專題5.10三角恒等變換（重難點(diǎn)題型檢測）【人教A版2019】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·貴州六盤水·高一期末）若θ∈0,π2，sin(πA．35 B．1225 C．252．（3分）（2022·廣東肇慶·高三階段練習(xí)）2sin2125°?2A．?12 B．12 3．（3分）（2022·黑龍江·高三期中）已知cosα?π3=1A．?79 B．?13 C．4．（3分）（2022·陜西·高一期末）下列各式中，值為12的是（

A．sin15°cos15°C．cos42°sin12°?5．（3分）（2022·山東·高三期中）已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sinA．34π B．π4 C．56．（3分）（2022·遼寧·高一階段練習(xí)）若在△ABC中，sin(A+C)?sin(A+B)=cos2A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．（3分）（2023·云南·高三階段練習(xí)）已知α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=A．若cosα+sinB．若tanα=2，則C．tanα、tanβD．tan8．（3分）（2022·福建漳州·三模）英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)來測量萬有引力，由此計(jì)算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時激光所在的點(diǎn)，然后用兩個質(zhì)量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2），由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點(diǎn)卻移動了較大的距離，他用此計(jì)算出了萬有引力公式中的常數(shù)G，從而計(jì)算出了地球的質(zhì)量．在該實(shí)驗(yàn)中，光源位于刻度尺上點(diǎn)P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點(diǎn)M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q處，鏡面繞M點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q'處，若△PMQ是正三角形．PQ=a，QA．tanα=3bC．tan2α=3b二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知tanα?β=?17，tanα+βA．?13 B．13 C．10．（4分）（2022·廣東湛江·高一期末）下列各式中，值為12的是（

A．1?2sin215°C．3?tan15°11．（4分）（2022·江西·高二開學(xué)考試）下列計(jì)算正確的是（

）A．tan15°+1tan15°?1C．sin15°sin45°12．（4分）（2022·遼寧·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sinA．fx的圖象關(guān)于直線x=5π8對稱 B．fC．fx在?5π8,0上單調(diào)遞減 D．對任意的m，三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·吉林·模擬預(yù)測）求值tan27.5°+1tan214．（4分）（2022·四川資陽·一模（理））已知a+β=7π4，則tan15．（4分）（2022·海南·高三階段練習(xí)）已知α是第四象限角，且1?cos2αcosα=1616．（4分）（2022·湖北襄陽·高三期中）已知tanα=4，β滿足①sinβ>0，且sinβ=1+cosβ，②tan(2α+β)=?10四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021·全國·高一課時練習(xí)）化簡下列各式：(1)sin7°+(2)2sin(3)sinα+β18．（6分）求證：sinπ19．（8分）（2022·湖北·高三期中）已知tanπ(1)求tanα(2)求sin2a?20．（8分）（2022·山東·高三期中）已知0<α<π2，?π2<β<0，α和β角的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓分別相交于A,B兩點(diǎn)，A,B(1)求tanα?β(2)求α?2β的值.21．（8分）（2022·江西·高三開學(xué)考試（理））（1）設(shè)α，β為銳角，且sinα=55，cos（2）已知sinα+π4=222．（8分）（2022·遼寧·高一期中）已知函數(shù)fx=(1)化簡fx(2)若α∈?π4,0，專題5.10三角恒等變換（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·貴州六盤水·高一期末）若θ∈0,π2，sin(πA．35 B．1225 C．25【解題思路】結(jié)合誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式求得正確答案.【解答過程】sin(由于θ∈0,π2所以sin2θ=2故選：D.2．（3分）（2022·廣東肇慶·高三階段練習(xí)）2sin2125°?2A．?12 B．12 【解題思路】根據(jù)正弦的二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式，以及余弦的和差角公式，化簡即可求得結(jié)果.【解答過程】2===?故選：A.3．（3分）（2022·黑龍江·高三期中）已知cosα?π3=1A．?79 B．?13 C．【解題思路】利用二倍角的余弦公式求得cos2α?【解答過程】解：因?yàn)閏osα?π3即cos2α?所以sin2α?故選：A.4．（3分）（2022·陜西·高一期末）下列各式中，值為12的是（

A．sin15°cos15°C．cos42°sin12°?【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的和差公式、倍角公式逐一算出每個選項(xiàng)對應(yīng)式子的值，然后可選出答案.【解答過程】sin15°cos2cos42°tan22.5°故選：D.5．（3分）（2022·山東·高三期中）已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sinA．34π B．π4 C．5【解題思路】求出β?α的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的正弦公式求出sinβ?α【解答過程】因?yàn)棣?≤α≤π，則π2≤2α≤2π，因?yàn)橐驗(yàn)棣小堞隆?π2，則所以，cos2α=?1?sin所以，sin=?7所以，β?α=3故選：A.6．（3分）（2022·遼寧·高一階段練習(xí)）若在△ABC中，sin(A+C)?sin(A+B)=cos2A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式得到2sinB?sin【解答過程】解：因?yàn)閟in(A+C)?即sin所以sinB?即2sinB?sin所以2sin所以cosBcosC+因?yàn)锽,C∈0,π，所以B?C∈所以B?C=0，即B=C，所以△ABC為等腰三角形；故選：C.7．（3分）（2023·云南·高三階段練習(xí)）已知α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=A．若cosα+sinB．若tanα=2，則C．tanα、tanβD．tan【解題思路】利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式以及三角恒等變換即可判斷.【解答過程】對于A,根據(jù)輔助角公式得2sin所以sinα因?yàn)棣痢?,π2所以sinα對于B,tanβ+γ故B錯誤；對于C，因?yàn)閠anα、tanβ所以tanα則有tanα因?yàn)棣?β,γ∈0,π2所以α+β∈0,對于D,由B選項(xiàng)推導(dǎo)過程可知，tanβ+γ即tanβ+tanγ故D正確.故選:D.8．（3分）（2022·福建漳州·三模）英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)來測量萬有引力，由此計(jì)算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時激光所在的點(diǎn)，然后用兩個質(zhì)量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2），由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點(diǎn)卻移動了較大的距離，他用此計(jì)算出了萬有引力公式中的常數(shù)G，從而計(jì)算出了地球的質(zhì)量．在該實(shí)驗(yàn)中，光源位于刻度尺上點(diǎn)P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點(diǎn)M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q處，鏡面繞M點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q'處，若△PMQ是正三角形．PQ=a，QA．tanα=3bC．tan2α=3b【解題思路】過點(diǎn)M作MD⊥PQ，則DQ'=12a+b，MD=3【解答過程】過點(diǎn)M作MD⊥PQ，因?yàn)椤鱌MQ是正三角形．PQ=a，則DQ'=12所以tan∠M則tan60°?tan2α故選：C.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知tanα?β=?17，tanα+βA．?13 B．13 C．【解題思路】由條件結(jié)合兩角差的正切公式求tan2β，再由二倍角公式求tan【解答過程】因?yàn)閠an2β=tanα+β?α?β=tan因?yàn)閠an2β=2tanβ1?解得tanβ=?故選：AD.10．（4分）（2022·廣東湛江·高一期末）下列各式中，值為12的是（

A．1?2sin215°C．3?tan15°【解題思路】根據(jù)二倍角的正弦公式、余弦公式，兩角差的正切公式，逐一化簡計(jì)算，即可得答案.【解答過程】對于A：1?2sin對于B：2sin對于C：3?對于D：2cos故選：BC.11．（4分）（2022·江西·高二開學(xué)考試）下列計(jì)算正確的是（

）A．tan15°+1tan15°?1C．sin15°sin45°【解題思路】根據(jù)兩角和的正切公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式求得正確答案.【解答過程】因?yàn)閠an15°+1cos4sin15°因?yàn)閠an60°=所以tan37°+故選：ABC.12．（4分）（2022·遼寧·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sinA．fx的圖象關(guān)于直線x=5π8對稱 B．fC．fx在?5π8,0上單調(diào)遞減 D．對任意的m，【解題思路】根據(jù)三角恒等變換公式化簡可得fx【解答過程】fx=2sin對A，令2x+π4=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2對B，令2x+π4=kπ，k∈Z，解得x=kπ2?π對C，令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得對D，因?yàn)閒x的最小正周期T=2π2=π，所以T2=π故選：AD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·吉林·模擬預(yù)測）求值tan27.5°+1tan2【解題思路】先用同角三角函數(shù)基本關(guān)系切化弦，同角正余弦平方和化為1，再利用倍角公式，化為可以求值的角的三角函數(shù).【解答過程】tan2故答案為：2314．（4分）（2022·四川資陽·一模（理））已知a+β=7π4，則tan【解題思路】將β=7π【解答過程】∵a+β=7π4tanα?1tan故答案為：2.15．（4分）（2022·海南·高三階段練習(xí)）已知α是第四象限角，且1?cos2αcosα=16【解題思路】利用二倍角公式化簡1?cos2αcosα=163【解答過程】由1?cos2αcosα=所以6(1?cos2α)=16cosα,∴3因?yàn)棣潦堑谒南笙藿牵蕇inα=?所以cosα+故答案為：?216．（4分）（2022·湖北襄陽·高三期中）已知tanα=4，β滿足①sinβ>0，且sinβ=1+cosβ，②tan(2α+β)=?10【解題思路】若β滿足的條件①利用sinβ=1+cosβ及sinβ>0進(jìn)行轉(zhuǎn)化解出cosβ，sinβ，利用兩角和的正切公式求解；若【解答過程】若β滿足條件①，因?yàn)閟inβ=1+cosβ解得cosβ=0或cos則sinβ=1或sinβ=0(舍去則β=π2+2kπ故tan若β滿足條件②，則tan故答案為：?1四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021·全國·高一課時練習(xí)）化簡下列各式：(1)sin7°+(2)2sin(3)sinα+β【解題思路】根據(jù)三角恒等變換公式或誘導(dǎo)公式化簡即可.【解答過程】(1)原式=sin15°?8°+=tan15°=tan(2)原式===2=22(3)原式====sin18．（6分）求證：sinπ【解題思路】逆用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式即可得證.【解答過程】左邊=====2∴左邊=右邊，即等式成立.19．（8分）（2022·湖北·高三期中）已知tanπ(1)求tanα(2)求sin2a?【解題思路】（1）利用正切函數(shù)兩角和公式直接計(jì)算即可；（2）利用正弦和余弦的二倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【解答過程】（1）由題意得tanπ解得tanα=?（2）由題意得sin2α?分子分母同除cos2α得故原式=?520．（8分）（2022·山東·高三期中）已知0<α<π2，?π2<β<0，α和β角的終邊與圓心在原點(diǎn)的單位圓分別相交于A,B兩點(diǎn)，A,B(1)求tanα?β(2)求α?2β的值.【解題思路】(1)根據(jù)正切兩角差的公式求解;(2)先求出tan(α?2β)=?1，再確定0<α?2β<【解答過程】（1）因?yàn)?<α<π2，由三角函數(shù)定義得sinα=7210，sinβ=?55，cos∴tan(α?β)=（2）tan(α?2β)=∵?π2<β<0∴?π6<β<0∴0<α?2β<5π21．（8分）（2022·江西·高三開學(xué)考試（理））（1）設(shè)α，β為銳角，且sinα=55，cos（2）已知sinα+π4=2【解題思路】（1）根據(jù)三角恒等式求出cosα和sinβ，利用兩角和的余弦公式求出（2）通過兩角和的正弦公式以及三角恒等式求出sinα，cosα