2.6二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021·四川蓬安九年級(jí)月考）對(duì)二次函數(shù)，下列說法：①對(duì)任意實(shí)數(shù)m，都有與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等；②在范圍內(nèi)，函數(shù)存在最大值m，最小值n，則；③設(shè)點(diǎn)，均在函數(shù)的圖象上，若，則或；④若函數(shù)的圖象都位于x軸的上方，則方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④ B．①③ C．①② D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出對(duì)稱軸，由拋物線的性質(zhì)即可判斷①，分和討論它的增減性，表示出在范圍內(nèi)，表示出m和n的值即可判斷②，由函數(shù)的增減性即可判斷③，根據(jù)圖象的位置可得出判別式的范圍，即可判斷④，【詳解】解：∵，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，都有與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，∴①說法符合題意，當(dāng)時(shí)，若，則，，∴，若，則，，∴，∴②說法不合題意，若，則當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大，∴t＜﹣2或t＞4，若，則當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減小，∴，∴③說法不合題意，若函數(shù)的圖象都位于x軸的上方，則且，∴，∴，∴，∵，∴，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴④說法符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記拋物線圖象與系數(shù)的關(guān)系以及判別式的性質(zhì)．2．（2021·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，作射線，將射線沿直線翻折得到射線，與拋物線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)M作MC⊥y軸于點(diǎn)C，作MD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AM，先證明，進(jìn)而可證明，由此可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得直線BN的解析式，再與二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程即可求得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作MC⊥y軸于點(diǎn)C，作MD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AM，則四邊形ODMC為矩形，∵，∴拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，－6），∵四邊形ODMC為矩形，∴CM＝OD＝4，OC＝DM＝6，將x＝0代入，得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，－4），∴OA＝4＝CM，∴AC＝OC－OA＝2，又∵點(diǎn)坐標(biāo)為，∴OB＝2＝AC，∴BD＝OD－OB＝2，∵M(jìn)C⊥y軸，x軸⊥y軸，∴∠ACM＝∠BOA＝90°，在與中，∴，∴，，∵∠BOA＝90°，∴，∴，又∵，∴，∵將射線沿直線翻折得到射線，∴，，∴，∴，∵NE⊥x軸，MD⊥x軸，∴∠NEB＝∠MDB＝90°，∴，∴，在與中，∴，∴，，∴，又∵點(diǎn)N在第三象限，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（－4，－2），設(shè)直線BN的解析式為，將N（－4，－2），代入，得：，解得：，∴，將與聯(lián)立方程，得：，解得：，（不符合題意，舍去），∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，作出正確的輔助線并能熟練運(yùn)用相關(guān)圖形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇通州九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為A點(diǎn)，且與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，P點(diǎn)為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】連接、，，作于，于，解方程得到得，，利用配方法得到，，則，從而可判斷為等邊三角形，接著利用得到，利用拋物線的對(duì)稱性得到，所以，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，然后計(jì)算出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，連接、，，作于，于，當(dāng)時(shí)，，解得，，則，，∵，∴，，，∵頂點(diǎn)A在拋物線的對(duì)稱軸上，∴，，為等邊三角形，，，，垂直平分，，，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，∵為等邊三角形，于，∴，∴，的最小值為3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及最短路徑的解決方法，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2021·武漢實(shí)外九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+6，當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，y≥a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣2≤a≤2 B．﹣≤a≤﹣2 C．﹣≤a≤2 D．0≤a≤2【答案】C【分析】利用配方法求得拋物線的對(duì)稱軸以及函數(shù)的最小值，分，和三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合得到關(guān)于的一元一次不等式或一元二次不等式，求解即可．【詳解】解：∴函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸為，最小值為當(dāng)時(shí)，在時(shí)，隨增大而增大∵∴，解得∴當(dāng)時(shí)，在時(shí)，隨增大而減小∵∴，解得∴無解當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)，取得最小值∴，解得∴綜上所得：故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，分，和三種情況，進(jìn)行分類討論，得到關(guān)于的一元一次不等式或一元二次不等式是解題的關(guān)鍵．5．（2021·河南省淮濱縣九年級(jí)開學(xué)考試）若直線（為實(shí)數(shù)）與函數(shù)的圖象至少有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出=0時(shí)x的值，再求出＞0和＜0時(shí)，自變量的取值，可得到的函數(shù)圖像，即可根據(jù)圖形進(jìn)行求解．【詳解】令=0得x=1或x=3當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，＞0，1＜x＜3時(shí)，＜0∵y==（x-2）2-1∴當(dāng)x=2時(shí)，y=有最小值-1得到函數(shù)圖像如下∵直線與函數(shù)的圖象至少有三個(gè)公共點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，再進(jìn)行求解．6．（2021·廣東深圳市九年級(jí)三模）已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與，軸的交點(diǎn)分別為，，是其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，以下結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．周長(zhǎng)的最小值是 D．是的一個(gè)根【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系即可判斷A；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則x=3時(shí)，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判斷B、D；利用兩點(diǎn)間直線最短來求△PAB周長(zhǎng)的最小值即可判斷C．【詳解】解：A、根據(jù)圖象知，對(duì)稱軸是直線x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0，故A正確；B、根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)，對(duì)稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，∴x=3時(shí)，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∵拋物線開口向下，則a<0，∴0＞a>-，故B正確；C、點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)是A′(3,0)，即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，連接BA′與直線x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則△PAB的周長(zhǎng)的最小值是(BA′+AB)的長(zhǎng)度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A′(3,0)，∴AB=，BA′=，即△PAB周長(zhǎng)的最小值為+，故C錯(cuò)誤；D、根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)，對(duì)稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，所以是的一個(gè)根，故D正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短．解答該題時(shí)，充分利用了拋物線的對(duì)稱性．二、填空題7．（2021·河北天津九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是______．【答案】##【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的對(duì)稱軸和開口方向，再根據(jù)已知和對(duì)稱軸得出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：二次函數(shù)y=x2+（2m-1）x的對(duì)稱軸是直線x=-=-，∵二次函數(shù)y=x2+（2m-1）x中a=1＞0，∴函數(shù)的圖象的開口向上，∴當(dāng)x＜?時(shí)，y隨x的增大而減小，∵當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴-≥0，解得：m≤，故答案為：m≤．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及解一元一次不等式，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．8．（2021·河北天津九年級(jí)月考）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值，則的值為______．【答案】或【分析】先求得其對(duì)稱軸為，再分、和根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分別求得其最大值，由最大值為2，可求得的值．【詳解】解：，其對(duì)稱為，開口向下，當(dāng)即時(shí)，在上隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)有最大值，最大值，解得，符合題意；當(dāng)即時(shí)，的最大值，（不合題意，舍去），或（舍去）；當(dāng)即時(shí)，在上隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大值，，綜上可知的值為或．故答案是：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，掌握二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．9．（2021·湖北硚口九年級(jí)月考）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)(3，0)，對(duì)稱軸為直線x＝1．下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)P1(－2020，y1)，P2(2023，y2)在拋物線上，則y1＞y2；②2a＋c＜0；③關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝p的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n（n＜m），若p＞0，則m＜3且n＞－1；④a（1－t2）≥b（t－1）（t為常數(shù)）．其中正確的結(jié)論是________（填寫序號(hào)）．【答案】①③④【分析】利用拋物線的對(duì)稱性以及圖像與性質(zhì)可以判斷①是否正確，利用拋物線與一元二次方程的關(guān)系以及結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析即可判斷②③④是否正確．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)）的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)P1(－2020，y1)與點(diǎn)(2022，y1)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∵圖像開口向下，∴，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，由2022＜2023∴y1＞y2，故①正確；∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)(3，0)，∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)為(-1，0)，∴x=3和x=-1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)根，∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；如圖所示，當(dāng)p＞0時(shí)，拋物線與直線y＝p的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在-1和3之間，故③正確；∵x=3和x=-1是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)根，∴∴，∴a（1－t2）-b（t－1）=a（1－t2）+2a（t－1）=，∴a（1－t2）≥b（t－1）（t為常數(shù)），故④成立；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系等內(nèi)容，在比較大小時(shí)應(yīng)掌握作差法，通過配方確定代數(shù)式的符號(hào)，本題考查了學(xué)生綜合分析問題的能力，要求學(xué)生能正確理解函數(shù)圖像，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．10．（2021·江蘇姑蘇九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為完美點(diǎn)．已知二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)（，），且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋4x＋c﹣（a≠0）的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是_______．【答案】2≤m≤4【分析】根據(jù)完美點(diǎn)的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根為，從而求得a＝﹣1，c＝，所以函數(shù)y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．【詳解】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根為，解得a＝﹣1，c＝，故函數(shù)y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，如圖，該函數(shù)圖象頂點(diǎn)為（2，1），與y軸交點(diǎn)為（0，﹣3），由對(duì)稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過點(diǎn)（4，﹣3）．由于函數(shù)圖象在對(duì)稱軸x＝2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，∴2≤m≤4，故答案為：2≤m≤4．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是能利用解一元二次方程求出二次函數(shù)的解析式，能利用二次函數(shù)圖像的增減性求出自變量的取值范圍，本題對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力有一定的要求．11．（2021·諸暨市九年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)A（3，3），點(diǎn)B（0，），點(diǎn)A在二次函數(shù)y＝x2+x﹣9的圖象上，作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_________．【答案】【分析】過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，設(shè)，則，則，根據(jù)三角函數(shù)得出，則，解之可得，求得直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得,∴,設(shè)，則，∴，∴,∴，∵,∴，∴，兩邊平方得：，解得：(舍)，∴,，∴,∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，設(shè)直線的解析式為：，則，解得，∴表達(dá)式為，將其代入拋物線方程y＝x2+x﹣9，解得或，即為點(diǎn)A，將代入直線AC得，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，求一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得一次函數(shù)解析式與二次函數(shù)解析式聯(lián)立是解題的關(guān)鍵．三、解答題12．（2021·河北天津九年級(jí)月考）如圖，拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線（1）求這個(gè)拋物線的解析式（2）拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為判斷的形狀并說明理由（3）直線軸，交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合），點(diǎn)做軸的垂線，交直線于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）是直角三角形，見解析；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）先求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用勾股定理求出BC、BD、CD的長(zhǎng)即可判斷；（3）先求出直線BC的解析式，N的坐標(biāo)，得到四邊形的面積=，故當(dāng)PQ最大時(shí)，四邊形的面積最大，設(shè)P（x，0），則P（），Q（），得到四邊形的面積的函數(shù)解析式，利用函數(shù)性質(zhì)解答．【詳解】解：（1）由題意得，解得，∴這個(gè)拋物線的解析式為；（2）令中y=0，得，解得x=-1或x=3，∴C（3,0），∵∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），∵,∴,∴是直角三角形；（3）∵B(0,-3)，C(3,0)，∴直線BC的解析式為，∵直線軸，交拋物線于另一點(diǎn)，B（0,3），對(duì)稱軸為直線x=1，∴N（2,-3），∵PQ⊥x軸，∴PQ⊥BN，∴四邊形的面積=，∴當(dāng)PQ最大時(shí)，四邊形的面積最大，設(shè)P（x，0），則P（），Q（）,∴，∴四邊形的面積==，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值，正確掌握函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．13．（2021·新余市第一中學(xué)九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線過，兩點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出的面積；（3）若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2），3；（3）點(diǎn)坐標(biāo)為或或或，見解析．【分析】（1）把把，代入拋物線，求解即可；（2）求得對(duì)稱軸為，再根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，面積也可求解；（3）分別以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論，利用全等三角形和勾股定理求或的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）把，代入拋物線中，得，解得，所以該拋物線表達(dá)式為；（2），拋物線對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，又，；（3）以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類情況討論：①以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)且在軸上方時(shí)，如圖，，，在和中，，，，，；②以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)且在軸下方時(shí)，如圖，作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：和，同理得，，，，；③以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)且在軸左側(cè)時(shí)，如圖，，，做輔助線，同理得，，，；④以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)且在軸右側(cè)時(shí)，如圖，做輔助線，同理得，，；⑤以為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；綜上可知當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖像性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)并靈活運(yùn)用．14．（2021·河北青縣九年級(jí)月考）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．（1）若直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，求直線和拋物的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過作軸垂線交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），求線段長(zhǎng)度最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設(shè)直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，此時(shí)MA+MC的值最?。汛胫本€得的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意，設(shè)則，進(jìn)而根據(jù)的長(zhǎng)度列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)配方法即可求得的最大值．【詳解】解：（1）由題意得：，解得，∴拋物線解析式為：，∵對(duì)稱軸為，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴把、分別代入中，得，解得，∴直線的解析式為；（2）如圖，∵點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，∴、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∵，∴，由兩點(diǎn)之間線段最短，所以使最小的點(diǎn)M在線段上，即為直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)．∵直線的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，∴；（3）點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，直線的解析式為，拋物線解析式為：設(shè)則點(diǎn)在第二象限,由圖象可知線段長(zhǎng)度最大值．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、利用軸對(duì)稱性質(zhì)確定線段的最小長(zhǎng)度，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B，交y軸于點(diǎn)C．（1）求的面積；（2）D為拋物線的頂點(diǎn)，連接，點(diǎn)P為拋物線上點(diǎn)C、D之間一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)M，連接，求四邊形面積的最大值以及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)：（3）將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位后得到新的拋物線），新拋物線與原拋物線的交點(diǎn)為E，在原拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以B，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）3；（2）最大，；（3）存在，或或或【分析】（1）求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，即可求出AB、OC的長(zhǎng)度，從而求出△ABC面積；（2）設(shè)CD與x軸交于F，連接BP、過P作y軸平行線，交CD于G，交BD延長(zhǎng)線于H，先求出S△BCD=，設(shè)P（t，），則G（t，?t+2），H（t，t?3），求出S四邊形CPDB，由PM∥BD，得S△MDB=S△PDB，從而S四邊形CPDM，當(dāng)t=2時(shí)，S四邊形CPDM最大=4，此時(shí)P（2，1）；（3）由OC=2，OB=4，可得BC=，拋物線沿射線BC方向平移，即向左平移6個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，可求出新拋物線，然后可以求出點(diǎn)E，設(shè)Q（m，），則BE2=50，BQ2=（m4）2+（）2，EQ2=（m+1）2+（）2，直角三角形按直角分類，利用勾股定理逆定理列方程即可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴，；（2）設(shè)CD與x軸交于F，連接BP、過P作y軸平行線，交CD于G，交BD延長(zhǎng)線于H，如圖：

∵，∴頂點(diǎn)D（，），∵C（0，2），B（4，0），∴直線CD解析式為，直線BD解析式為，在中，令y=0得x=，∴F（，0），∴BF=，∴S△BCD=BF?|yC-yD|=××（2+）=，設(shè)P（t，），則G（t，?），H（t，），∴GP=，PH=∴S△CPD=GP?|xD-xC|=××()＝；S△PDB=PH?|xB-xD|=××()=；∴S四邊形CPDB=S△CPD+S△BCD=，∵PM//BD，∴S△MDB=S△PDB，∴S△MDB=，∴S四邊形CPDM=S四邊形CPDB-S△MDB=（）（）=t2+4t=（t2）2+4，∴當(dāng)t=2時(shí)，S四邊形CPDM最大=4，此時(shí)P（2，1）；（3）存在，理由如下：∵OC=2，OB=4，∴BC=，拋物線沿射線BC方向平移，相當(dāng)于拋物線向左平移6個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，∵，∴新拋物線解析式為：，

聯(lián)立解析式得：解得：，∴交點(diǎn)E（-1，5），設(shè)Q（m，），則BE2=50，BQ2=（m-4）2+（）2，EQ2=（m+1）2+（）2，①當(dāng)BQ為斜邊，即∠QEB=90°時(shí)，如圖：∵BE2+EQ2=BQ2，∴50+（m+1）2+（）2=（m-4）2+（）2，∴50+（m+1）2-（m-4）2=（）2-（）2，∴50+10m-15=（m2-5m-1）×5，解得：m=8或m=-1（舍去），∴Q（8，14）；②BE為斜邊，即∠BQE=90°時(shí)，如圖：∵QE2+BQ2=BE2，∴（m-4）2+（）2+（m+1）2+（）2=50，∴（m+1）（m-4）（m-2）（m-5）=0，解得：m=-1（與E重合，舍去）或m=4（與B重合，舍去）或m=2或m=5，∴Q（2，-2）或Q（5，2）；③QE為斜邊，即∠QBE=90°，如圖：∵BQ2+BE2=QE2，∴（m-4）2+（）2+50=（m+1）2+（）2，解得：m=3或m=4（與B重合，舍去），∴Q（3，-1），綜上所述：或或或．【點(diǎn)睛】本題考察二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)圖象中三角形，四邊形面積問題，關(guān)鍵在于面積的轉(zhuǎn)化，以及直角三角形的存在性問題，注意要分類討論，利用勾股定理逆定理來求解，計(jì)算過程需要仔細(xì)點(diǎn)．16．（2021·北京市九年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－，0)，B(，0)，C(0，－3)．（1）求拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）連接BC與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，連接PC．①求證：PCD是等邊三角形．②連接AD，與y軸交于點(diǎn)E，連接AP，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q，使以Q，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ADP全等．若存在，直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是直線BC上任意一點(diǎn)，連接ME，以點(diǎn)E為中心，將線段ME逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段NE，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是否發(fā)生改變，若不改變，直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若改變，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）①見解析；②存在，或；（3）不改變，N的橫坐標(biāo)為,理由見解析．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，再用配方法解題；（2）①利用勾股定理求出PC,PD,CD的值，即可求解；②存在，在對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q，使得DQ=AD，連接AQ,證明，可解得，再根據(jù)對(duì)稱性得到，當(dāng)點(diǎn)與Q關(guān)于A對(duì)稱時(shí)，，解得；（3）設(shè)EN交DM于J，利用全等三角形的性質(zhì)，