試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年山東省棗莊市薛城區(qū)高一下學期期中考試數學試題一、單選題1．復數則在復平面內，對應的點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過復數的除法運算化簡復數，然后利用復數的幾何意義求解.【詳解】因為，所以在復平面內，對應的點的坐標是.故選：B【點睛】本題主要考查復數的運算及幾何意義，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.2．長方體的一個頂點上的三條棱長分別為3、4、5，且它的8個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．都不對【答案】B【分析】由題意長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積．【詳解】解：長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，所以長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為：，所以球的半徑為：；則這個球的表面積是：．故選：．3．向量在正方形網格中的位置如圖所示．若向量與垂直，則實數（）A． B．C．3 D．2【答案】C【分析】設，其中，根據向量垂直的條件可得選項．【詳解】由圖可設，其中，所以，又向量與垂直，所以，即，所以，解得.故選：C.4．設為所在平面內一點，若，則下列關系中正確的是A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.5．一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得，結合直觀圖與原圖的關系求得原圖的面積.【詳解】在直觀圖中，，所以原圖是一個直角梯形，且上底為，下底為，高為，所以原圖的面積為故選：D6．已知圓柱的高為，它的兩個底面的圓周在半徑為的同一個球的球面上.則球的體積與圓柱的體積的比值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據圓柱的底面半徑、球的半徑與球心到圓柱底面的距離構成直角三角形求出圓柱的底面半徑為，再有體積公式求出圓柱的體積與球的體積即可.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的體積為，又球的體積為所以球的體積與圓柱的體積的比故選D【點睛】本題主要考查幾何體的體積，需熟記公式，屬于基礎題.7．《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題．《數書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊、、求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理結合三角形的周長可求得的三邊邊長，利用題中公式可求得的面積.【詳解】由題意結合正弦定理可得：，周長為，即，，，.所以，故選：D.8．如圖，是某防汛抗洪大壩的坡面，大壩上有一高為20米的監(jiān)測塔，若某科研小組在壩底點測得，沿著坡面前進40米到達點，測得，則大壩的坡角（）的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，，可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，進而由可得結果.【詳解】因為，，所以.在中，由正弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，所以.又，所以，所以.故選A.【點睛】本題考查正弦定理解三角形，考查誘導公式，考查學生合理進行邊角轉化的能力，屬于中檔題.二、多選題9．用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個幾何體可能是（）A．圓錐 B．圓柱 C．棱錐 D．正方體【答案】ACD【分析】根據物體特征分析截面可能的情況即可得解.【詳解】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形，三棱錐平行于底面的截面是三角形，正方體的截面可能是三角形，如圖形成的截面三角形,故選：ACD10．已知復數的共軛復數為，且，則下列結論正確的是（）A． B．虛部為 C． D．【答案】AD【分析】首先根據題意得到，再依次判斷選項即可.【詳解】，對選項A，，故A正確.對選項B，，虛部為，故B錯誤；對選項C，，故C錯誤；對選項D，，故D正確.故選：AD11．在中，D，E，F分別是邊，，中點，下列說法正確的是（）A．B．C．若，則是在的投影向量D．若點P是線段上的動點，且滿足，則的最大值為【答案】BCD【分析】對選項A，B，利用平面向量的加減法即可判斷A錯誤，B正確.對選項C，首先根據已知得到為的平分線，即，再利用平面向量的投影概念即可判斷C正確.對選項D，首先根據三點共線，設，，再根據已知得到，從而得到，即可判斷選項D正確.【詳解】如圖所示：對選項A，，故A錯誤.對選項B，，故B正確.對選項C，，，分別表示平行于，，的單位向量，由平面向量加法可知：為的平分線表示的向量.因為，所以為的平分線，又因為為的中線，所以，如圖所示：在的投影為，所以是在的投影向量，故選項C正確.對選項D，如圖所示：因為在上，即三點共線，設，.又因為，所以.因為，則，.令，當時，取得最大值為.故選項D正確.故選：BCD【點睛】本題主要考查平面向量的加法，減法的幾何意義，數形結合為解決本題的關鍵，屬于中檔題.12．對于，有如下命題，其中正確的有（）A．若，則是等腰三角形B．若是銳角三角形，則不等式恒成立C．若，則為銳角三角形D．若，則為鈍角三角形【答案】BD【分析】對選項A，根據題意得到或，即可判斷A錯誤；對選項B，根據題意得到，從而得到，即可判斷B正確；對選項C，根據題意得到，從而得到，即可判斷C錯誤；對選項D，根據得到為鈍角，即可判斷D正確.【詳解】對選項A，，所以或，故A錯誤；對選項B，是銳角三角形，所以，所以，故B正確.對選項C，，所以，.又因為，所以為鈍角，為鈍角三角形，故C錯誤；對選項D，，所以，即，又因為，所以為鈍角，為鈍角三角形，故D正確.故選：BD三、填空題13．已知向量，，則在方向上的投影向量的模為________．【答案】【分析】先計算在方向上的投影,再求絕對值即可得答案【詳解】解:因為，,所以，,,所以在方向上的投影為,所以在方向上的投影向量的模為,故答案為:14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則b＝_______.【答案】2或4【分析】由已知利用余弦定理計算可得；【詳解】解：在三角形中，，，由余弦定理，即，解得或故答案為：2或4【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．15．如圖，在四邊形ABCD中，，E為邊BC的中點，若，則_________．【答案】【分析】首先連接，再利用向量加法的幾何意義求解即可.【詳解】連接，如圖所示：所以，則.故答案為：16．如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，是母線上一點，且公里.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路.這條鐵路從出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則下坡段鐵路的長度為______________公里.【答案】18【分析】先展開圓錐的側面，確定觀光鐵路路線，再根據實際意義確定下坡段的鐵路路線，最后解三角形得結果.【詳解】如圖，展開圓錐的側面，過點作的垂線，垂足為，記點為上任意一點，聯結，，由兩點之間線段最短，知觀光鐵路為圖中的，，上坡即到山頂的距離越來越小，下坡即到山頂的距離越來越大，∴下坡段的鐵路，即圖中的，由，得.故答案為：18【點睛】本題考查圓錐側面展開圖、解三角形，考查等價轉化思想方法以及基本分析求解能力，屬基礎題.四、解答題17．已知復平面內的點A，B對應的復數分別為，（），設對應的復數為z.（1）當實數m取何值時，復數z是純虛數；（2）若復數z在復平面上對應的點位于第四象限，求實數m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，z是純虛數，虛部不為0，實部為0，即可求解；（2）根據的值，求出對應點到坐標，根據已知列出不等式，即可求出結論.【詳解】點A，B對應的復數分別為，對應的復數為z，，（1）復數z是純虛數，，解得，；（2）復數z在復平面上對應的點坐標為，位于第四象限，，即，.【點睛】本題考查復數的代數表示法、幾何意義、復數的分類，屬于基礎題.18．已知向量，，．（1）求向量與所成角的余弦值；（2）若，求實數的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先計算，再利用向量夾角公式計算即可；（2）首先計算，再利用平行向量坐標運算公式求解即可.【詳解】（1）因為，，所以．設向量與所成角為，．（2）∵，，又，∴，解得．19．學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．說明過程，不要求嚴格證明，不考慮打印損耗的情況下，（1）計算制作該模型所需原料的質量；（2）計算該模型的表面積（精確到0.1）參考數據：，，【答案】（1）118.8；（2）cm2．【分析】先計算出該模型的體積，體積等于長方體的體積減去四棱錐的體積，再用體積乘以密度即可求出所需原料的質量；（2）由已知數據計算出四棱錐的側面積，則該模型的表面積【詳解】解：（1）因為E，F，G，H，分別為所在矩形各棱的中點，所以四邊形EFGH為菱形．由AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，得又因為O為長方體的中心，所四棱錐O﹣EFGH的高．，．∴該模型體積為：cm3．∵3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，∴制作該模型所需原料的質量為：132×0.9＝118.8g．（2）記面的中心為，連接，，，則，，．由題意，四棱錐O﹣EFGH的四個側面為全等三角形．在等腰中，取的中點，連接，，所以．∴該模型表面積為：cm3cm2．20．在中，若、、分別是內角、、的對邊，已知同時滿足下列個條件中的個：①；②；③；④．（1）請指出這個條件，并說明理由；（2）求．【答案】（1）滿足①，③，④；理由見解析；（2）.【分析】（1）若同時滿足①，②,由已知條件和余弦定理可得，矛盾，所以只能同時滿足③，④，再根據大邊對大角可知滿足①，即得答案.（2）由正弦定理得到，即得，再由結合兩角和的正弦公式可得答案.【詳解】（1）同時滿足條件①，③，④．理由如下：若同時滿足①，②．因為，且，所以，即因為，且，所以所以，矛盾所以只能同時滿足③，④．因為，所以，故不滿足②故滿足①，③，④（2）在中，，，由正弦定理知：，所以又因為，所以，所以.【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理的應用，考查兩角和的正弦公式，考查分析推理能力，屬于中檔題.21．邊長為1的正三角形，、分別是邊、上的點，若，，其中，設的中點為，中點為.（1）若、、三點共線，求證：；（2）若，求的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為.【分析】(1)利用共線向量基本定理得,根據三角形的中線對應的向量等于相鄰兩邊對應的向量的和的一半,將已知條件代入得到要證的結論;(2)利用向量的運算法則:三角形減法法則的逆運算將用三角形的邊對應的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,將表示為的二次函數,求出二次函數的最小值.【詳解】(1)由三點共線,得共線,根據共線向量定理可得,存在使得,即,所以,根據平面向量基本定理可得,所以.(2)因為,又,所以,因為三角形是邊長為1的正三角形,所以,,所以,所以時,取得最小值.【點睛】本題考查了共線向量定理,平面向量基本定理,平面向量的數量積,平面向量三角形的減法法則的逆運算,二次函數求最小值,屬于中檔題.22．在中，內角的，，對邊分別為，，，已知.（1）求角的取值范圍；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由結合