2023學年第二學期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數學學科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.設全集，集合，，則=（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用補集、并集的定義直接求解即得.【詳解】依題意，全集，則，，得，所以.故選：B2.“”是“關于的不等式成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式得到解集，由為或的真子集，得到結論.【詳解】，解得或，由于為或的真子集，故“”是“關于的不等式成立”的充分不必要條件.故選：A3.冪函數的圖象關于軸對稱，且在上是減函數，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】首先根據冪函數的單調性，確定得到取值，再回代函數確定函數的奇偶性，即可求解.【詳解】因為冪函數，在區(qū)間上是減函數，所以，解得：，因為，得，當時，函數是奇函數，不關于軸對稱，故舍去，當時，函數是偶函數，關于軸對稱，故舍去，當時，函數是奇函數，不關于軸對稱，故舍去，所以.故選：A4.若數據，，，的方差為，則，，的方差為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據方差性質，即可求解.【詳解】由方差公式的性質可知，新數據，，的方差為.故選：C5.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學生到3個學校進行支教活動，每個學校至少安排1人，其中甲校要安排2名大學生，則不同的安排方法種數為（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】B【解析】【分析】首先安排甲校，再按照不平均分組分配安排其他3人，根據分步計數原理，即可求解.【詳解】甲校安排2名大學生有種方法，剩下的3名大學生安排到其余2所學校，有種方法，所以不同的安排方法有種方法.故選：B6.已知某校有2400名同學參加某次模擬考試，其中數學考試成績近似服從正態(tài)分布，則下列說法正確的有（）（參考數據：①；②；③A.這次考試成績超過100分的約有1000人B.這次考試分數低于70分的約有40人C.D.從中任取4名同學，至少有2人的分數超過100分的概率為【答案】D【解析】【分析】由正態(tài)分布的性質即可得到A、B、C選項，用二項分布能夠解決D.【詳解】由公式得到，所以超過100分的占，所以有人，所以A錯；低于分的概率為，所以大約有人，故B錯；，故C錯；分數超過100分的概率為，至少有2人的分數超過100分的概率為，符合題意，故D對.故選：D.7.函數，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析出為偶函數，且在上單調遞減，比較出，得到答案.【詳解】的定義域為，其中，故為偶函數，當時，，故，由復合函數單調性可知，在上單調遞減，其中，故，，故，所以，故故選：D8.設定義在上的函數滿足，為奇函數，當時，，若，則（）A.1011 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由為奇函數，可得，即可得到且關于對稱，再求出，即可求出在上的解析式，由推出是以為周期的周期函數，最后由周期性與對稱性計算可得.【詳解】因為為奇函數，所以，則，即關于對稱，同時，又由，令，可得，則有，當時，，則有，解得，故時，，由，即，則有，故，則是周期為的周期函數，因為，則，由于，則，，故，故．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是推導出函數的對稱性，周期性，再由周期性求出函數值.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.考慮兩個變量和的樣本數據集，其樣本相關系數通過以下公式給出：其中，和分別是和的第i個樣本值，和分別是和的樣本均值．下列關于樣本相關系數公式各部分的陳述正確的是（）A.分母中的和是和的標準差.B.分子部分用于衡量兩個變量之間變化趨勢的一致性，即分子為正值時表示變量之間正相關，分子為負值時表示變量之間負相關.C.樣本相關系數的值越接近于0，表示和之間的線性關系越強.D.通過對分子部分進行標準化處理，樣本相關系數能夠消除變量的度量單位的影響，使得不同數據集之間的相關性能夠進行直接比較.【答案】BD【解析】【分析】根據標準差定義，判斷A，根據相關系數的定義和性質，判斷BCD.【詳解】A.和是和的標準差，故A錯誤；B.由相關系數的定義，可知B正確；C.樣本相關系數的值越接近于0，表示和之間的線性關系越弱，故C錯誤；D.根據相關系數的演化過程，可知D正確.故選：BD10.已知函數的定義域為，若，則以下一定成立的是（）A. B.C.為奇函數 D.在上是增函數【答案】AC【解析】【分析】利用賦值法可判斷A；舉反例可判斷BD，根據奇函數的定義可判斷C.【詳解】對于A，令，可得，所以，故A正確；對于B，當時，顯然符合題設條件，此時，不一定有，故B錯誤.對于C，令，，所以，令，時可得，所以為奇函數，故C正確；對于D，當時，顯然符合題設條件，此時在上不具備單調性，故D錯誤.故選：AC.11.設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據和事件的概率公式和條件概率公式逐個分析求解即可【詳解】對于A，因為，，所以，所以A正確，對于B，因為，所以，所以，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以，，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，所以，所以D正確，故選：ACD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的展開式中的系數為80，則________．【答案】2【解析】【分析】由二項式定理得到通項公式，得到方程，求出.【詳解】展開式通項公式，令，解得，故，解得.故答案為：213.已知正數x，y滿足且有解，則實數m取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可.【詳解】由已知得：，，當且僅當時取等號；由題意：，即，解得：或，故答案為：.

【點睛】方法點睛：在用基本不等式求最值時，應具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關系式中，各項均為正數；②二定：關系式中，含變量的各項的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項均相等，取得最值.14.已知實數為函數的零點，為函數的零點，則________．【答案】【解析】【分析】首先將函數零點代入方程，得和，轉化為函數和與函數的交點問題，利用函數的對稱性，即可求解.【詳解】由題意可知，，即，則，，則，函數和互為反函數，關于對稱，設與的交點為，的交點為,點關于對稱，所以，則.故答案：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是判斷和互為反函數.四、解答題：本題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數（1）若不等式解集為，求，的值；（2）當時，若方程的兩個不相等的實根為，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據不等式的解集與對應方程的關系，結合韋達定理，即可求解；（2）首先根據，求的取值范圍，再根據韋達定理表示，轉化為關于的函數，利用換元法，并結合函數的單調性求取值范圍.【小問1詳解】原不等式可化為，因為該不等式的解集為，可知的兩根為和3，則，解得；所以，．【小問2詳解】方程有兩根，，解得或，又，．由韋達定理：，所以令，，，，當時，，在上單調遞增，所以.16.李醫(yī)生家在小區(qū)，他在醫(yī)院工作，從家開車到醫(yī)院上班有，兩條路線（如圖），路線上有，，三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為，；路線上有，兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，．（1）若走路線且，求最多遇到1次紅燈的概率；（2）若走路線，求遇到紅燈次數的分布列及數學期望；（3）按照“平均遇到紅燈的次數最少”的要求，請你幫助李醫(yī)生分析，選擇，哪條路線上班更好．【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據獨立重復事件概率公式，即可求解；（2）首先確定，再根據獨立事件概率公式，求分布列以及數學期望；（3）如走線路，則遇到紅燈的次數，比例兩條線路遇到紅燈次數的期望，即可分析并判斷.【小問1詳解】設“走路線最多遇到1次紅燈”為事件，則，所以走路線最多遇到次紅燈的概率為．【小問2詳解】依題意，知的所有可能取值為0，1，2．，，，故隨機變量的分布列為012所以．【小問3詳解】設選擇路線遇到紅燈的次數為，則，所以．若，則，，選擇路線上班更好；若，則，，此時選擇路線上班更好；若，則，此時選擇路線和路線一樣．17.生物鐘（晝夜節(jié)律）是生物體內部的一個調節(jié)系統(tǒng)，控制著生物的日常生理活動．研究顯示，人體的某些荷爾蒙（如皮質醇）在一天中的分泌量會隨著時間的不同而發(fā)生變化，從而影響人的活力和認知能力．假設人體某荷爾蒙的分泌量（單位：）與一天中的時間（單位：小時，以午夜0點為起點）的關系可以通過以下分段函數來描述：●在夜間，荷爾蒙分泌量保持在較低水平，可以近似為常數．●在早晨，隨著人醒來和太陽升起，荷爾蒙分泌量線性增加，其關系為，當時，分泌量達到最大值●在下午和晚上，荷爾蒙分泌量逐漸降低，可以用指數衰減模型描述，即．已知午夜時荷爾蒙分泌量為，峰值分泌量為（1）求參數，和的值以及函數的解析式；（2）求該同學一天內荷爾蒙分泌量不少于的時長．【答案】（1），，，（2）10個小時【解析】【分析】（1）根據求出，再根據和分別求出，即可得出函數解析式；（2）分和兩種情況解不等式即可.【小問1詳解】根據題意得，午夜時荷爾蒙分泌量，，在早晨，荷爾蒙分泌量滿足關系式：，當時，分泌量達到峰值即，即，解得：，因此早晨時段的荷爾蒙分泌量關系為，在下午和晚上時段，荷爾蒙分泌量滿足：，所以，解得，所以荷爾蒙分泌量為，綜上，荷爾蒙分泌量的函數關系為；【小問2詳解】①當時，，解得，所以，②當時，，，，，，綜上所述，該同學一天之內荷爾蒙分泌不少于的時長為10個小時.18.已知函數為偶函數．（1）求的值；（2）若，判斷在的單調性，并用定義法給出證明；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）單調遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據，得到方程，求出；（2）先得到，定義法判斷函數單調性步驟，取值，作差，判號，下結論；（3）參變分離得到，構造，換元后得到，根據單調性求出其最值，得到結論.【小問1詳解】定義域為R，，由于函數為偶函數，所以，即，即，即恒成立，．【小問2詳解】已知函數，由于函數在上單調遞增，由第（1）問可得，因此不妨設，，且則因為，因此，由因為，，因此，所以，故，所以函數在單調遞增．【小問3詳解】由題得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因為，所以，所以在區(qū)間上恒成立，令，令，則，因為在單調遞增，所以函數在上單調遞減，故．．對任意的恒成立，且，．實數的取值范圍是．19.假設通過簡單隨機抽樣得到和的抽樣數據列聯(lián)表，合計合計課本中給出統(tǒng)計量計算公式如下：此處我們把列聯(lián)表中的，，，稱為觀察頻數，記作，（例如，），把，，，稱為期望頻數，記作，即第i行的頻數和乘以第j列的頻數和與頻數總和的商．（例如，）．則我們可以將卡方統(tǒng)計量的計算公式寫成以下更為一般的形式：（Σ表示對后面的代數式求和）根據以上信息，假設一項研究旨在分析不同教學方法對學生數學成績的影響。研究中采用了三種不同的教學方法：傳統(tǒng)方法、在線學習和互動式學習。學生根據他們的成績被分為三個級別：低、中、高，用頻率估計概率。研究結果如下表所示：教學方法\成績級別低中高總計傳統(tǒng)方法203050100在線學習354520100互動式學習251560100總計8090130300（1）已知在“傳統(tǒng)方法”中，參加數學興趣小組的同學按照成績“低”、“中”、“高”的分別占對應人數的、、，求“傳統(tǒng)方法”中參加數學興趣小組同學的概率．（2）（i）求，；（ii）依據小概率值的獨立性檢驗，分析這三種教學方法對學生數學成績影響是否存在顯著差異．參考數據：0.1000.0500.0250.0100.005

7.789.4911.1413.2814.86【答案】（1）（2）（i）,（ii）存在顯