第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析本章將以正弦函數(shù)（正弦和余弦函數(shù)可統(tǒng)稱為正弦函數(shù)）或虛指數(shù)函數(shù)為基本信號(hào)；任意信號(hào)可表示為不同頻率的正弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)之和（對(duì)于周期信號(hào)）或積分（對(duì)于非周期信號(hào)）。把信號(hào)表示為不同頻率正弦分量或虛指數(shù)分量的和稱為信號(hào)的頻域分析，也稱信號(hào)的譜分析。用頻譜分析的觀點(diǎn)來分析系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的頻域分析。3.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析周期的倒數(shù)稱為該信號(hào)的頻率。周期信號(hào)是定義在區(qū)間，每隔一定時(shí)間T,按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)表示為式中m為任意整數(shù)。時(shí)間T稱為該信號(hào)的重復(fù)周期簡稱周期。周期信號(hào)f(t)在區(qū)間可以展開成在完備正交信號(hào)空間中的無窮級(jí)數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號(hào)所展開的無窮級(jí)數(shù)就分別稱為“三角形傅里葉級(jí)數(shù)”或“指數(shù)形傅里葉級(jí)數(shù)”，統(tǒng)稱傅里葉級(jí)數(shù)。需要指出，只有當(dāng)周期信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)才能展開成傅里葉級(jí)數(shù)。通常遇到的周期信號(hào)都滿足該條件，以后不再特別說明。3.1.1周期信號(hào)的分解1．信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。例：在平面上的矢量A在直角坐標(biāo)中可以分解為x方向分量和y方向分量。如令，為各相應(yīng)方向的正交單位矢量，則矢量A可寫為為便于研究矢量分解，將相互正交的單位矢量組成一個(gè)二維“正交矢量集”。這樣在此平面上的任意矢量都可用正交矢量集的分量組合表示。對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A，可以用一個(gè)三維正交矢量集的分量組合表示，它可寫為空間矢量正交分解的概念可以推廣到信號(hào)空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任一信號(hào)均可表示為它們的線性組合。如有定義在區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)和，若滿足則稱和在區(qū)間內(nèi)正交。如有n個(gè)函數(shù)，，…

，構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足式中為常數(shù)，則稱此函數(shù)集為在區(qū)間的正交函數(shù)集。在區(qū)間內(nèi)相互正交的n個(gè)函數(shù)構(gòu)成正交信號(hào)空間。如果在正交函數(shù)集{，，…，}之外，不存在函數(shù)滿足等式則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。也就是說，如能找到一個(gè)函數(shù)，使得上式成立，即與函數(shù)集{}的每個(gè)函數(shù)都正交，那么它本身就應(yīng)屬于此函數(shù)集。顯然，不包含的集是不完備的。例如，三角函數(shù)集在區(qū)間組成正交函數(shù)集，而且是完備的正交函數(shù)集。這是因?yàn)榧显趨^(qū)間內(nèi)也是正交函數(shù)集，但它是不完備的，因?yàn)檫€有許多函數(shù)，如，，…，也與此集合中的函數(shù)正交。復(fù)函數(shù)集，正交的定義

若復(fù)函數(shù)集{}（）在區(qū)間滿足則稱此復(fù)函數(shù)集為正交函數(shù)集。式中，為函數(shù)的共軛復(fù)函數(shù)。

復(fù)函數(shù)集{}（）在區(qū)間內(nèi)是完備的正交函數(shù)集，式中。它在區(qū)間內(nèi)滿足設(shè)有n個(gè)函數(shù)，，…

，在區(qū)間構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)用n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，這可表示為2．周期信號(hào)的分解設(shè)有周期信號(hào),它的周期是

T，角頻率可分解為式中的系數(shù)，稱為傅里葉系數(shù)

式中

是（）的偶函數(shù)，即有；而是（）的奇函數(shù)，即周期信號(hào)可以分解為各次諧波分量。表明:任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)可分解為直流和許多余弦（或正弦）分量。其中第一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，它是周期信號(hào)中所包含的直流分量；式中第二項(xiàng)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同，是基波振幅，是基波初始相角，式中第三項(xiàng)稱為二次諧波，它的頻率是基波頻率的二倍。是二次諧波振幅，是其初始相角。依此類推，還有三次、四次、…等諧波。解：例

將圖示的方波信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)?？紤]到，可得得圖示信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為它只含有一、三、五、…

…等奇次諧波分量。(a)基波(b)基波+三次諧波(c)基波+三次諧波+五次諧波(d)基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波方波的組成看到，合成波形所包含的諧波分量愈多時(shí)，除間斷點(diǎn)附近外，它愈接近于原方波信號(hào)。在間斷點(diǎn)附近，隨著所含諧波次數(shù)的增高，合成波形的尖峰愈接近間斷點(diǎn)，但尖峰幅度并未明顯減小?？梢宰C明，即使合成波形所含諧波次數(shù)時(shí)，在間斷點(diǎn)處仍有約9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象。在傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)取的很大時(shí)，間斷點(diǎn)處尖峰下的面積非常小以至于趨近于零，因而在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。3.1.2奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1．偶函數(shù)若被積函數(shù)是時(shí)間的偶函數(shù)，則波形對(duì)稱于縱坐標(biāo)軸。當(dāng)被積函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，在對(duì)稱區(qū)間的積分等于其半?yún)^(qū)間積分的二倍；而當(dāng)被積函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，在對(duì)稱區(qū)間的積分為零，故得是偶函數(shù)是奇函數(shù)偶函數(shù)若被積函數(shù)是時(shí)間的奇函數(shù)，則波形對(duì)稱于原點(diǎn)。2．奇函數(shù)實(shí)際上，任意函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即

需要注意，某函數(shù)是否為奇（或偶）函數(shù)不僅與周期函數(shù)的波形有關(guān)，而且與時(shí)間坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)。3.1.3傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式傅里葉系數(shù)模相角傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式為

傅里葉系數(shù)這就是求指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)的公式。表明，任意周期信號(hào)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）為。3.1.4典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)1．周期矩形脈沖信號(hào)設(shè)周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度為，脈沖幅度為1，重復(fù)周期為T信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的表示式為可以求出各系數(shù)，其中直流分量余弦分量的幅度或?qū)懽髦芷诰匦涡盘?hào)展成三角形傅里葉級(jí)數(shù)其中為抽樣函數(shù)，它等于周期矩形信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)為或若將展開指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，可得對(duì)稱方波信號(hào)是矩形的一種特殊情況，兩者相比較，對(duì)稱方波信號(hào)有兩個(gè)特點(diǎn)：所以可直接得到方波的傅里葉級(jí)數(shù)⑵對(duì)稱方波信號(hào)的脈沖恰好等于周期的一半，即⑴它是正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量（）等于零?；?qū)懽鲗?duì)稱方波的傅里葉級(jí)數(shù)只包含基波和奇次諧波，也稱奇諧函數(shù)。2．周期鋸齒脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)是奇函數(shù),因而，并可求出傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)周期鋸齒脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期鋸齒脈沖信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以的規(guī)律收斂。3．周期三角脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)是偶函數(shù)，該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期三角脈沖的頻譜只包含直流、基波及奇次波頻率分量，諧波的幅度以的規(guī)律收斂。4．周期半波余弦信號(hào)周期半波余弦信號(hào)是偶函數(shù)，該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期半波余弦信號(hào)的頻譜只含有直流，基波和偶次諧波分量。諧波的幅度以規(guī)律收斂。5．周期全波余弦信號(hào)令余弦信號(hào)為則周期全波余弦信號(hào)為周期全波余弦信號(hào)的周期是的一半。周期全波余弦信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)可見，周期全波余弦信號(hào)的頻譜包含直流分量及的基波和各次諧波分量，或者說，只包含直流分量及的偶次諧波分量。諧波的幅度以規(guī)律收斂。3.1.5MATLAB實(shí)現(xiàn)解：對(duì)于周期為4，脈寬為2，幅度為1的周期信號(hào)，首先建立fourier.m文件函數(shù)，其MATLAB程序如書P104。各種周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開可以運(yùn)用MATLAB來實(shí)現(xiàn)。例3-2周期矩形脈沖信號(hào)Fx=(2*sin(