PAGE其次章空間向量與立體幾何本章學(xué)問要覽本章是在平面對量的基礎(chǔ)上，通過類比的方法，學(xué)習(xí)空間向量的概念、性質(zhì)和運算，并以向量為工具探討立體幾何中的一些問題．主要包括兩個方面：一是關(guān)于空間向量及其運算，這是立體幾何的基礎(chǔ)，也是重點內(nèi)容；二是關(guān)于空間向量的應(yīng)用，即用向量探討垂直與平行，夾角的計算和距離的計算．本章的重點是：空間向量及其運算，以空間向量為工具通過空間向量的運算證明空間直線與直線、直線與平面、兩個平面的平行和垂直，求空間兩條直線、直線與平面所成的角、二面角的大小，求空間點到平面的距離；難點是：以空間向量為工具證明空間的位置關(guān)系，求空間角和空間距離；易錯點是求空間角時，對角的范圍的推斷．(1)解決問題要從圖形入手，分析已知條件在圖形中的向量表示，由已知到圖形、由圖形到已知的基本訓(xùn)練，有序地建立圖形、文字、符號三種語言間的聯(lián)系．(2)適時地聯(lián)系平面對量的學(xué)問及平面幾何的學(xué)問，采納聯(lián)想對比、引申等方法相識平面對量與空間向量、平面幾何與立體幾何學(xué)問的異同，并找出兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步培育能將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的實力．(3)由空間向量解決立體幾何問題時，要留意在空間直角坐標(biāo)系下，通過轉(zhuǎn)化將圖形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中數(shù)的運算，并可以敏捷地運用空間向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．§1從平面對量到空間向量學(xué)問點一向量的概念[填一填](1)向量既有大小又有方向的量叫作向量．在物理中，有很多量可以用向量來表示，如位移、速度、加速度、力等，這些量不但有大小，而且還具有方向．(2)空間向量在空間中，既有大小又有方向的量叫作空間向量．過空間隨意一點O作向量a，b的相等向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，則∠AOB叫作向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，規(guī)定0≤〈a，b〉≤π.[答一答]1．向量a，b的夾角是eq\f(π,2)，0或π時，向量a，b應(yīng)具備什么條件？提示：當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，向量a與b垂直，當(dāng)〈a，b〉＝0或π時，向量a與b平行．2．思索與溝通：仿照平面對量的有關(guān)概念，請分別給出下列定義：單位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量．提示：在空間中，模為1的向量叫單位向量；模為0的向量叫零向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量．學(xué)問點二向量與直線[填一填](1)l是空間始終線，A，B是直線l上的隨意兩點，則稱eq\o(AB,\s\up6(→))為直線l的方向向量．與eq\o(AB,\s\up6(→))平行的隨意非零向量a也是直線l的方向向量，直線的方向向量平行于該直線．(2)依據(jù)立體幾何學(xué)問，我們知道，給定空間中隨意一點A和非零向量a，就可以確定唯一一條過點A且平行于向量a的直線．[答一答]探討：直線的方向向量是唯一確定的嗎？提示：不是，只要是平行于直線的非零向量均可成為直線的方向向量，正是由于直線的方向向量的隨意性，才可便于選取方向向量，才具有可操作性．學(xué)問點三向量與平面[填一填](1)假如直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量a叫作平面α的法向量．全部與直線l平行的非零向量都是平面α的法向量．平面的法向量垂直于該平面．(2)給定空間中隨意一點A和非零向量a，可以確定唯一一個過點A且垂直于向量a的平面．[答一答]想一想：要想在空間中確定一個平面須要哪些條件？提示：須要有一點和一個非零向量．過這一點且垂直于已知向量就可確定一個平面．1．向量無法比較大?。P(guān)于向量的比較，我們只限于探討它們是否相等，而不是探討它們誰大誰?。话銇碚f，向量不能比較大?。蛄康哪？梢员容^大小，應(yīng)留意a＝b?|a|＝|b|，但反之不成立．2．(1)〈a，b〉表示a與b的夾角，書寫肯定要規(guī)范，不能誤寫為(a，b)．(2)在圖甲中，〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝∠AOB，而圖乙中，〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝π－∠AOB.向量夾角與向量大小無關(guān)，只與方向有關(guān)．3．平行向量所在的直線可能平行也可能重合，與兩直線平行不同；平行向量的方向可能同向，也可能反向．4．零向量與隨意向量共線．5．平面法向量的性質(zhì)：(1)若直線l⊥平面α，則全部與直線l平行的非零向量都是平面α的法向量，故平面α的法向量不唯一，有無限多個，但它們相互平行．(2)一個平面的單位法向量只有兩個．(3)平面α的一個法向量垂直于與平面α共面的全部向量，也就是平面的法向量垂直于該平面．題型一向量的有關(guān)概念【例1】給出下列五個命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②若空間兩向量a，b滿意|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中隨意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1【解析】當(dāng)空間兩個向量的起點、終點分別相同時，這兩個向量必相等，但兩個相等向量的起點不肯定相同，終點也不肯定相同，故①錯；依據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅它們的模要相等，而且方向也要相同，但②中向量a與b的方向不肯定相同，故②不對；依據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(A1C1,\s\up6(→))不但方向相同而且長度相等，故應(yīng)有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，所以③正確；④明顯正確；對于⑤，空間隨意兩個單位向量的模均為1，但方向不肯定相同，故不肯定相等，所以⑤不對．【答案】C規(guī)律方法(1)只要兩個向量的方向相同，模相等，這兩個向量就相等，與起點和終點位置無關(guān)．(2)嫻熟駕馭空間向量的有關(guān)概念是解決這類問題的關(guān)鍵．下列命題錯誤的是(B)A．空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．零向量沒有長度，所以它不是空間向量C．同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量D．若a＝b，b＝c，則a＝c解析：概念的理解是解決本題的關(guān)鍵．A選項中的兩個向量互為相反向量，所以它們長度相等；空間向量并不是一個立體圖形，只要是存在于立體空間內(nèi)的向量都是空間向量，所以B選項錯誤；C選項是相等向量定義的另外一個說法；我們探討的向量是自由向量，只要向量相等都可以移動到同一起點，所以D選項正確．題型二向量的夾角【例2】如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求：(1)〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(D′C′,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C′D′,\s\up6(→))〉．(2)〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(D′C,\s\up6(→))〉．【思路探究】按空間向量夾角的定義求解，空間向量a，b夾角范圍是[0，π]．【解】(1)∵在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉＝0，〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(D′C′,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2)，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C′D′,\s\up6(→))〉＝π.(2)∵在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AD∥BC.∴〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,4).連接AC，則△ACD′為等邊三角形．∴〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(D′C,\s\up6(→))〉＝eq\f(2π,3).規(guī)律方法與求平面內(nèi)兩向量夾角類似，求空間兩向量夾角時，實行平移的方法，把空間兩向量的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)某兩條相交直線的角，進(jìn)而用解三角形的學(xué)問求解．必需留意兩向量夾角應(yīng)保證兩向量移至共同起點處，比如若〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,4)，而〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉＝eq\f(3π,4).如圖，棱長都相等的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，則〈eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝0°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝180°，〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉＝120°.解析：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AA1,\s\up6(→))∥eq\o(CC1,\s\up6(→))，且方向相同，所以〈eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝0°.因為AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(C1D1,\s\up6(→))，但方向相反，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝180°.因為eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(→))，所以〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉＝180°－∠A1AB＝120°.題型三向量與平面【例3】如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD＝CD，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點．(1)試以F為起點作直線DE的一個方向向量；(2)試以F為起點作平面PBC的一個法向量．【思路探究】(1)只要作出過F與DE平行的直線即可．(2)作出過F與平面PBC垂直的直線即可．【解】(1)如圖，連接EF.∵E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點．∴EF綊eq\f(1,2)BC.又BC綊AD，∴EF綊eq\f(1,2)AD.取AD的中點M，連接MF，則由EF綊DM知四邊形DEFM是平行四邊形，∴MF∥DE.∴eq\o(FM,\s\up6(→))就是直線DE的一個方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∵DE平面PCD，∴DE⊥BC.又PD＝CD，E為PC中點，∴DE⊥PC.從而DE⊥平面PBC.∴eq\o(DE,\s\up6(→))是平面PBC的一個法向量．由(1)可知eq\o(FM,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，∴eq\o(FM,\s\up6(→))就是平面PBC的一個法向量．規(guī)律方法直線的方向向量有多數(shù)個，它們之間相互平行；平面的法向量也有多數(shù)個，它們之間也都相互平行且都垂直于平面．而過空間某點作直線的方向向量或平面的法向量時，可利用線面平行及線面垂直等相關(guān)學(xué)問，在該點處作出直線的平行線或平面的垂線即可．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，AA1的中點．(1)分別給出平面ABCD，平面ADD1A1的一個法向量；(2)寫出平面AB1C1D的法向量，你能寫出幾個？(3)圖中與向量eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有哪些？解：(1)平面ABCD的法向量可以是：eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))或eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))這8個向量中的隨意一個．平面ADD1A1的法向量可以是：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))或eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(B1A1,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))這8個向量中的隨意一個．(2)由正方體的性質(zhì)可知EF∥CD1，EF⊥平面AB1C1D，CD1⊥平面AB1C1D，平面AB1C1D的法向量可以是：eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(CD1,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).(3)題圖中與向量eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(CD1,\s\up6(→))，eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).——易錯警示——對向量概念理解的錯誤【例4】下列命題中正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb【誤會】A(或B或D)【正解】在選項A中，若b＝0，則結(jié)論不成立；在選項B中，向量共面與直線共面的不同點在于三個向量中的一個向量所在直線與另兩個向量所在平面平行時，三個向量所在的直線雖然不共面，但這三個向量是共面的；選項D中，若a＝b＝0時，有多數(shù)個λ滿意等式，而不是唯一一個；若b＝0，a≠0，則不存在λ使a＝λb.【答案】C下列說法中正確的是(B)A．若|a|＝|b|，則a、b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．假如兩向量平行，則向量相等D．在四邊形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：A項，|a|＝|b|，只表示a，b的長度相同，而方向不確定；C項，兩向量平行，不能說明兩向量相等；D項，在平行四邊形中具有該項結(jié)論．【例5】下列命題是真命題的序號是________．①向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點必在一條直線上；②向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C必在一條直線上．【誤會】①②【正解】命題①為假命題，因為eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以四點不肯定在一條直線上；命題②為真命題，因為eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))兩個向量所在的直線有公共點A，所以三點共線．故填②.【答案】②下列命題是真命題的是(D)A．分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面對量B．方向相反的向量是相反向量C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．若兩個非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))解析：A項向量可以平移到一個平面；B項方向相反，大小相等的向量為相反向量；C項，向量不能比較大小.1.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的一個必要不充分條件是(C)A．A與C重合 B．A與C重合，B與D重合C．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))| D．A、B、C、D四點共線解析：向量相等只需方向相同，長度相等，而與表示向量的有向線段的起點、終點位置無關(guān)．表示兩個共線向量的兩個有向線段所在的直線平行或重合，不能得到四點共線．2．在等腰直角三角形ABC中，角B為直角，則〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉等于(B)A．45°B．135°C．45°或135°D．不確定解析：如圖，嚴(yán)格利用向量夾角定義，過空間一點作出兩向量，明確夾角．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是(A)A.eq\o(BD,\s\up6(→)) B.eq\o(BC1,\s\up6(→))C.eq