冀教版八年級(jí)上第十七章特殊三角形17.3勾股定理第3課時(shí)勾股定理的逆定理01名師點(diǎn)金02認(rèn)知基礎(chǔ)練03素養(yǎng)提升練目

錄CONTENTS直角三角形的判定方法1.

用角判斷，即說(shuō)明三角形的一個(gè)內(nèi)角為90°；

2.

用邊判斷，即分別計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方及另外兩邊的平方

和，若最長(zhǎng)邊的平方等于另外兩邊的平方和，則該三角形

是直角三角形，此內(nèi)容即為勾股定理的逆定理.返回知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的逆定理1.

[母題·教材P157練習(xí)T1]下列四組線段中，能組成直角三

角形的是(

D

)A.

a

＝2，

b

＝4，

c

＝6B.

a

＝4，

b

＝6，

c

＝8C.

a

＝4，

b

＝8，

c

＝10D.

a

＝6，

b

＝8，

c

＝10D1234567891011121314返回2.

在△

ABC

中，∠

A

，∠

B

，∠

C

的對(duì)邊分別記為

a

，

b

，

c

，則無(wú)法判斷△

ABC

為直角三角形的是(

D

)A.

b2＝

a2－

c2B.

∠

A

＝∠

B

＋∠

C

C.

a

∶

b

∶

c

＝3∶4∶5D.

a

∶

b

∶

c

＝1∶2∶3D1234567891011121314返回3.

[母題·教材P156例3]在△

ABC

中，∠

A

，∠

B

，∠

C

的對(duì)

邊分別為

a

，

b

，

c

，且(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

c2，則(

A

)A.

∠

A

為直角B.

∠

B

為直角C.

∠

C

為直角D.

△

ABC

不是直角三角形【點(diǎn)撥】因?yàn)?

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

c2，即

a2－

b2＝

c2，所以

b2＋

c2＝

a2，所以△

ABC

為直角三角形，且

a

為直角三角形的

斜邊.所以∠

A

為直角.A1234567891011121314返回4.

[新考法·以數(shù)助形法]如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，

則網(wǎng)格中的△

ABC

是(

A

)A.

直角三角形B.

銳角三角形C.

鈍角三角形D.

無(wú)法確定(第4題)1234567891011121314【點(diǎn)撥】

A【答案】1234567891011121314返回5.

如圖，三個(gè)正方形的面積分別為

S1＝3，

S2＝2，

S3＝1，

則分別以它們的一邊為邊圍成的三角形中，∠1＋∠2

＝

?°.(第5題)90

1234567891011121314返回6.

[新考法·構(gòu)造三角形模擬法2023·濟(jì)寧]如圖，在正方形方

格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)

A

，

B

，

C

，

D

，

E

均在小正方形方格的頂點(diǎn)上，線段

AB

，

CD

交于點(diǎn)

F

，若∠

CFB

＝α，則∠

ABE

等于(

C

)A.180°－αB.180°－2αC.90°＋αD.90°＋2α(第6題)C1234567891011121314【點(diǎn)撥】如圖，過(guò)點(diǎn)

B

作

BG

∥

CD

且

BG

＝

CD

，連接

EG

.

∵

BG

∥

CD

，∴∠

ABG

＝∠

CFB

＝α.易知

BG2＝12＋42＝17，

BE2＝12＋42＝17，

EG2＝32＋52＝34，∴

BG2＋

BE2＝

EG2.∴△

BEG

是直角三角形.∴∠

GBE

＝90°.∴∠

ABE

＝∠

GBE

＋∠

ABG

＝90°＋α.故選C.

【答案】C1234567891011121314返回知識(shí)點(diǎn)2

勾股數(shù)7.

下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是(

C

)A.14，36，39B.8，24，25C.8，15，17D.10，20，261234567891011121314【點(diǎn)撥】82＋152＝289＝172，所以C項(xiàng)正確.另外三組數(shù)不計(jì)

算也可以排除：A項(xiàng)中的14，36，B項(xiàng)中的8，24均為偶

數(shù)，偶數(shù)的平方和仍為偶數(shù)，而39，25均為奇數(shù)，它們的

平方也為奇數(shù)；D項(xiàng)中的10，20的尾數(shù)都為0，兩數(shù)的平

方和的尾數(shù)仍為0，而26的平方的尾數(shù)為6.所以選項(xiàng)A，

B，D中，兩較小數(shù)的平方和不等于最大數(shù)的平方，因此

不是勾股數(shù).在判斷一組較大的數(shù)是不是勾股數(shù)時(shí)可用這

種方法.【答案】C1234567891011121314返回

A.3，4，5B.5，12，13C.6，8，10D.7，24，251234567891011121314∴選項(xiàng)A不符合題意；

∴選項(xiàng)B不符合題意；【點(diǎn)撥】

1234567891011121314

∴選項(xiàng)D不符合題意.故選C.

【答案】C1234567891011121314返回9.

[新考向·傳承數(shù)學(xué)文化]我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作

《數(shù)書(shū)九章》里記載有這樣一道題目：?jiǎn)栍猩程镆粔K，有

三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為

田幾何？譯文：有一塊三角形沙田，三邊長(zhǎng)分別為5里，

12里，13里，問(wèn)這塊沙田面積有多大？題中的“里”是我

國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里＝500米，則該沙田的面積為(

A

)A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米1234567891011121314【點(diǎn)撥】

【答案】A1234567891011121314此題主要通過(guò)閱讀材料感知古代數(shù)學(xué)文化，滲透的核

心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為模型觀念.通過(guò)提取實(shí)際問(wèn)題中三角形

沙田的邊長(zhǎng)，借助勾股定理的逆定理判定沙田的形狀為直

角三角形，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化.【點(diǎn)方法】1234567891011121314返回

A.

等腰三角形B.

直角三角形C.

銳角三角形D.

等腰直角三角形D1234567891011121314返回

利用勾股定理的逆定理判定直角三角形11.

[新考向·操作法2023·廣東]綜合與實(shí)踐主題：制作無(wú)蓋正方體紙盒.素材：一張正方形紙板.步驟1：如圖①，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫(huà)出九個(gè)

相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；1234567891011121314步驟2：如圖②，把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體紙盒.猜想與證明：(1)直接寫(xiě)出紙板上∠

ABC

與紙盒上∠

A1

B1

C1

的大小關(guān)系；【解】∠

ABC

＝∠

A1

B1

C1.1234567891011121314(2)證明(1)中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

1234567891011121314返回

利用勾股數(shù)的特征求整式值12.

已知：整式

A

＝(

n2－1)2＋(2

n

)2，整式

B

＞0.[嘗試]

化簡(jiǎn)整式

A

.【解】

A

＝(

n2－1)2＋(2

n

)2＝

n4－2

n2＋1＋4

n2＝

n4

＋2

n2＋1＝(

n2＋1)2.

∵

A

＝

B2，

B

＞0，∴

B

＝

n2＋1.[發(fā)現(xiàn)]

A

＝

B2，求整式

B

.1234567891011121314[聯(lián)想]

由上可知，

B2＝(

n2－1)2＋(2

n

)2，當(dāng)

n

＞1時(shí)，

n2－1，2

n

，

B

分別為直角三角形的三邊長(zhǎng)，如圖所

示，填寫(xiě)下表中

B

的值.直角三角形三邊長(zhǎng)

n2－12

n

B

勾股數(shù)組Ⅰ—817勾股數(shù)組Ⅱ35—3717371234567891011121314返回

利用勾股定理的逆定理求動(dòng)點(diǎn)圖形的面積13.

如圖，在△

ABC

中，

AB

∶

CB

∶

CA

＝3∶4∶5，且周

長(zhǎng)為72

cm.點(diǎn)

M

以每秒2

cm的速度從

A

向

B

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

N

以每秒3

cm的速度從

B

向

C

運(yùn)動(dòng).如果

M

，

N

兩點(diǎn)同時(shí)

出發(fā)，運(yùn)動(dòng)4

s后，△

BMN

的面積為多少？1234567891011121314【解】設(shè)

AB

＝3

x

cm，

CB

＝4

x

cm，

CA

＝5

x

cm，∴3

x

＋4

x

＋5

x

＝72.∴

x

＝6.∴

AB

＝18

cm，

CB

＝24

cm，

CA

＝30

cm.∴

AB2＋

CB2＝

CA2.∴△

ABC

是直角三角形，且∠

B

＝90°.運(yùn)動(dòng)4

s后，

BM

＝

AB

－

AM

＝10

cm，

BN

＝3×4＝12

cm，

1234567891011121314返回

利用直角三角形的判定求角的度數(shù)14.

[新考法·類比遷移法]

在△

ABC

中，

CA

＝

CB

，∠

ACB

＝α，點(diǎn)

P

為△

ABC

內(nèi)一點(diǎn)，將

CP

繞點(diǎn)

C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α

得到

CD

，連接

AD

.

(1)如圖①，當(dāng)α＝60°，

PA

＝10，

PB

＝6，

PC

＝8時(shí)，求∠

BPC

的度數(shù)；1234567891011121314

1234567891011121314∵∠

ACB

＝α，∠

PCD

＝α，∴∠

ACB

－∠

AC