，，，解得．故選C．5．已知，為單位向量，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，為單位向量，且，所以，所以，所以，故選B．6．在中，，，為邊上的高，為的中點，那么（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為在中，，，為邊上的高，所以，，又為的中點，則，故選A．7．已知向量，滿意，，若與的夾角為，則實數（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設，，則，，則，，，由向量夾角公式可知，解得，∵，則，故舍去一根，∴，故選C．8．如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在邊上，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，，，故答案為C．二、多選題．9．已知是平行四邊形對角線的交點，則（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因為是平行四邊形對角線的交點，對于選項A，結合相等向量的概念可得，，即A正確；對于選項B，由平行四邊形法則可得，即B正確；對于選項C，由向量的減法可得，即C錯誤；對于選項D，由向量的加法運算可得，即D錯誤，綜上可得A、B正確，故選AB．10．已知向量，，，設，的夾角為，則（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】依據題意，，，則，，依次分析選項：對于A，，，則不成立，A錯誤；對于B，，，則，即，B正確；對于C，，，不成立，C錯誤；對于D，，，則，，，則，則，D正確，故選BD．11．已知，，且與夾角為，則的取值可以是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因為，且，，與夾角為，所以，解得或，故選AC．12．已知圓和兩點，（）．若圓上存在點，使得，則實數的取值可以為（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】圓的圓心，半徑，設在圓上，則，，若，則，∴，∴，∴的最大值即為的最大值，等于，最小值為，∴的取值范圍是，故選ABC．三、填空題．13．已知，，若，則實數；若，則實數．【答案】，【解析】由，可得，解得；由，得，即，解得．故答案為，．14．若平面對量，滿意，，則．【答案】【解析】因為向量，滿意，，所以①，②，由①②，得，即，故答案為．15．已知非零向量與的夾角為，