東北三省三校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個，白球3個，小明從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.752．正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.3．若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．已知圓與拋物線的準線相切，則實數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或65．下列各式正確的是（）A. B.C. D.6．若指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標準差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞8．已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為（）A. B.C. D.9．①命題設(shè)“，若，則或”；②若“”為真命題，則p，q均為真命題；③“”是函數(shù)為偶函數(shù)的必要不充分條件；④若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一基底；其中正確判斷的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.410．已知長方體的底面ABCD是邊長為4的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.11．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.C. D.12．數(shù)列的通項公式是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_________.14．已知橢圓C：的左右焦點分別為，，O為坐標原點，以下說法正確的是______①過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為8②橢圓C上存在點P，使得③橢圓C的離心率為④P為橢圓上一點，Q為圓上一點，則線段PQ的最大長度為315．已知直線與直線平行，則實數(shù)m的值為______16．同時擲兩枚骰子，則點數(shù)和為7的概率是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)二次函數(shù).（1）若是函數(shù)的兩個零點，且最小值為.①求證：；②當且僅當a在什么范圍內(nèi)時，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值?（2）若任意實數(shù)t，在閉區(qū)間上總存在兩實數(shù)m，n，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點是的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上(不含端點)是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.19．（12分）平行六面體，（1）若，，，，，，求長；（2）若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）當時，求函數(shù)的極值.21．（12分）雙曲線（，）的離心率，且過點.（1）求a，b的值；（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程.22．（10分）已知橢圓：，的左右焦點，是雙曲線的左右頂點，的離心率為，的離心率為，點在上，過點E和，分別作直線交橢圓于，和，點，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出第一次取得紅球的事件、第一次取紅球第二次取白球的事件概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則，，于是得，所以在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為0.6.故選：C2、C【解析】建立合適的空間直角坐標系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系.有圖知，由題得、、、.，，.設(shè)平面的一個法向量，則，，令，得，，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：C.【點睛】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡化分析過程，直接用計算的方式解決問題，是基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，z對應(yīng)的點在第一象限.故選：A4、D【解析】由拋物線準線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標準方程為：，故當時，有或，所以或，得或6故選：D5、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：C6、A【解析】分析可知直線與曲線在上的圖象有兩個交點，令可得出，令，問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，，此時兩個函數(shù)的圖象無交點；當時，由得，可得，令，其中，則直線與曲線有兩個交點，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當時，，作出直線與曲線如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個不同的交點.故選：A.7、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結(jié)合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.8、C【解析】過點在平面內(nèi)作，過點在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，分析可知二面角的平面角為，利用余弦定理求出，證明出，再利用勾股定理可求得的長.【詳解】過點在平面內(nèi)作，過點在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，，則，因為，由等面積法可得，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，，因為四邊形為平行四邊形，且，故四邊形為矩形，所以，，因為，所以，二面角的平面角為，在中，，，由余弦定理可得，，，，則，，因為，平面，平面，則，，由勾股定理可得.故選：C.9、B【解析】利用逆否命題、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性、充分和必要條件、空間基底等知識對四個判斷進行分析，由此確定正確答案.【詳解】①，原命題的逆否命題為“，若且，則”，逆否命題是真命題，所以原命題是真命題，①正確.②，若“”為真命題，則p，q至少有一個真命題，②錯誤.③，函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是“”.所以“”是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件，③錯誤.④，若為空間的一個基底，即不共面，若共面，則存在不全為零的，使得，故，因為為空間的一個基底，，故，矛盾，故不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，④正確.所以正確的判斷是個.故選：B10、C【解析】建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的夾角坐標公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標系∵底面是邊長為4的正方形，，∴，，，因為,，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：C.11、C【解析】利用等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，，，，成等比數(shù)列求解.【詳解】解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.12、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項，歸納猜想出數(shù)列的通項公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項為：；；；……則其通項公式.故選C.【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法進行求解即可.【詳解】，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，當時，的最小值為，所以，故答案為：14、①②④【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合的周長計算可判斷①；根據(jù)，可通過以為直徑作圓，是否與橢圓相交判斷②；求出橢圓的離心率可判斷③；計算橢圓上的點到圓心的距離的最大值，即可判斷④.【詳解】對于①，由題意知：的周長等于，故①正確；對于②，，故以為直徑作圓，與橢圓相交，交點即設(shè)為P，故橢圓C上存在點P，使得，故②正確；對于③，，故③錯誤；對于④，設(shè)P為橢圓上一點，坐標為，則，故，因為，所以的最大值為2，故線段PQ的最大長度為2+1=3，故④正確，故答案為：①②④.15、【解析】由兩直線平行的判定可得求解即可，注意驗證是否出現(xiàn)直線重合的情況.【詳解】由題設(shè)，，解得，經(jīng)檢驗滿足題設(shè).故答案為：16、【解析】利用古典概型的概率計算公式即得.【詳解】依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點數(shù)分別為，，則可得到數(shù)組共有組，其中滿足的組數(shù)共有6組，分別為，，，，，，因此所求的概率等于.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①證明見解析；②（2）【解析】（1）①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程的求根公式，求得，即可證得；②由①知，區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（2）存在兩實數(shù)，使得成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上，有成立，設(shè)﹐結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：①由題意，函數(shù)二次函數(shù)，因為最小值為，可得，即，因為，所以根據(jù)求根公式得，所以.②由①知，區(qū)間因為，對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，所以，因為，所以解得，所以，即a的取值范圍為.【小問2詳解】解：存在兩實數(shù)，使得成立，則在區(qū)間上，有成立，設(shè)﹐函數(shù)對稱軸為①當即時，在上單調(diào)減，，此時；②當即時，，此時③當即時，，此時；④當即時，，此時；綜合①②③④得，且最小值為，因為對任意實數(shù)t，都有，所以只需，即，所以實數(shù)a的取值范圍.18、（1）見解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點，由三角形中位線性質(zhì)知，由線面平行判定定理證得結(jié)論；（2）以為原點建立空間直角坐標系，假設(shè)，可用表示出點坐標；根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關(guān)于的方程，從而解得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點，連接，四邊形為平行四邊形，為中點，又為中點，，平面，平面，平面；（2）平面，，兩兩互相垂直，則以為坐標原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則，，，，，，設(shè)，且，則，，即，設(shè)平面的法向量，又，，則，令，則，，；設(shè)平面的一個法向量，又，，則，令，則，，；，解得：或，二面角的余弦值為，二面角為銳二面角，不滿足題意，舍去，即.在線段上存在點，時，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中的線面平行關(guān)系的證明、存在性問題的求解；求解存在性問題的關(guān)鍵是能夠利用共線向量的方式將所求點坐標表示出來，進而利用二面角的向量求法構(gòu)造方程；易錯點是忽略二面角的范圍，造成參數(shù)值求解錯誤.19、（1）；（2）.【解析】(1)由，可得，再利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出；(2)以為一組基底，設(shè)與所成的角為，由求解.【小問1詳解】，，，，∴，；【小問2詳解】∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，設(shè)與所成的角為，則.20、（1）2（2）當時，沒有極值；當時，極大值為，極小值為.【解析】（1）當時，，可得：.，，得或，列出函數(shù)單調(diào)性表格，即可最大值；（2），令，得或，分別討論和，即可求得的極值.【詳解】（1）當時，，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+極大值極小值由于，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2.（2），令，得或.當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值.當時，列表如下：+0-0+極大值極小值函數(shù)的極大值為，極小值為.【點睛】本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值，解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的方法和極值定義，考查分析能力和計算能力，屬于中檔題.21、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件建立關(guān)于a、b、c的方程組可解；（2）巧設(shè)與已知雙曲線同漸近線的雙曲線方程為可得.【小問1詳解】因為離心率，所以.又因為點在雙曲線C上，所以.聯(lián)立上述方程，解得，，即，.【小問2詳解】設(shè)所求雙曲線的方程為，由雙曲線經(jīng)過點，得，即.所以雙曲線的方程為，其標準方程為.22、（1）：；：（2）證明