專題5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量的基本概念】 2【題型2向量加、減法的幾何意義】 3【題型3向量的線性運(yùn)算】 3【題型4根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)】 4【題型5向量共線定理及其應(yīng)用】 41、平面向量的概念及線性運(yùn)算考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義

(2)掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義

(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義2022年新高考全國I卷：第3題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第4題，5分平面向量是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，平面向量的概念和平面向量的線性運(yùn)算主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易，考查形式比較穩(wěn)定.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)向量的線性運(yùn)算法則、向量共線定理的理解.【知識(shí)點(diǎn)1平行向量有關(guān)概念的歸納】1．平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量與的關(guān)系：是與同方向的單位向量.【知識(shí)點(diǎn)2平面向量線性運(yùn)算問題的解題策略】1．平面向量線性運(yùn)算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運(yùn)算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2．向量線性運(yùn)算的含參問題的解題策略：與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.3．利用共線向量定理解題的策略：(1)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A,B,C三點(diǎn)共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實(shí)數(shù))，若A,B,C三點(diǎn)共線，則λ+μ=1.【方法技巧與總結(jié)】1．中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則.2．(λ,μ為實(shí)數(shù))，若A,B,C三點(diǎn)共線，則λ+μ=1.3．解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.【題型1平面向量的基本概念】【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a，b為非零向量，則“向量a，b的夾角為180°”是“a//b”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-1】（2024·北京·三模）若a,b為非零向量，則“aa=bA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023·江蘇鹽城·三模）已知ABCD是平面四邊形，設(shè)p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，則p是q的條件（A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【變式1-3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷錯(cuò)誤的是（

）A．若AD=BC，則四邊形B．若AD=13C．若AB=DC，且|ABD．若AB=DC，且AC⊥【題型2向量加、減法的幾何意義】【例2】（2024·河南開封·三模）在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則下列向量與AB+DC不相等的是（A．2EF B．AC+DB C．EB【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）等邊三角形ABC的垂心為O，點(diǎn)D是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，則AD=（

A．OB+23C．OB+34【變式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在△ABC中，AB=4,AC=6，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，且D為AB中點(diǎn)，AE=12EC，若AP=AD+A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【變式2-3】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）等腰△ABC中，∠B=∠C=30°,AB=1，D為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE∥BC交AC于E．過D作DF⊥BC交BC于F，則|2BF+DEA．3 B．23 C．33 【題型3向量的線性運(yùn)算】【例3】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）下列向量關(guān)系式中，正確的是（

）A．MN=NM C．AB+CA=【變式3-1】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a,b，則2aA．a(chǎn)+b C．3a+b【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，NA+NC=A．NM=?13C．NM=?13【變式3-3】（2024·四川自貢·一模）如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則DE=（

A．?13ABC．?56AB【題型4根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)】【例4】（2023·寧夏石嘴山·二模）如圖，已知△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，若DB=12AD，3CD

A．?2 B．2 C．?1 D．3【變式4-1】（2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，若AD+BC=λAB+μA．1 B．－1 C．2 D．－2【變式4-2】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，AC與MD相交于點(diǎn)P，若AP=xAB+yAD，則A．23 B．916 C．34【變式4-3】（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，D是線段BC上一點(diǎn)，滿足BD=2DC,M是線段AD的中點(diǎn)，設(shè)BM=xAB+yA．x?y=?12 C．x?y=12 【題型5向量共線定理及其應(yīng)用】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量a，b，則“a//b”是“存在λ∈R，使得a=λA．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-1】（2024·上海崇明·一模）設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn).若實(shí)數(shù)x、y、z滿足xOA+yOB+zOC=0x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件.【變式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a+λbA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-3】（2023·甘肅武威·一模）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，則點(diǎn)A．23 B．3 C．33 一、單選題1．（2023·北京大興·三模）設(shè)a，b是非零向量，“aa=bb”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足AB+BC=2AM，則A．12 B．1 C．22 3．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則AB+BC?A．0 B．2 C．22 4．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則AM=A．23AB?C．AB+125．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=4AD，CE=2ED.若A．λ+μ=5 B．λ?μ=1 C．λμ=6 D．λ6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知e1?,e2?是兩個(gè)不共線的向量，若A．λμ=?2 B．λμ=?2 C．λμ7．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量e1，e2是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且AB=e1+2eA．A、B、C三點(diǎn)共線 B．A、B、D三點(diǎn)共線C．A、C、D三點(diǎn)共線 D．B、C、D三點(diǎn)共線8．（2024·全國·二模）點(diǎn)O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足OP=OA+OB+OC，則直線A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心二、多選題9．（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）下列說法中正確的是（

）A．若a與b都是單位向量，則aB．零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的C．若a與b是平行向量，則aD．若a+b=010．（2024·遼寧·二模）△ABC的重心為點(diǎn)G，點(diǎn)O，P是△ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足OP=OA+A．O,P,G三點(diǎn)共線 B．OPC．2OP=AP+BP+11．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)與生活存在緊密聯(lián)系，很多生活中的模型多源于數(shù)學(xué)的靈感．已知某建筑物的底層玻璃采用正六邊形為主體，再以正六邊形的每條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造出六個(gè)正方形，如圖所示，則在該圖形中，下列說法正確的是（

）

A．GH=23C．GB=33三、填空題12．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，3BE→=ED→，13．（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列關(guān)于向量的命題，序號(hào)正確的是.①零向量平行于任意向量；②對(duì)于非零向量a,b，若a//③對(duì)于非零向量a,b，若a=±④對(duì)于非零向量a,b，若a//b，則14．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且DF=AF，點(diǎn)P在AB上，BP=2AP，點(diǎn)Q在△DEF內(nèi)(含邊界)一點(diǎn)，若PQ=λPD+PA，則四、解答題15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化簡(jiǎn)下列各式：(1)(AB(2)AB?(3)OA?16．（24-25高二·上海·假期作業(yè)）如圖，E、F、G依次是正三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn).(1)在以A、B、C、E、F、G為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，找出與向量EF共線的向量；(2)在以A、B、C為起點(diǎn)，以E、F、G為終點(diǎn)的向量中，找出與向量GF模相等的向量；(3)在以E、F、G為起點(diǎn)，以A、B、C為終點(diǎn)的向量中，找出與向量EG相等的向量.17．（23-24高一下·河南周口·階段