12.1全等三角形的性質(zhì)全等形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.注意：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.題型1：全等形的識(shí)別1.1．下列各組兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意，B.兩個(gè)圖形能完全重合，是全等圖形，符合題意，C.兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意，D.兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意，故答案為：B.【分析】根據(jù)全等形的定義：能夠完全重合的圖形叫做全等形，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出答案.【變式11】下列說(shuō)法正確的是（）A．兩個(gè)長(zhǎng)方形是全等圖形B．形狀相同的兩個(gè)三角形全等C．兩個(gè)全等圖形面積一定相等D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】C【解析】【解答】解：A、兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)挷灰欢ㄏ嗟?，故不是全等圖形；B、由于大小不一定相同，故形狀相同的兩個(gè)三角形不一定全等；C、兩個(gè)全等圖形面積一定相等，故正確；D、所有的等邊三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形.故答案為：C.【分析】形狀、大小完全相同的兩個(gè)圖形是全等形，根據(jù)定義解答即可.【變式12】下列說(shuō)法中，正確的有（）①正方形都是全等形；②等邊三角形都是全等形；③形狀相同的圖形是全等形；④大小相同的圖形是全等形；⑤能夠完全重合的圖形是全等形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】【解答】解：正方形不一定都是全等形，故①不符合題意；等邊三角形不一定都是全等形，故②不符合題意；形狀相同的圖形不一定都是全等形，故③不符合題意；大小相同的圖形不一定都是全等形，故④不符合題意；能夠完全重合的圖形是全等形，故⑤符合題意；故答案為：A．【分析】由全等形：能夠完全重合的圖形是全等形，逐一判斷各選項(xiàng)即可得到答案．全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.2.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.注意：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.題型2：全等三角形的對(duì)應(yīng)元素2.如圖，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，則BC的對(duì)應(yīng)邊是（）A．CD B．CA C．DA D．AB【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，

∴BC=DA

∴BC的對(duì)應(yīng)邊是DA.

故答案為：C.

【分析】利用全等三角形的性質(zhì)，可知點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，由此可得到BC的對(duì)應(yīng)邊。【變式21】已知圖中的兩個(gè)三角形全等，AD與CE是對(duì)應(yīng)邊，則A的對(duì)應(yīng)角是（）A．∠BCE B．∠E C．∠ACD D．∠B【答案】A【解析】【解答】觀察圖形知，AD與CE是對(duì)應(yīng)邊∴∠B與∠ACD是對(duì)應(yīng)角又∠D與∠E是對(duì)應(yīng)角∴∠A與∠BCE是對(duì)應(yīng)角．故答案為：A．【分析】觀察圖形，AD與CE是對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊去找對(duì)應(yīng)角．【變式22】已知：如圖，△ABD與△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，寫出其余的對(duì)應(yīng)角和各對(duì)對(duì)應(yīng)邊．【答案】解：△ABD與△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，則∠A與∠C，∠ADB與∠CBD是對(duì)應(yīng)角；BD與DB，AD與CB，AB與CD是對(duì)應(yīng)邊．【解析】【分析】根據(jù)全等三角形中，重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的角是對(duì)應(yīng)角可求解。全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.注意：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.題型3：全等三角形的性質(zhì)3.下列說(shuō)法正確的是（）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形B．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等C．所有的直角三角形都是全等三角形D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】B【解析】【解答】解：A、全等三角形是指形狀和大小相同的兩個(gè)三角形，該選項(xiàng)不符合題意；B、全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等，該選項(xiàng)符合題意；C、所有的直角三角形不一定都是全等三角形，該選項(xiàng)不符合題意；D、所有的等邊三角形不一定都是全等三角形，該選項(xiàng)不符合題意；故答案為：B．

【分析】根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及判定判斷各選項(xiàng)即可?！咀兪?1】如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列錯(cuò)誤的等式是（）A．AD＝DE B．∠BAE＝∠CADC．BE＝DC D．AB＝AC【答案】A【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∴AB=AC，AD=AE，BE=CD，∠BAE=∠CAD，∴B、C、D不符合題意，A符合題意，故答案為：A．

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。【變式32】如圖，△ABC≌△DEC，∠A=∠D，AC=DC，則下列結(jié)論：①BC=CE；②AB=DE；③∠ACE=∠DCA；④∠DCA=∠ECB．成立的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴BC=EC，AB=DE，∵∠DCA=∠DCE?∠ACE，∴∠DCA=∠ECB，故③不符合題意，④符合題意，綜上所述：正確的有①②④；故答案為：B．

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。題型4：全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用求邊或角4.如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)E在線段AB上，∠B=75°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，∵∠B=75°，∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，故答案為：C．【分析】先求出BC=CE，∠ACB=∠DCE，再求出∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，最后計(jì)算求解即可?！咀兪?1】已知：如圖，△ABC≌△DEF，BC=8cm，EC=5cm，求線段CF的長(zhǎng)．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∵BC=8cm，∴EF=BC=8cm，∵EC=5cm，∴CF=EF?EC=8?5=3(cm)．【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=EF，再利用線段的和差計(jì)算即可。【變式42】如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度數(shù)．【答案】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAC+∠CAD=105°，

∴2∠BAC=105°∠CAD=70°，

∴∠BAC=35°，

∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=35°+35°=70°，

∴∠BFD=∠B+∠BAF=20°+70°=90°，

∴∠BED=∠BFD∠D=90°20°=70°.【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠DAE=∠BAC，然后根據(jù)角的和差關(guān)系列式求出∠BAC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BFD，則可根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求∠BED即可.題型5：全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用證明5.如圖，點(diǎn)E在AB上，△ABC≌△DEC，求證：CE平分∠BED．【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠B=∠DEC，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BC=EC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠BEC，從而得到∠BEC=∠DEC，再根據(jù)角平分線的定義證明即可．【解答】證明：∵△ABC≌△DEC，

∴∠B=∠DEC，BC=EC，

∴∠B=∠BEC，

∴∠BEC=∠DEC，

∴CE平分∠BED．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式51】如圖所示，A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，且△BAD≌△ACE，求證：BD=CE+DE．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可．【解答】解：∵△BAD≌△ACE，

∴BD=AE，AD=CE，

∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，

即BD=DE+CE．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)三角形全等得出正確的結(jié)論．【變式52】已知，△ABC≌△EBD，點(diǎn)D與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求證：∠AFE=∠ABE．【分析】根據(jù)△ABC≌△EBD得到∠A=∠E，結(jié)合對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵△ABC≌△EBD，

∴∠A=∠E，

在△AFG和△EBG中，

∵∠AGF=∠EGB，

∴∠AFG=∠EBG，

即∠AFE=∠ABE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，此題難度不大．題型6：全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用位置關(guān)系6.如圖所示，△ADF≌△CBE，且點(diǎn)E，B，D，F(xiàn)在一條直線上，判斷AD與BC的位置關(guān)系．【答案】解：AD與BC的位置關(guān)系為AD//BC．∵ΔADF?ΔCBE，∴∠ADF=∠CBE．又∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠CBD=180°，∴∠ADB=∠CBD．∴AD//BC．【解析】【分析】平行.理由：由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADF=∠CBE，利用補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠ADB=∠CBD，根據(jù)平行線的判定即得結(jié)論.【變式61】如圖所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一條直線上，那么AD與BC是怎樣的位置關(guān)系？為什么？【答案】解：AD⊥BC．證明：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，∵B，D，C在同一條直線上，∴∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．【解析】【分析】利用全等三角形的性質(zhì)可知：∠ADB=∠ADC，再利用平角性質(zhì)可得∠ADB=∠ADC=90°，即可證出結(jié)論?！咀兪?2】如圖，在△ADC中，∠ADC=90°，△ADC≌BDH，那么BH與AC互相垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】由△ADC≌BDH可得出∠C=∠BHD、∠ADC=∠BDH=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出∠B+∠BHD=∠B+∠C=90°，進(jìn)而可得出∠BEC=90°，即BH⊥AC．【解答】解：BH⊥AC，理由如下：

∵△ADC≌BDH，

∴∠C=∠BHD，∠ADC=∠BDH=90°．

∵∠B+∠BHD+∠BDH=180°，

∴∠B+∠BHD=∠B+∠C=90°，

∴∠BEC=90°，

∴BH⊥AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理找出∠BEC=90°是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．下列四個(gè)圖形中，有兩個(gè)全等的圖形，它們是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【答案】B【解析】【解答】解：①和③可以完全重合，因此全等的圖形是①和③.故答案為：B.【分析】根據(jù)全等圖形的概念進(jìn)行判斷.2．已知△ABC≌△DEF，根據(jù)圖中信息，得x=（）A．15 B．18 C．20 D．25【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC中∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=70°，又∵△ABC≌△DEF，∴∠A與∠D為對(duì)應(yīng)角，∴可得BC與EF為對(duì)應(yīng)邊，∴BC=EF，∴x=20．故答案為：C．

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：BC=EF即可得到答案。3．如圖，已知△ABC≌△CDA，AB與CD是對(duì)應(yīng)邊，AB＝4，BC＝5，AC＝6，則AD的長(zhǎng)為()A．4 B．5 C．6 D．不確定【答案】B【解析】【解答】已知△ABC≌△CDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=CB=5，故答案為：B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=CB=5。4．如圖，△ABC≌△ADE，∠C=40°，則∠E的度數(shù)為（）A．80° B．75° C．40° D．70°【答案】C【解析】【解答】因?yàn)椤鰽BC≌△ADE，所以∠C=∠E，又因?yàn)椤螩=40°，所以∠E=40°．故答案為：C．【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠C=∠E=40°。5．如圖，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，則EC的長(zhǎng)度是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，AE＝2，∴AB＝AC＝5，∴EC=ACAE=52=3，故答案為：B．【分析】先求出AB＝AC＝5，再計(jì)算求解即可。6．如圖，在△ABC外找一個(gè)點(diǎn)A′（與點(diǎn)A不重合），并以BC為一邊作△A′BC，使之與△ABC全等，且A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【解答】解：如圖：以B點(diǎn)為圓心，CA為半徑上下畫弧，C點(diǎn)為圓心，BA為半徑上下畫弧，兩弧相交分別得到點(diǎn)A′、A1′故答案為：C.【分析】以B點(diǎn)為圓心，CA為半徑上下畫弧，C點(diǎn)為圓心，BA為半徑上下畫弧，兩弧相交分別得到點(diǎn)A′、A1′；以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑畫弧，以B點(diǎn)為圓心，BA為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)得到點(diǎn)A2′，據(jù)此解答.7．如右圖，△ABC≌△FDE，∠C=40°，∠F=110°，則∠B等于（）

A．20° B．30° C．40° D．150°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果。

【解答】△ABC≌△FDE，∠F=110°

∴∠BAC=∠F=110°

∵∠C=40°

∴∠B=30°

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，三角形的內(nèi)角和為180°.二、填空題8．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周長(zhǎng)為12，若AB=5，EF=4，AC=.【答案】3【解析】【解答】∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF=4，∵△ABC的周長(zhǎng)為12，AB=5，∴AC=1254=3.【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”可求解.9．如圖，△ABC≌△DFE，CE＝6，F(xiàn)C＝2，則BC的長(zhǎng)為．【答案】8【解析】【解答】解：∵CE=6，F(xiàn)C=2，∴EF=CE+FC=2+6=8，∵△ABC≌△DFE，∴BC=EF=8，故答案為：8.【分析】首先根據(jù)線段的和差算出EF的長(zhǎng)，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BC=EF=8。10．如圖所示，已知ΔABC?ΔADE，BC的延長(zhǎng)線交DA于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)G，若∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=15°，則∠【答案】65°【解析】【解答】解：∵ΔABC?ΔADE，∠ACB=∠E=105°，

∴∠FCA=180°∠ACB=180°105°=75°，∠AFC=180°∠FCA∠FAC=180°75°15°=90°，

∴∠DFG=∠AFC=90°，∠DGB=90°∠D=9025°=65°.

故答案為：65°.

【分析】先由三角形全等的性質(zhì)求出∠ACB=∠E=105°，再由補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠FCA，然后由三角形內(nèi)角和定理求出∠AFC，則∠DFG的角度可知，在△DFG中，用內(nèi)角和定理即可求出∠DGB的度數(shù).11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（4,3），B（4,0），在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)C，使得△AOB與△COB全等，則C點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】（0,3）或（0，3）【解析】【解答】解:∵A（4,3），B（4,0），∴AB=3,OB=4,∠ABO=90°∵△AOB與△COB全等，∴OC=AB∵AB=3∴CO=3∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）或（0，3）.故答案為:（0,3）或（0，3）.

【分析】由點(diǎn)O、點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可知若使△AOB與△COB全等，則需OC=AB且點(diǎn)C在y軸上，則可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)。三、解答題12．如圖，已知△ABD≌△ACE．求證：BE=CD．【答案】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∴BE=ABAE=ACAD=CD．【解析】【分析】利用全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等求解即可。13．如圖，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC的度數(shù)?！敬鸢浮拷猓骸摺鰽BC≌△ADE∴∠BAC