PAGE§2數(shù)學(xué)證明授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第20頁[自主梳理]一、三段論三段論是最常見的一種演繹推理形式，它包含三個(gè)命題：(1)eq\x(大前提)→eq\x(供應(yīng)了一個(gè))↓(2)eq\x(小前提)→eq\x(探討對(duì)象的特別狀況)↓(3)eq\x(結(jié)論)→eq\x(由、作出的推斷)二、合情推理與演繹推理的區(qū)分推理方式意義主要形式結(jié)論的真假合情推理相識(shí)世界、發(fā)覺問題的基礎(chǔ)________________演繹推理證明命題、建立理論體系的基礎(chǔ)________________[雙基自測(cè)]1．下面說法正確的有________．①演繹推理是由一般到特別的推理；②演繹推理得到的結(jié)論肯定是正確的；③演繹推理一般模式是“三段論”形式；④演繹推理得到的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān)．2．有一段“三段論”，推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，假如f′(x0)＝0，那么x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．因?yàn)閒(x)＝x3在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值f′(0)＝0，所以x＝0是函數(shù)f(x)＝x3的極值點(diǎn)．以上推理中()A．小前提錯(cuò)誤 B．大前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤 D．結(jié)論正確3．函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線，用三段論表示為：大前提：________________________________________________________________________；小前提：________________________________________________________________________；結(jié)論：________________________________________________________________________.[自主梳理]一、一般性原理大前提小前提二、歸納推理、類比推理不確定三段論真[雙基自測(cè)]1．①③④①正確．②錯(cuò)誤．演繹推理中大前提，小前提和推理形式，只要有一者錯(cuò)誤，則結(jié)論必定錯(cuò)誤．③正確，④正確．2．B可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0且x0兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值相反，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，故選B.3．一次函數(shù)的圖像是一條直線函數(shù)y＝2x＋5是一次函數(shù)函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第20頁探究一三段論的結(jié)論與格式[例1]將下列演繹推理寫成三段論的形式：(1)一切偶數(shù)都能被2整除，0是偶數(shù)，所以0能被2整除；(2)三角形的內(nèi)角和是180°，等邊三角形是三角形，故等邊三角形的內(nèi)角和是180°；(3)循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，0.332是循環(huán)小數(shù)，所以0.332是有理數(shù)．[解析](1)一切偶數(shù)都能被2整除，(大前提)0是偶數(shù)，(小前提)0能被2整除．(結(jié)論)(2)三角形的內(nèi)角和是180°，(大前提)等邊三角形是三角形，(小前提)等邊三角形的內(nèi)角和是180°.(結(jié)論)(3)循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，(大前提)0．332是循環(huán)小數(shù)，(小前提)0．332是有理數(shù)．(結(jié)論)三段論推理的留意點(diǎn)：用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提供應(yīng)了一個(gè)一般性的原理，小前提指出了一種特別狀況，兩個(gè)命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特別狀況的內(nèi)在聯(lián)系．有時(shí)可省略小前提，有時(shí)甚至也可大前提與小前提都省略，在找尋大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．1．將下面的演繹推理寫成三段論的形式：(1)全部橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)，曲線C：eq\f(x2,a)＋y2＝1是橢圓，所以曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1)；(2)等比數(shù)列的公比都不為零，數(shù)列{2n}(n∈N＋)是等比數(shù)列，所以數(shù)列{2n}的公比不為零．解析：(1)全部橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)，(大前提)曲線C：eq\f(x2,a)＋y2＝1是橢圓，(小前提)所以曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1)．(結(jié)論)(2)等比數(shù)列的公比都不為零，(大前提)數(shù)列{2n}(n∈N＋)是等比數(shù)列，(小前提)所以數(shù)列{2n}的公比不為零．(結(jié)論)探究二用三段論證明幾何問題[例2]如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF，寫出三段論形式的演繹推理．[解析]因?yàn)橥唤窍嗟龋瑑蓷l直線平行，大前提∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.結(jié)論因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形．結(jié)論因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，小前提所以ED＝AF.結(jié)論1．三段論推理的依據(jù)，從集合的觀點(diǎn)來講，就是：若集合M的全部元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中全部元素都具有性質(zhì)P.2．在幾何證明題中，每一步事實(shí)上都暗含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特別狀況，從而得到結(jié)論．2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O、O1分別為ABCD與A1B1C1D1的中心．求證：AO1∥平面BDC證明：如圖．①因?yàn)橐唤M對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，(大前提)AO綊O1C1，(小前提∴AOC1O1為平行四邊形．(結(jié)論)②∵平行四邊形對(duì)邊平行，(大前提)AOC1O1為平行四邊形，(小前提)∴AO1∥OC1.(結(jié)論)③由線面平行的判定定理，(大前提)AO1?平面BDC1，OC1?平面BDC1，AO1∥OC1，(小前提)∴AO1∥平面BDC1.(結(jié)論)探究三用三段論證明代數(shù)問題[例3]已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a\o\al(2,n)＋an,2)，bn＝(1＋eq\f(1,2an))an(n∈N＋)．(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且f′(x)存在，則當(dāng)x1>x2(x1，x2∈D)時(shí)，總有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<f′(x1)．請(qǐng)依據(jù)上述定理，且已知函數(shù)y＝xn＋1(n∈N＋)是(0，＋∞)上的凹函數(shù)，求證：bn<bn＋1.[證明](1)∵Sn＝eq\f(a\o\al(2,n)＋an,2)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f(a\o\al(2,1)＋a1,2).∵a1>0，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(a\o\al(2,n)＋an,2)－eq\f(a\o\al(2,n－1)＋an－1,2).∴(an＋an－1)·(an－an－1－1)＝0.∵an>0，∴an＝an－1＋1.∴{an}為等差數(shù)列，an＝n.(2)由(1)知bn＝(1＋eq\f(1,2n))n.由函數(shù)y＝xn＋1，得y′＝(n＋1)xn.∵y＝xn＋1在(0，＋∞)上是凹函數(shù)，∴當(dāng)x1>x2>0時(shí)，有eq\f(x\o\al(n＋1,1)－x\o\al(n＋1,2),x1－x2)<(n＋1)xeq\o\al(n,1)，即xeq\o\al(n,1)[(n＋1)x2－nx1]<xeq\o\al(n＋1,2).令x1＝1＋eq\f(1,2n)，x2＝1＋eq\f(1,2n＋1)，得(n＋1)x2－nx1＝1.∴xeq\o\al(n,1)<xeq\o\al(n＋1,2)，即(1＋eq\f(1,2n))n<[1＋eq\f(1,2n＋1)]n＋1.∴bn<bn＋1.解答題中的推理基本都是演繹推理，在運(yùn)用三段論進(jìn)行推理時(shí)常省略大前提，尤其是當(dāng)大前提比較明顯時(shí)，否則步驟就顯得冗長(zhǎng)繁雜，在做題時(shí)留意領(lǐng)悟．3．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列．lga1，lga2，lga4成等差數(shù)列，又bn＝eq\f(1,a2n)(n＝1,2,3，…)．證明：{bn}為等比數(shù)列．解析：∵lga1，lga2，lga4成等差數(shù)列，∴2lga2＝lga1＋lga4，即aeq\o\al(2,2)＝a1a4.設(shè){an}的公差為d，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，從而d(d－a1)＝0.①若d＝0，{an}為常數(shù)列，相應(yīng){bn}也是常數(shù)列，此時(shí){bn}是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為1的等比數(shù)列．②若d＝a1≠0，則a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝eq\f(1,a2n)＝eq\f(1,2nd).這時(shí){bn}是首項(xiàng)b1＝eq\f(1,2d)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．綜上可知，{bn}為等比數(shù)列．演繹推理證明中常見錯(cuò)誤[典例](1)已知an＝n2＋λn，若數(shù)列{an}是遞增的數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的范圍．(2)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，求證a2＋b2＝c2.[解析](1)因?yàn)閿?shù)列{n2＋λn}是遞增的數(shù)列，所以an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0對(duì)n∈N＋恒成立，因此λ＋1>－2n，即λ＋1>－2，所以λ>－3.即實(shí)數(shù)λ的范圍是(－3，＋∞)．(2)證明：在直角△ABC中，過C作CH⊥AB于H(圖略)，則利用相像三角形，由CA2＝AH·AB，CB2＝BH·AB，相加即得CB2＋CA2＝AB2，即a2＋b2＝c2.[錯(cuò)因與防范](1)將“數(shù)列{n