冀教版八年級上第12招判定直角的六種方法01教你一招02典例剖析03分類訓(xùn)練目

錄CONTENTS說明垂直的方法：

1.在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于

兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條；

2.等腰三角形中“三線合一”；

3.直角三角形的判定.在幾何中，我們常常先說明垂直，再利用垂直的性質(zhì)來解相關(guān)問題.返回

某校把一塊三角形的廢地開辟為植物園，如圖，測得

AC

＝80

m，

BC

＝60

m，

AB

＝100

m.(1)若入口

E

在邊

AB

上，且與

A

，

B

的距離相等.求從入口

E

到出口

C

的最短路線的長；(2)若線段

CD

是一條水渠，且點(diǎn)

D

在邊

AB

上，點(diǎn)

D

距點(diǎn)

A

多遠(yuǎn)時，水渠最短？

解實(shí)際生活中的問題，需先將實(shí)際問題通過建立數(shù)

學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.本題中：已知△

ABC

中，

AC

＝80

m，

BC

＝60

m，

AB

＝100

m.(1)若

AE

＝

EB

，求

CE

的長；

(2)若

CD

⊥

AB

，求

AD

的長.解：當(dāng)

CD

⊥

AB

時，

CD

最短.

∵∠

ACB

＝90°，

CD

⊥

AB

，

∴

CD

＝48

m.在Rt△

ACD

中，∵

AC

2＝

AD

2＋

CD

2，

即點(diǎn)

D

距點(diǎn)

A

64

m時，水渠最短.返回

利用三邊的數(shù)量關(guān)系證明直角1.

如圖，已知在△

ABC

中，

D

是線段

BC

的中點(diǎn)，

DE

⊥

BC

，垂足為

D

，

DE

交

AB

于點(diǎn)

E

，且

BE2－

EA2＝

AC2.(1)求證：∠

A

＝90°；123456【證明】連接

CE

，如圖所示.∵

D

是線段

BC

的中點(diǎn)，

DE

⊥

BC

，∴

DE

垂直平分

BC

.

∴

BE

＝

CE

.

∵

BE2－

EA2＝

AC2，∴

CE2－

EA2＝

AC2，即

EA2＋

AC2＝

CE2，∴△

ACE

是直角三角形，且∠

A

＝90°.123456(2)若

DE

＝3，

BD

＝4，求

AE

的長.

123456返回

利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形2.

如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

B

＝90°，

AB

＝3，

BC

＝

4，

CD

＝13，

AD

＝12.求

S四邊形

ABCD

.

123456

123456返回

利用倍長中線法構(gòu)造直角三角形3.

如圖，在△

ABC

中，

D

為邊

BC

的中點(diǎn)，

AB

＝5，

AD

＝

6，

AC

＝13.求證：

AB

⊥

AD

.

123456【證明】如圖，延長

AD

至點(diǎn)

E

，使

ED

＝

AD

，連接

BE

.

∵

D

為

BC

的中點(diǎn)，∴

CD

＝

BD

.

又∵

AD

＝

ED

，∠

ADC

＝∠

EDB

，∴△

ADC

≌△

EDB

(SAS)，∴

BE

＝

AC

＝13.123456在△

ABE

中，

AE

＝2

AD

＝12，

AB

＝5，∴

AE2＋

AB2＝122＋52＝169.又∵

BE2＝132＝169，∴

AE2＋

AB2＝

BE2.∴△

ABE

是直角三角形，且∠

BAE

＝90°，即

AB

⊥

AD

.

123456【點(diǎn)方法】

本題運(yùn)用

倍長中線法

構(gòu)造全等三角形說明線段相

等，再利用直角三角形的判定方法說明三角形為直角三角

形，從而說明兩條線段垂直.【點(diǎn)方法】本題運(yùn)用

倍長中線法

構(gòu)造全等三角形說明線段相

等，再利用直角三角形的判定方法說明三角形為直角三角

形，從而說明兩條線段垂直.123456返回

利用化分散為集中法構(gòu)造直角三角形4.

如圖，點(diǎn)

E

是正方形

ABCD

內(nèi)一點(diǎn)，連接

AE

，

BE

，

CE

，將△

ABE

繞點(diǎn)

B

順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE'.若

BE

＝2，

CE

＝3，∠

AEB

＝135°，求

AE

的長.123456【解】如圖，連接EE'.∵△

ABE

繞點(diǎn)

B

順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE'，∴△

ABE

≌△CBE'，∠EBE'＝90°，∴∠CE'B＝∠

AEB

＝135°，CE'＝

AE

，BE'＝

BE

＝2，∴△EBE'為等腰直角三角形，∴∠BE'E＝45°.

123456∵∠CE'B＝∠

AEB

＝135°，∴∠EE'C＝∠CE'B－∠BE'E＝135°－45°＝90°，∴△EE'C為直角三角形.

又∵

AE

＝CE'，∴

AE

＝1.123456返回

利用“三線合一”法構(gòu)造直角三角形5.

如圖，在△

ABC

中，

CA

＝

CB

，∠

ACB

＝90°，

D

為

AB

的中點(diǎn)，

M

，

N

分別為

AC

，

BC

上的點(diǎn)，且

DM

⊥

DN

.

求證：

AB

2＝2(

CM

＋

CN

)2.123456【證明】如圖，連接

CD

，過點(diǎn)

D

作

DE

⊥

BC

于點(diǎn)

E

.

∵

DM

⊥

DN

，∴∠

MDC

＋∠

CDN

＝90°.∵∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，

D

為

AB

的中點(diǎn)，

∴∠

CDN

＋∠

NDB

＝90°.∴∠

MDC

＝∠

NDB

.

123456

∴△

CMD

≌△

BND

(ASA)，∴

CM

＝

BN

，∴

CM

＋

CN

＝

BN

＋

CN

＝

BC

.

又∵

AB2＝

AC2＋

BC2＝2

BC2，∴

AB2＝2(

CM

＋

CN

)2.123456返回

利用軸對稱的性質(zhì)構(gòu)造直