規(guī)范答題強(qiáng)化練(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

(45分鐘48分)

1.(12分)已知函數(shù)f(x)=a'+x?-xlna-b(a,b￡R,a>l),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=e,b=4時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(2)若b=l,求f(x)在［-1,1］上的最大值.

【解析】(l)f(x)=e'+x2-x-4,所以*(x)=e'+2x-1,所以*(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),ex>l,所以*(x)>0,故f(x)

是(0,+8)上的增函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),ex<l,所以fr(x)<0,故f(x)是(-8,0)上的減函數(shù)，(3分)

f(l)=e-4<0,f(2)=e-2>0,所以存在xP(1,2)是f(x)在(0,+8)上的唯一零點(diǎn)；f(-2)=+2>0,f(-1)=-2<0,所

以存在x2e(―2,T)是f(x)在(-8,0)上的唯一零點(diǎn),所以f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(6分)

(2)fz(x)=axlna+2x-lna

=2x+(ax-l)Ina,(7分)

當(dāng)x>0時(shí)，由a>l,

可知ax-l>0,Ina>0,所以f'(x)>0,(8分)

當(dāng)x<0時(shí)，由a>l,可知ax-l<0,Ina>0,

所以f'(x)<0,當(dāng)x=0時(shí),f'(x)=0,

所以f(x)是上的減函數(shù),(9分)

［0,1］上的增函數(shù),所以當(dāng)xe［-1,1］時(shí)，

f(x)min=f(0),f(X)皿為f(-1)和f(l)中的較大者.而f(l)-f(-l)=a—21na,(10分)

設(shè)g(x)=x--21nx(x>l),

因?yàn)間，(x)=l+-=20(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立)，所以86)在(0,

+8)上單調(diào)遞增,而g(l)=0,所以當(dāng)x>l時(shí),g(x)>0,即a>l時(shí),a--21na>0,所以f(l)>f(-1).所以f(x)在

［T,1］上的最大值為f(l)=a-lna.(12分)

2.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=-kinx,k>0.

⑴求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

⑵證明:若f(x)存在零點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(1,］上僅有一個(gè)零點(diǎn).

【解析】(1)由f(X)=-kinx(k>0)得伊(x)二X-二.(2分)

由f，&)=0解得*三

f(x)與*(x)在區(qū)間(0,+8)上的情況如下:

X(0,)(,+8)

尹(x)-0+

f(x)

(4分)

所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,),單調(diào)遞增區(qū)間是(,+8);f⑸在x=處取得極小值f()=.(6分)

⑵由⑴知,f(x)在區(qū)間(0,+8)上的最小值為f()=.因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn),所以W0,(8分)

從而kNe.

當(dāng)k=e時(shí)，

f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減,且f()=0,

所以x=是f(x)在區(qū)間(1,]上的唯一零點(diǎn).(10分)

當(dāng)k>e時(shí),f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減,

且f(l)=>0,f()=<0,

所以f(x)在區(qū)間(1,]上僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知,若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1,]上僅有一個(gè)零點(diǎn).(12分)

3.(12分)f(x)=x+,g(x)=x+lnx,其中a〉0.

(1)若x=l是函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若對(duì)任意的X”x2e[1,e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有f3)2g3)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)由已知h(x)=2x++lnx,xG,所以h'(x)=2-+.(2分)

因?yàn)閤=l是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)，所以h'⑴=0,即3-aW),因?yàn)閍〉0,所以a=.(4分)

(2)對(duì)任意的Xbx2e[l,e]都有f(xi)2g(X2)成立,等價(jià)于對(duì)任意的Xe[l,e]都有[f(x)%“N[g(x)]*.(6

分)

當(dāng)xG[1,e]時(shí),g'(x)=l+>0,所以g(x)=x+lnx在上是增函數(shù)，所以[g(x)]則

=g(e)=e+l,

(x+a)(x-a)

因?yàn)閒'(x)=l-二X，且xG[1,e],a>0,

(%+a)(%-a)

①當(dāng)O〈a<l且xd［1,e］時(shí),f'(x)=X〉0,所以函數(shù)f(x)=x+在［1,e］上是增函數(shù)，所以

［f(X)］min=f(l)=l+a2,

由1+『七e+1,得a2,又0<a<l,所以a不合題意.

(%+a)(%-a)

Z2

②當(dāng)1WaWe時(shí)，若1Wx〈a,則f，(x)=%〈0,若a〈xWe,則f'(x)=

(%+a)(%-a)

X>0,所以函數(shù)f(x)=x+在［1,a)上是減函數(shù)，在(a,e］上是增函數(shù)，(7分)

所以［f(x)］min—f(a)—2a,由2a2e+l,得a2,又IWaWe,所以WaWe.(8分)

(x+a)(%-a)

③當(dāng)a〉e且xG［1,e］時(shí),f'(x)=%〈0,所以函數(shù)f(x)=x+在［1,e］上是減函數(shù)，(10

分)

所以［f(x)］En=f(e)=e+,由e+》e+l,得a2，又a>e,所以a>e.

綜上所述,a的取值范圍為.(12分)

4.(12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+,其中常數(shù)k>0.(1)討論f(x)在(0,2)上的單調(diào)性.

⑵當(dāng)ke［4,+8)時(shí)，若曲線y=f(x)上總存在相異兩點(diǎn)M(xi,yi),N區(qū),yz),使曲線y=f(x)在M,N兩點(diǎn)處的切

線互相平行，試求X1+x2的取值范圍.

【解析】(1)由已知得,f(x)的定義域?yàn)椋?/p>

x2-(土+(卜+4(%—k)卜—?

22

且f'(x)=—1=-X--X(k>0).(2分)

①當(dāng)0〈k<2時(shí),〉k>0,且>2,所以xe(0,k)時(shí),f'(x)〈0;xG(k,2)時(shí)，/(x)>0.(3分)

所以，函數(shù)f(x)在(0,k)上是減函數(shù),在(k,2)上是增函數(shù)；(4分)

②當(dāng)k=2時(shí),=k=2,/(x)<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立，所以f(x)在(0,2)上是減函數(shù)；(5分)

③當(dāng)k>2時(shí),0〈<2,k>,所以xe時(shí)，/(x)<0;xd時(shí),f'(x)>0,

所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).(6分)

7

(2)由題意，可得f'(xi)=f(x2),xix2>0且X1WX2,BP一一1=一一1,

化簡(jiǎn)得,4(xi+x2)=xix2,(8分)

由X1X2<,

(4巧+x2

lk+-