第二章函數第二節(jié)函數的單調性與最值構建本小結知識結構考向1

求函數的單調區(qū)間求函數的單調區(qū)間——圖像法【例2】

求函數f（x）＝－x2＋2｜x｜＋1的單調區(qū)間.解

畫出函數圖象如圖所示，可知單調遞增區(qū)間為（－∞，－1]和[0，1]，單調遞減區(qū)間為（－1，0）和（1，＋∞）.2.函數f（x）＝ln（x2－2x－8）的單調遞增區(qū)間是

（

）A.（－∞，－2）B.（－∞，1）C.（1，＋∞）D.（4，＋∞）解析：D

由x2－2x－8＞0，得f（x）的定義域為{x｜x＜－2或x＞4}.設t＝x2－2x－8，則y＝ln

t為增函數.要求函數f（x）的單調遞增區(qū)間，即求函數t＝x2－2x－8的單調遞增區(qū)間（定義域內）.∵函數t＝x2－2x－8在區(qū)間（4，＋∞）上單調遞增，在區(qū)間（－∞，－2）上單調遞減，∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（4，＋∞）.故選D.考點一：求函數的單調區(qū)間——復合法：同增異減考點二：函數單調性的應用考向1

利用單調性比較函數值的大小【例3】

設f（x）的定義域為R，圖象關于y軸對稱，且f（x）在[0，＋∞）上為增函數，則f（－2），f（－π），f（3）的大小順序是

（

）A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）解析

∵f（x）的定義域為R，圖象關于y軸對稱，∴f（x）是偶函數，∴f（－2）＝f（2），f（－π）＝f（π），又f（x）在[0，＋∞）上為增函數，且2＜3＜π，∴f（2）＜f（3）＜f（π），∴f（－2）＜f（3）＜f（－π）.故選B.答案

B考向2

利用單調性解不等式【例4】

已知函數f（x）＝lnx＋2x，若f（x2－4）＜2，則實數x的取值范圍是

?.

2.已知函數f（x）是R上的增函數，A（0，－1），B（3，1）是其圖象上的兩點，那么｜f（x＋1）｜＜1的解集為（

）A.（－1，2）B.（1，4）C.（－∞，－1）∪[4，＋∞）D.（－∞，－1]∪[2，＋∞）拓展：解析：A

由題意可知，f（0）＝－1，f（3）＝1，因為函數f（x）是R上的增函數，所以由｜f（x＋1）｜＜1得－1＜f（x＋1）＜1，即f（0）＜f（x＋1）＜f（3），因此0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2，即｜f（x＋1）｜＜1的解集為（－1，2）.故選A.考向4

由函數單調性求參數的值（范圍）【例5】

已知函數f（x）＝e｜x－a｜（a為常數），若f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是

?.

解析

令t＝｜x－a｜，∴y＝et，t＝｜x－a｜在（－∞，a）上單調遞減，在[a，＋∞）上單調遞增.又y＝et為增函數，∴f（x）＝e｜x－a｜在（－∞，a）上單調遞減，