專題2.2函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、對稱性與周期性【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】 ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù).【知識點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對稱性的常用結(jié)論】1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);2．對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.3．函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(2)若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(3)若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2023·海南海口·模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=x2?4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．(?∞,?2) B．(?C．(?2,2) D．(?2,0)和(2,+【變式1-1】（2024·廣東·一模）設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．y=1f(x)在R上為減函數(shù) B．y=|f(x)|在C．y=?1f(x)在R上為增函數(shù) D．y=?f(x)在【變式1-2】（2024·江西·二模）已知函數(shù)fx=x2?2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+∞C．12,+∞【變式1-3】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知定義在區(qū)間(?m,m)(m>0)上，值域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：①當(dāng)0<x<m時，f(x)>0；②對于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)a、b均滿足：f(a+b)=f(a)+f(b)1?f(a)f(b)．則（A．f(0)=1B．?C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,m)上單調(diào)遞減D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(?m,m)上單調(diào)遞增【題型2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)fx=?x2+ax+1在2,6A．2,6 B．?C．4,12 D．?【變式2-1】（2023·天津河北·一模）設(shè)a∈R，則“a>?2”是“函數(shù)fx=2x2+4ax+1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-2】（2023·陜西商洛·一模）已知函數(shù)f(x)=?x2+2ax,x≤1(3?a)x+2,x>1是定義在RA．1,3 B．1,2 C．2,3 D．0,3【變式2-3】（2023·北京豐臺·一模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，存在常數(shù)tt>0，使得對任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，當(dāng)x∈0,t時，f(x)=x?t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】【例3】（2024·江西上饒·一模）.函數(shù)f(x)＝－x＋1x在[?2,?13A．32 B．－83 C．－2【變式3-1】（2024·安徽淮北·二模）當(dāng)實(shí)數(shù)t變化時，函數(shù)fx=xA．2 B．4 C．6 D．8【變式3-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=x+4ax+b,x∈[b,+∞)，其中b>0,a∈R，記M為f(x)的最小值，則當(dāng)M=2時，aA．a(chǎn)>13 B．a(chǎn)<13 C．【變式3-3】（2024·北京順義·二模）已知函數(shù)f(x)={1?|x+1|,x<0x2?2x,x≥0，若實(shí)數(shù)m∈[?2,0]，則|f(x)?f(?1)|在區(qū)間A．[1,4] B．[2,4] C．[1,3] D．[1,2]【題型4函數(shù)的奇偶性的判斷與證明】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fxfA．f0=0 C．fx+1為偶函數(shù) D．f【變式4-1】（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)fx=2?xA．fx?2+1 C．fx+2+2 【變式4-2】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知定義在?∞,0∪0,+∞上的函數(shù)fA．fx是奇函數(shù)且在0,+B．fx是奇函數(shù)且在?C．fx是偶函數(shù)且在0,+D．fx是偶函數(shù)且在?【變式4-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)fx滿足fx+y+1=fA．fx+1是奇函數(shù) B．C．fx?1是奇函數(shù) D．【題型5根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)】【例5】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=a?12xA．12 B．?12 C．1【變式5-1】（2024·甘肅蘭州·三模）若函數(shù)fx=x+1x+axA．1 B．?1 C．2 D．?2【變式5-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知fx=x3+2A．?2 B．2 C．1 D．?1【變式5-3】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，fx=x2+aA．?3 B．3 C．13 D．【題型6已知函數(shù)的奇偶性求解析式、求值】【例6】（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=2x+x?1，則當(dāng)x<0時，f(x)=A．2?x?x?1 C．?2?x?x?1【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=fx+2,x≥0?xA．?1 B．0 C．1 D．2【變式6-2】（2024·青海西寧·二模）若fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx+1是偶函數(shù)，當(dāng)0<x≤1時，fx=ex?1，則當(dāng)A．f(x)=?e1?x C．f(x)=?ex?3 【變式6-3】（2024·海南·三模）已知函數(shù)fx為奇函數(shù)，gx為偶函數(shù)，且fx?gxA．e2+1e B．e2?1e【題型7函數(shù)的對稱性與周期性】【例7】（2024·湖南長沙·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx是奇函數(shù)，對任意x∈R都有fx+1=f1?x，當(dāng)f?3A．2 B．?2 C．0 D．?4【變式7-1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)f(x)的圖象在x軸上方，對?x∈R，都有f(x+2)?f(x)=2f(1)，若y=f(x?1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且f(0)=1，則f(2023)+f(2024)+f(2025)=（

A．3 B．4 C．5 D．6【變式7-2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f2+x?f2?x=4x．若f2x?3的圖象關(guān)于點(diǎn)2,1對稱，且A．0 B．50 C．2509 D．2499【變式7-3】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)fx、gx的定義域均為R，函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)g(x+1)的圖象關(guān)于y軸對稱，f(x+2)+g(x+1)=?1,f(?4)=0，則f(2030)?g(2017)=A．?4 B．?3 C．3 D．4【題型8類周期函數(shù)】【例8】（23-24高一上·江西吉安·期末）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx+4=2fx，當(dāng)x∈0,4時，fx=2x2A．?∞,?7 B．?∞,?5 C．【變式8-1】（23-24高一上·浙江臺州·期中）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，滿足fx=2fx?2，且當(dāng)x∈0,2時，fx=x2?x．若對任意A．?∞,5C．?∞,9【變式8-2】（2024·云南昆明·二模）定義“函數(shù)y=fx是D上的a級類周期函數(shù)”如下:函數(shù)y=fx,x∈D，對于給定的非零常數(shù)a，總存在非零常數(shù)T，使得定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x都有afx=fx+T恒成立，此時T為fx的周期.若y=fx是1,+∞上的a級類周期函數(shù)，且T=1，當(dāng)x∈1,2A．56,+∞ B．2,+∞ C．【變式8-3】（23-24高一上·福建福州·期末）定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x)，當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)={x2?x,x∈[0,1]log2(x+1),x∈(1,2)，若x∈[?2,0)時，對任意的t∈[1,2]都有f(x)≥tA．(?∞,3) B．[3,+∞) C．(?∞,3] D．(3,+∞)【題型9利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】【例9】（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1+x=f1?x，且?x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【變式9-1】（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)fx是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x1<x2時，fx2?fx1x2?xA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【變式9-2】（22-23高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)y=fx在0,4上單調(diào)遞增，且y=fx+4是偶函數(shù)，則（A．f2<f3C．f2<f7【變式9-3】（2023·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知a=ln1.1，b=111，A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>b>a D．c>a>b【題型10利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【例10】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，當(dāng)x>0時，f(x)>1，且f(2)=5，則關(guān)于x的不等式f(x)+f(4?3x)<6的解集為（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．?∞，【變式10-1】（2023·河南洛陽·一模）已知函數(shù)f(x)=?3x+3,x<0?xA．?12,+∞ B．2,+∞ 【變式10-2】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，在?∞,0上是減函數(shù)，且f3=0，則使得fA．?∞,?3 C．?3,3 D．?【變式10-3】（2023·河南·模擬預(yù)測）若定義在?∞,0∪0,+∞上的函數(shù)fx同時滿足：①fx為奇函數(shù)；②對任意的x1,x2∈0,+∞，且x1A．?∞,?1 C．?∞,?3∪【題型11抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性】【例11】（2024·山西·一模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?,+∞，且對任意m，n∈R，都有fm+n=f(1)求f0的值，并證明φ(2)若x>0，fx>1，且f3=4，證明fx【變式11-1】（23-24高一上·北京·期中）設(shè)函數(shù)fx的定義域是0,+∞，且對任意正實(shí)數(shù)x，y都有fxy=fx+fy(1)求f1(2)判斷y=fx在區(qū)間0,+(3)解不等式f2x【變式11-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)滿足對一切x1,x2∈R都有fx1（1）求f(?1)的值；（2）判斷并證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；（3）解不等式：fx【變式11-3】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)p(x)，q(x)的定義域均為R，且滿足：①?x>0，p(x)>0；②q(x)為偶函數(shù)，q(x)≥q(0)=1；③?x，y∈R，p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).(1)求p(0)的值，并證明：p(x)為奇函數(shù)；(2)?x1,①p(x②p(x)單調(diào)遞增.【題型12函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例12】（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）已知fx=ax2(1)求fx(2)設(shè)函數(shù)gx=x2?2mx+4m∈R【變式12-1】（23-24高二下·黑龍江鶴崗·期末）已知函數(shù)fx=ax+b1+x2(1)確定函數(shù)fx(2)用定義證明fx在?1,1(3)解不等式fx?1【變式12-2】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax+bx2(1)求函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx在?1,1(3)解關(guān)于t的不等式：ft+【變式12-3】（2024·上海黃浦·一模）已知實(shí)數(shù)a,b是常數(shù)，函數(shù)f(x)=(1+x（1）求函數(shù)f(x)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若a=?3,b=1，設(shè)t=1+x+1?x，記t的取值組成的集合為D，則函數(shù)f(x)的值域與函數(shù)g(t)=（i）求集合D；（ii）研究函數(shù)g(t)=12(t3一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)=4|x?a|+3在區(qū)間[1,+∞)上不單調(diào)，則a的取值范圍是（A．[1,+∞) C．(?∞,1) 2．（2023·全國·三模）已知函數(shù)fx=bx?b+3x3在?1,1上的最小值為?3A．?∞,?4 B．9,+∞ C．?4,93．（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)fx=xx，則關(guān)于x的不等式fA．13,+∞ B．?∞,14．（2023·陜西西安·一模）已知fx是R上的奇函數(shù)，且fx+2=?fx，當(dāng)x∈0,1時，fA．3 B．?3 C．255 D．?2555．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，若對?x∈R都有f3+x=f1?x，且fx在A．f4<f1C．f1<f26．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)gx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx，gA．ff2>fC．gg2>g7．（2023·廣東·一模）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=ax+1，若f(?2)=5，則不等式f(x)>12的解集為（A．?∞,?1C．?∞,?18．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，f(3x+1)為奇函數(shù)，g(x+2)為偶函數(shù)，f(x+1)+g(1?x)=2，f(0)=?12，則k=1102A．?51 B．52 C．4152 二、多選題9．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在[0,+∞A．函數(shù)f(f(x))在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)f(g(x))在(?∞C．函數(shù)g(?g(x))在(?∞D(zhuǎn)．函數(shù)g(?f(x))在[0,+∞10．（2024·全國·模擬預(yù)測）定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足下列條件：（1）fxy=yfx?xfA．fB．當(dāng)0<x<1時，fC．fD．fx在1,+11．（2024·貴州貴陽·二模）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=g(x)?g(?x)+3=f(3?x)，對?x1,x2∈(1,2]，A．(2025