高中數(shù)學(xué)精選資源2/211.1空間幾何體11.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解空間幾何體的概念．(一般)2.了解“斜二測(cè)畫法”的概念并掌握斜二測(cè)畫法的步驟．(重點(diǎn))3.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出一些簡(jiǎn)單平面圖形和常見幾何體的直觀圖．(難點(diǎn))4.逆用斜二測(cè)畫法，找出直觀圖的原圖．(易錯(cuò)點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)斜二測(cè)畫法的步驟，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2.借助斜二測(cè)畫法，畫出直觀圖，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).1．空間幾何體如果只考慮一個(gè)物體占有的空間形狀和大小，而不考慮其他因素，則這個(gè)空間部分通常可抽象為一個(gè)幾何體．2．直觀圖立體幾何中，用來(lái)表示空間圖形的平面圖形，習(xí)慣上稱為空間圖形的直觀圖，為了使直觀圖具有立體感，經(jīng)常使用斜二測(cè)畫法來(lái)作直觀圖．3．用斜二測(cè)畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)在平面圖形上取互相垂直的x軸和y軸，作出與之對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，使得它們正方向的夾角為45°(或135°)．(2)平面圖形中與x軸平行(或重合)的線段畫成與x′軸平行(或重合)的線段，且長(zhǎng)度不變．平面圖形中與y軸平行(或重合)的線段畫成與y′軸平行(或重合)的線段，且長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的一半．(3)連接有關(guān)線段，擦去作圖過(guò)程中的輔助線．4．用斜二測(cè)畫法作立體圖形直觀圖的步驟(1)在立體圖形中取水平平面，在其中取互相垂直的x軸與y軸，作出水平平面上圖形的直觀圖(保留x′軸與y′軸)．(2)在立體圖形中，過(guò)x軸與y軸的交點(diǎn)取z軸，并使z軸垂直于x軸與y軸．過(guò)x′軸與y′軸的交點(diǎn)作z軸對(duì)應(yīng)的z′軸，且z′軸垂直于x′軸．圖形中與z軸平行(或重合)的線段畫成與z′軸平行(或重合)的線段，且長(zhǎng)度不變．連接有關(guān)線段．(3)擦去有關(guān)輔助線，并把被面遮擋住的線段改成虛線(或擦除)．注意：水平放置的圓，其直觀圖一般用“正等測(cè)畫法”畫成橢圓．1．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A′＝()A．45° B．135°C．45°或135° D．90°C[在畫直觀圖時(shí)，∠A′的兩邊依然分別平行于x′軸、y′軸，而∠x′O′y′＝45°或135°.]2．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線段說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．原來(lái)相交的仍相交B．原來(lái)垂直的仍垂直C．原來(lái)平行的仍平行D．原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)B[根據(jù)斜二測(cè)畫法，原來(lái)垂直的未必垂直．]3．利用斜二測(cè)畫法畫出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的()C[正方形的直觀圖是平行四邊形，且平行于x軸的邊長(zhǎng)為3cm，平行于y軸的邊長(zhǎng)為1.5cm.]4．水平放置的△ABC，有一邊在水平線上，它的斜二測(cè)直觀圖是正三角形A′B′C′，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．任意三角形C[如圖所示，斜二測(cè)直觀圖還原為平面圖形，故△ABC是鈍角三角形．]畫平面圖形的直觀圖【例1】用斜二測(cè)畫法畫出圖中等腰梯形ABCD的直觀圖(其中O，E分別為線段AB，DC的中點(diǎn))[解](1)畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點(diǎn)畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖，如圖．(變條件)若將本例中的等腰梯形ABCD改為正五邊形ABCDE，如圖所示，那么其直觀圖如何畫出？[解]畫法：(1)在圖①中作AG⊥x軸于點(diǎn)G，作DH⊥x軸于點(diǎn)H.(2)在圖②中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在圖②中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分別過(guò)G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD.(4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③)．畫平面圖形的直觀圖的技巧1．在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x′軸或y′軸平行，且與x′軸平行的線段長(zhǎng)度不變，與y′軸平行的線段長(zhǎng)度減半．2．原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線．畫端點(diǎn)時(shí)，過(guò)端點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段，再借助所作的平行線段確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置．3．原圖中的曲線可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑曲線連接而畫出．畫空間幾何體的直觀圖【例2】用斜二測(cè)畫法畫正六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖．[思路探究]eq\x(畫軸)→eq\x(畫底面)→eq\x(畫側(cè)棱)→eq\x(成圖)[解](1)畫軸：畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)畫底面：在面x′O′y′內(nèi)，畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱：過(guò)A、B、C、D、E、F分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于側(cè)棱長(zhǎng)．(4)成圖：順次連線A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉輔助線將被遮擋的部分改為虛線)就得到正六棱柱的直觀圖，如圖所示．簡(jiǎn)單幾何體直觀圖的畫法步驟1．畫軸：通常以高所在直線為z軸建系．2．畫底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面．3．確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn)．4．連線成圖．2．畫出正四棱錐(底面是正方形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)且全等的等腰三角形的棱錐)的直觀圖．[解](1)畫軸．畫Ox軸、Oy軸、Oz軸，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如左圖所示．(2)畫底面．以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi)，畫出正方形直觀圖ABCD.(3)畫頂點(diǎn)．在Oz軸上截取OP使OP的長(zhǎng)度是原四棱錐的高．(4)成圖．順次連接PA，PB，PC，PD，并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得到此四棱錐的直觀圖.直觀圖的還原和計(jì)算問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二測(cè)畫法的直觀圖，能否判斷△ABC的形狀？[提示]根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則知：∠ACB＝90°，故△ABC為直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實(shí)際長(zhǎng)度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.3．若已知一個(gè)三角形的面積為S，它的直觀圖面積是多少？[提示]原三角形面積為S＝eq\f(1,2)a·h(a為三角形的底，h為三角形的高)，畫直觀圖后，a′＝a，h′＝eq\f(1,2)h·sin45°＝eq\f(\r(2),4)h，S′＝eq\f(1,2)a′·h′＝eq\f(1,2)a·eq\f(\r(2),4)h＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)a·h＝eq\f(\r(2),4)S.【例3】如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，將其還原成平面圖形．[思路探究]由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵：(1)平行于x′軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段擴(kuò)大為原來(lái)的2倍．(2)對(duì)于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．[解]①畫出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②過(guò)B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點(diǎn)D′，在OA上取OD＝O′D′，過(guò)D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；③連接AB，BC，得△ABC.則△ABC即為△A′B′C′對(duì)應(yīng)的平面圖形，如圖所示．如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，則原圖形的形狀是________．菱形[如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有OABC，OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．]1．直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可．2．直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．1．斜二測(cè)畫法中的“斜”和“二測(cè)”(1)“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°.(2)“二測(cè)”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸或z′軸的線段長(zhǎng)度不變；平行于y′軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．2．斜二測(cè)畫法中的建系原則在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線或圖形的對(duì)稱軸所在直線為坐標(biāo)軸、圖形的對(duì)稱中心為原點(diǎn)或利用原有互相垂直的直線為坐標(biāo)軸等，即使盡量多的點(diǎn)或線落在坐標(biāo)軸上．3．直觀圖中“變”與“不變”(1)平面圖形用其直觀圖表示時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，平行關(guān)系不變．(2)點(diǎn)的共性不變，線的共點(diǎn)性不變，但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有變化)．(3)有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化．因此圖形的形狀發(fā)生變化，這種變化，目的是使圖形富有立體感．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩條平行線段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行． ()(2)平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸． ()(3)平行于坐標(biāo)軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中仍然保持不變． ()(4)斜二測(cè)坐標(biāo)系取的角可能是135°. ()[解析]平行于y軸的線段在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半，故(3)錯(cuò)誤；由斜二測(cè)畫法的基本要求可知(1)(2)(4)正確．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖的說(shuō)法正確的是()A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B．梯形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形D[由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，直角坐標(biāo)系變成斜坐標(biāo)系，而平行性沒有改變，故只有選項(xiàng)D正確．]3.如圖，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．鈍角三角形B[由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知△ABC為直角三角形，且直角邊的長(zhǎng)度關(guān)系為AC＝2AB.]4.如圖所示為水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測(cè)畫法畫出的它的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為________．eq\f(\r(2),2)[畫出直觀圖，BC對(duì)應(yīng)B′C′，且B′C′