3.4算法總結(jié)3.1算法概述3.2算法原理3.3算法案例目錄第三章線性回歸算法3.人工智能算法與實(shí)踐—1—01算法概述PartTHREE—2—回歸分析是一種分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法。回歸分析的目的是了解兩個(gè)或兩個(gè)以上變量是否相關(guān)、相關(guān)的方向和強(qiáng)度，并建立數(shù)學(xué)模型觀察特定變量，預(yù)測(cè)研究者感興趣的變量?；貧w分析主要分為前期的模型學(xué)習(xí)與后期的預(yù)測(cè)兩個(gè)過程，前者主要是通過給定的數(shù)據(jù)集來進(jìn)行學(xué)習(xí)并且建立回歸模型，后者是輸入需要預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)到模型中，然后輸出預(yù)測(cè)值。

線性回歸模型形式相對(duì)簡(jiǎn)單，易于建模，但是其中卻蘊(yùn)涵著機(jī)器學(xué)習(xí)中的很多重要的基本思想。有很多功能更為強(qiáng)大的非線性模型都能夠建立在線性模型的基礎(chǔ)上，通過引入層級(jí)結(jié)構(gòu)或者一些映射完成。3.1算法概述基本概念—3—02算法原理PartTHREE—4—一元線性回歸模型多元線性回歸模型12算法原理3.2算法原理算法原理—5—3線性回歸模型4梯度下降求解線性回歸模型在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，線性回歸是一種回歸分析方法，它利用最小二乘函數(shù)（稱為線性回歸方程）對(duì)一個(gè)或多個(gè)自變量與因變量之間的關(guān)系進(jìn)行建模。線性回歸也是一種被廣泛應(yīng)用的回歸分析方法，分為一元線性回歸和多元線性回歸，通常采用最小二乘法進(jìn)行擬合。3.2.1線性回歸模型基本概念—6—多元線性回歸如果回歸分析包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，并且因變量與自變量之間的關(guān)系是線性的，這種回歸分析稱為多元線性回歸分析。一元線性回歸如果回歸分析中只包含一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，并且兩者之間的關(guān)系可用直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。3.2.1線性回歸模型基本概念—7—公式表示

一元線性回歸

3.2.2一元線性回歸一元線性回歸—8—

3.2.2一元線性回歸一元線性回歸—9—如何最小化以下最小損失函數(shù)？

3.2.2一元線性回歸一元線性回歸—10—通過特定算法，如最小二乘法、梯度下降算法等來確定代價(jià)函數(shù)（損失函數(shù)）取最小值時(shí)的參數(shù)。最小二乘法降低損失函數(shù)3.2.2一元線性回歸一元線性回歸—11—

最小二乘法降低損失函數(shù)3.2.2一元線性回歸一元線性回歸—12—令上述兩個(gè)方程等于0，聯(lián)立方程，通過數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，就可以將a和b的值解出來，最終解得的結(jié)果為：算法實(shí)現(xiàn)步驟3.2.2一元線性回歸一元線性回歸—13—

多元線性回歸多元線性回歸模型，其參數(shù)眾多，究竟該如何推導(dǎo)呢？由于其涉及的參數(shù)個(gè)數(shù)較多導(dǎo)致上述的方法不再適用，因此一般采用矩陣推導(dǎo)的方式來降低損失函數(shù)。3.2.3多元線性回歸多元線性回歸—14—

3.2.3多元線性回歸多元線性回歸—15—算法實(shí)現(xiàn)步驟3.2.3多元線性回歸多元線性回歸—16—

梯度下降求解線性回歸模型3.2.4梯度下降求解線性回歸模型多元線性回歸—17—采用最小二乘法來處理多元線性回歸問題都是在矩陣滿秩的情況下進(jìn)行的，那么當(dāng)矩陣不滿秩時(shí)，就需要采用梯度下降算法來進(jìn)行求解。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)，梯度下降法的解為全局解。一般情況下，解不一定是全局最優(yōu)解，梯度下降法的速度也不一定是最快的。梯度下降算法是一種通過不斷迭代的方式來求取代價(jià)函數(shù)的最小值或最大值的算法。其具體的算法思想類似于一個(gè)人在山頂尋找最快的下山方式，即找到最陡峭的位置；當(dāng)找到一個(gè)位置下山后，再重復(fù)上述過程，直至到達(dá)山底。梯度下降求解線性回歸模型3.2.4梯度下降求解線性回歸模型多元線性回歸—18—

3.2.4梯度下降求解線性回歸模型多元線性回歸—19—在求取參數(shù)中，通常采取以下幾種方式。（1）批量梯度下降（BatchGradientDescent）。批量梯度下降法是梯度下降法最常用的形式，具體做法也就是在更新參數(shù)時(shí)使用所有的樣本來進(jìn)行更新，更新參數(shù)時(shí)，每次都使用全部數(shù)據(jù)集，即在給定的步長(zhǎng)的情況下，對(duì)所有的樣本的梯度和進(jìn)行迭代，其核心公式如下：它的優(yōu)點(diǎn)是易于獲取到全局的最優(yōu)解，總體的迭代次數(shù)不多，并且實(shí)現(xiàn)了并行，但其缺點(diǎn)是，如果實(shí)驗(yàn)中所給的樣本數(shù)據(jù)量很大，則每次迭代都將會(huì)耗費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間，最終導(dǎo)致總體效率較低。3.2.4梯度下降求解線性回歸模型多元線性回歸—20—（2）隨機(jī)梯度下降（StochasticGradientDescent）。隨機(jī)梯度下降算法的原理實(shí)際上與批量梯度下降算法的原理相似。不同的是它沒有使用實(shí)驗(yàn)中所給的樣本的全部數(shù)據(jù)，而是只選取其中的一個(gè)樣本來計(jì)算梯度，其原理是每次從樣本集中抽取一個(gè)點(diǎn)更新參數(shù)，核心公式如下：隨機(jī)梯度下降算法和批量梯度下降算法是兩個(gè)極端。一個(gè)是使用所有數(shù)據(jù)進(jìn)行梯度下降，另一個(gè)是使用一個(gè)樣本進(jìn)行梯度下降。它們的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)自然也非常突出。在訓(xùn)練速度上，隨機(jī)梯度下降算法每次只需迭代一個(gè)樣本，訓(xùn)練速度很快，而批量梯度下降算法在樣本量較大時(shí)不能滿足訓(xùn)練速度的要求。對(duì)于收斂速度，由于隨機(jī)梯度下降算法每次都只迭代一個(gè)樣本，因此每次迭代的方向變化都會(huì)很大，不能快速地收斂到局部的最優(yōu)解。隨機(jī)梯度下降算法的優(yōu)點(diǎn)就是每次只抽取一個(gè)樣本點(diǎn)來更新參數(shù)，實(shí)驗(yàn)的整體效率較高，但是不易獲得全局的最優(yōu)解，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)整體的正確率下降，并且不易于并行實(shí)現(xiàn)。3.2.4梯度下降求解線性回歸模型多元線性回歸—21—（3）小批量梯度下降（Mini-batchGradientDescent）。小批量梯度下降是批量梯度下降與隨機(jī)梯度下降兩種算法的折中，每次迭代的數(shù)據(jù)是從總體數(shù)據(jù)集中選取指定個(gè)數(shù)的樣本更新數(shù)據(jù)，核心公式如下：小批量梯度下降算法的優(yōu)點(diǎn)是每次使用一個(gè)小批量的樣本更新參數(shù)，這樣可以有效地減少收斂所需要的迭代次數(shù)，提高了實(shí)驗(yàn)的整體效率；相對(duì)于隨機(jī)梯度下降方法更易于獲取全局最優(yōu)解，并且能夠并行實(shí)現(xiàn)。但是，如果批量值選取不當(dāng)，則可能會(huì)導(dǎo)致內(nèi)存消耗較大、收斂到局部解等問題。3.2.4梯度下降求解線性回歸模型多元線性回歸—22—Python實(shí)現(xiàn)梯度下降算法核心步驟：（1）先定義幾個(gè)變量，thera0、thera1分別表示

0、

1

初始值；alplf表示學(xué)習(xí)率

；error、error1分別表示上次迭代的誤差以及當(dāng)前迭代后的誤差；break_t表示閾值；count表示迭代次數(shù)。（2）進(jìn)行迭代，可以設(shè)定一個(gè)循環(huán)次數(shù)，主要是防止步長(zhǎng)選取過大時(shí)，出現(xiàn)發(fā)散的情況而進(jìn)入死循環(huán)。（3）定義一個(gè)列表thera01，thera01[0]代表thera0的偏導(dǎo)數(shù)，thera01[1]代表thera1的偏導(dǎo)數(shù)，用一個(gè)列表存儲(chǔ)方便后續(xù)同時(shí)更新thera0與thera1的值。（4）再次進(jìn)行迭代，遍歷整個(gè)數(shù)據(jù)集，不斷更新thera01列表，遍歷完成后，再同時(shí)更新thera0、thera1的值。（5）通過迭代求得此次迭代后的誤差平方和，并求其均值得到平均誤差error1。（6）將此次誤差error1與上次誤差error做差得到的值取完絕對(duì)值后與閾值進(jìn)行比較，若比閾值小，則近似看作達(dá)到最低點(diǎn)，即取得最優(yōu)值，跳出循環(huán)，否則將error1賦值給error，再次進(jìn)行循環(huán)。（7）為了防止（2）中可能出現(xiàn)的死循環(huán)，每次計(jì)數(shù)count加1后與程序開始設(shè)定的循環(huán)次數(shù)做比較，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到設(shè)定次數(shù)后，程序自動(dòng)跳出循環(huán)，循環(huán)結(jié)束。3.2.4梯度下降求解線性回歸模型多元線性回歸—23—03算法案例PartTHREE—24—以波士頓房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)的實(shí)現(xiàn)為例，其是一個(gè)回歸問題，數(shù)據(jù)背景見左表所示。每個(gè)類觀察值的數(shù)量都是均等的，共有506個(gè)觀察值，13個(gè)輸入變量以及1個(gè)輸出變量。每條數(shù)據(jù)包含了房屋以及房屋周圍的詳細(xì)信息，其中包含了該鎮(zhèn)的人均犯罪率、一氧化氮濃度、每棟房屋的平均客房數(shù)、到波士頓5個(gè)就業(yè)中心的加權(quán)距離等。3.3算法案例算法案例—25—對(duì)于波士頓房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)，在此僅采用其中一個(gè)屬性作為變量x，即LSTAT，表示地區(qū)中地位較低的人所占百分比。實(shí)驗(yàn)具體過程如下所述。1．?dāng)?shù)據(jù)讀入因?yàn)樵趕klearn庫(kù)中已經(jīng)封裝了波士頓房?jī)r(jià)信息，所以直接調(diào)用即可。3.3算法案例算法案例—26—2．編寫梯度下降函數(shù)并調(diào)用與上述批量梯度下降算法基本一致，需要做的是將函數(shù)封裝，并且對(duì)函數(shù)里面的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，防止出現(xiàn)因“步長(zhǎng)”過大而發(fā)散的情況，具體代碼實(shí)現(xiàn)如下：3.3算法案例算法案例—27—3.3算法案例算法案例—28—3．將結(jié)果可視化為了將運(yùn)行結(jié)果可視化，可以在代碼中引入可視化包，由步驟2中計(jì)算得到的a和b（即thera1和thera0）繪制出直線以及LSTAT