第24章解直角三角形

24.3銳角三角函數

第1課時銳角三角函數學習目標1.理解銳角三角函數的定義；（重點）2.掌握三角函數之間的關系并會計算.（難點）回顧與思考1.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，AB

=

10，BC

=

6，AC

=

______.2.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠A

=

30°，AB

=

10

cm，則

BC

=

cm，理由是

.8530°所對直角邊是斜邊的一半銳角三角函數定義及三角函數之間的關系任意畫Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關系。能解釋一下嗎？ABCA'B'C'

在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

這就是說，在直角三角形中，當銳角

A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比是一個固定值．ABCA'B'C'歸納如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作

sinA

，

即ABCcab對邊斜邊在圖中，∠A的對邊記作

a，∠B的對邊記作

b，∠C的對邊記作

c例如，當∠A＝30°時，我們有當∠A＝45°時，我們有ABCcab任意畫Rt△ABC

和

Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么

與

有什么關系？你能試著分析一下嗎？ABCA'B'C'

這就是說，在直角三角形中，當銳角

A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的鄰邊與斜邊的比也是一個固定值．

在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'ABCA'B'C'歸納

∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即ABCcab對邊斜邊在圖中，∠A的對邊記作

a，∠B的對邊記作

b，∠C的對邊記作

c如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，正弦余弦注意：1.sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數形結合，構造直角三角形).2.sinA、cosA是一個比值（數值）.3.sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關，而與直角三角形的邊長無關.

當直角三角形的一個銳角的大小確定時，其對邊與鄰邊比值也是唯一確定的嗎？如圖，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，問：有什么關系？ACBCA′C′B′C′與ABCA'B'C'∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′在直角三角形中，當銳角∠A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與鄰邊的比是一個固定值.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tan），記作

tanA

，

即ABCcab對邊斜邊在圖中，∠A的對邊記作

a，∠B的對邊記作

b，∠C的對邊記作

c一個角的正切表示定值、比值、正值.比值都是銳角∠A的函數，分別記作sinA，cosA，tanA，即分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切，統(tǒng)稱為銳角∠A的三角函數。顯然，銳角三角函數值都是正實數，并且0<sinA<1,0<cosA<1.根據三角函數的定義，我們還可以得出sin2A+cos2A=1典例精析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8。

試求出∠A的三個三角函數值。

拓展延伸ABC思考：銳角∠A的正切值可以等于1嗎？為什么？

可以大于1嗎？對于銳角∠A的每一個確定的值，tanA都有唯一的確定的值與它對應.答：可以等于

1，此時為等腰直角三角形；

也可以大于

1.當堂練習1.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，圖中sinB可由哪兩條線段的比求得。DCBA解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因為∠B=∠ACD，所以求一個角的正弦值，除了用定義直接求外，還可以轉化為求和它相等角的正弦值。2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，

求sinA、cosA、tanA的值．解：∵

，又∵ABC6103.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，

求sinA、tanA的值．解：∵

，ABC∴設

AC=15k，則

AB=17k.∴.4.填空：下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為

D.ABCD(1)tanA==AC()CD(

)(2)

tanB==BC()CD()

BCADBDAC5.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，

求：sinA、cosB的值．ABC8解：課堂小結在Rt△ABC中定義中應該注意的幾個問題：1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A