2023-2024學年湖北省孝感市高一（上）期中數(shù)學試卷一、單選題（本題共8小題，共40.0分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.命題p：，的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題易求.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：命題p：，的否定為，.故選：B2.已知集合，且，則（）A. B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關系可得出關于的等式，結合集合元素滿足互異性可求得實數(shù)的值.【詳解】因為集合，且，所以，或，解得或，當時，，集合中的元素不滿足互異性；當時，，符合題意．綜上，．故選：D．3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)定義域的求法，列不等式求解可得.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，根據(jù)解析式有意義可知，即，綜上，.所以函數(shù)的定義域為.故選：A．4.設函數(shù)，．用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質，結合圖象即可求解.【詳解】解：令，解得或，則，當或時，，當時，函數(shù)沒有最小值，綜上：函數(shù)的最小值為1，故選：B．5.已知函數(shù)滿足，且，則（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】分別取代入，聯(lián)立可解得，然后可求.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以有，，又，所以，解得，則.故選：A．6.已知偶函數(shù)在區(qū)間上對任意，都有，則滿足的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得出函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間則上遞減，且圖像關于軸對稱，從而得到，即可得出結果.【詳解】因為偶函數(shù)在區(qū)間上對任意的，都有，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間則上遞減，由，得到，即，解得，故選：D．7.“不等式在R上恒成立”的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式恒成立的充要條件，然后逐項判斷即可.【詳解】解：∵“不等式在R上恒成立”，顯然不滿足題意，∴，解得，對于A，是充要條件，故A錯誤；對于B，因為推不出，故B錯誤；對于C，因為，反之不能推出，故C正確；對于D，因為推不出，故D錯誤．故選：C．8.已知不等式對滿足的所有正實數(shù)a，b都成立，則正數(shù)x的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意有，將變形為，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得.【詳解】由題知，因為a，b為正實數(shù)，所以由得，即，所以，當且僅當，且，即，時，等號成立，所以，即，所以，整理得，解得，所以正數(shù)x的最大值為2．故選：D．二、多選題（本題共4小題，共20.0分．在每小題有多項符合題目要求）9.已知不等式解集為或，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.的解集為【答案】ACD【解析】【分析】利用一元二次不等式解的性質得到關于的表達式，且，從而分析各選項即可得解.【詳解】由題意知，和3是方程的兩根，且，所以，，則，，因為，所以，，，故AC正確，B錯誤；不等式為，即，解得，所以的解集為，故D正確．故選：ACD．10.中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經》下卷有題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二，問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項中符合題意的整數(shù)x為（）．A.23 B.44 C.68 D.128【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件對各選項逐一分析計算即可判斷作答.詳解】對于A，由，得；由，得；由，得，因此，A正確；對于B，由，得，B錯誤；對于C，由，則，C錯誤；對于D，由，得；由，得；由，得，因此，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值可以是（）A.1 B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質及分段函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】由題意，二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以，解得．所以實數(shù)a的取值可以是，.故選：BC.12.設表示不超過x的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，以下關于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A.是奇函數(shù)B.，，若，則C.，D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】由“取整函數(shù)”的定義逐個選項分析即可.【詳解】A．取和0.5，函數(shù)值分別為和0，故A不正確；B．設，則，，，，則，因此，故B正確；C．設（，），當時，，，此時，當時，，，此時，綜合可得，C正確；D．不等式，可得：，或，∴，或，因此不等式的解集為，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本題共4小題，共20.0分）13.冪函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)m的值為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的結構特征求出m，再根據(jù)單調性即可得答案.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當時，在區(qū)間上單調遞增，不滿足題意，當時，在上單調遞減，滿足題意.故．故答案為：14.設函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則函數(shù)在時的解析式為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質求解即可.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，若，則，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，即.故答案為：15.寫出同時滿足以下條件的一個函數(shù)___________．①定義域為R，值域為；②，，且時，；③，．【答案】(答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根據(jù)已知條件分析函數(shù)的性質，選用滿足題意的基本函數(shù)即可.【詳解】由題意可知，函數(shù)的圖像關于直線對稱，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，最小值，則符合題意.故答案為：16.已知函數(shù)，若關于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】分類討論不等式的解集，結合函數(shù)的圖像，求滿足條件的實數(shù)a的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，有，，由，得，當時，，不等式無解；當時，由得，此時不可能只有一個整數(shù)解．當時，由得，若不等式恰有一個整數(shù)解，則整數(shù)解為，又，，再結合圖像知，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)的定義域為A，集合，．（1）求；（2）若是的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】17.；18.．【解析】【分析】（1）根據(jù)解析式有意義求集合A，解一元二次不等式得集合B，然后根據(jù)集合運算可得；（2）根據(jù)集合包含關系列不等式組求解即可.【小問1詳解】由得：，即，∴，解得：，即，∴．【小問2詳解】由題意知，由（1）知：，顯然所以有，解得：；所以實數(shù)a的取值范圍為．18.（1）已知二次函數(shù)滿足，且.求的解析式；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設，利用建立恒等式求解即可；（2）令，（），從而把求值域問題轉化為求的值域問題，利用二次函數(shù)性質求解值域即可.【詳解】（1）設二次函數(shù)（），因為，所以.由，得，得，所以，得，故.（2）函數(shù)，令，（），那么，則函數(shù)轉化為，整理得：（），根據(jù)二次函數(shù)的性質可知：的開口向上，對稱軸，故當時，函數(shù)取得最小值為，無最大值，即，所以函數(shù)的值域為.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）判斷函數(shù)的單調性并用定義加以證明；（2）求使成立的實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質可得出，可得出的值，再由可得出的值，可得出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義驗證函數(shù)為奇函數(shù)，判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，然后利用函數(shù)單調性的定義可證得結論成立；（2）由奇函數(shù)的性質可將所求不等式變形為，再利用函數(shù)的定義域與單調性可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，即．又，即，解得，此時，，對任意的，，所以，是定義在上的奇函數(shù)．函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，證明如下：、，且，則．∵，∴，，，∴，即，∴在上是增函數(shù)．【小問2詳解】解：由（1）知，在上是增函數(shù)，∵是定義在上的奇函數(shù)，由，得，所以，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．20.以人工智能、航空航天、生物技術、光電芯片、信息技術、新材料、新能源、智能制造等為代表的高精尖科技，屬于由科技創(chuàng)新構成的物理世界，是需要長期研發(fā)投入，具有極高技術門檻和技術壁壘，最近十年，某高科技企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產權的高級設備，并從2023年起全面發(fā)售．經測算，生產該高級設備每年需固定投入固定成本500萬元，每生產百臺高級設備需要另投成本萬元，且，每百臺高級設備售價為80萬元，且高級設備年產量最大為10000臺．（1）求企業(yè)獲得年利潤（萬元）關于年產量（百臺）的函數(shù)關系式；（2）當年產量為多少時，企業(yè)所獲年利潤最大？并求最大年利潤．【答案】（1）（2）當年產量為30百臺時，最大利潤為400萬元【解析】分析】（1）分和兩種情況討論，即可求解函數(shù)關系式；（2）根據(jù)基本不等式和二次函數(shù)的性質求解最大值即可．【小問1詳解】當時，；當時，，所以企業(yè)獲得年利潤（萬元）關于年產量（百臺）的函數(shù)關系式為：．【小問2詳解】當時，，當時，取得最大值為400；當時，，當且僅當時取等號，故當時，取最大值為325；綜上所述：當年產量為30百臺時，最大利潤為400萬元．21.對于定義域為D的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在內是單調函數(shù)；②當定義域是時，的值域也是；則稱是該函數(shù)的“完美區(qū)間”．（1）判斷函數(shù)，是否存在“完美區(qū)間”，若存在，則求出它的一個完美區(qū)間，若不存在，請說明理由；（2）已知函數(shù)（，）有“完美區(qū)間”，當a變化時，求出的最大值．【答案】（1）存在“完美區(qū)間”，它的一個完美區(qū)間是.（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)“完美區(qū)間”的定義，分類討論函數(shù)單調性，由值域列方程求的值.（2）由“完美區(qū)間”的定義和函數(shù)單調性，列方程求解，得是方程的兩根，利用韋達定理求的最大值．【小問1詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為R，若存在“完美區(qū)間”，則在內是單調函數(shù)，，分2種情況討論：①若，在是增函數(shù)，必有，顯然不存在符合題意的m、n；②若，在是減函數(shù)，必有，則，且．故符合條件的一組，（答案不唯一，符合題意即可），所以函數(shù)存在“完美區(qū)間”，它的一個完美區(qū)間是.【小問2詳解】根據(jù)題意，，其定義域為，必有或，則在上遞增，必有，則m、n是方程的兩個根，變形可得，則該方程有兩個同號不相等的根，且兩根為m、n，則，必有，解可得或，則，又由或，則時，取得最大值2，則最大值為．22.“函數(shù)的圖像關于點對稱”的充要條件是“對于函數(shù)定義域內的任意x，都有”．若函數(shù)的圖像關于點對稱，且當時，．（1）求的值；（2）設函數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)的圖像關于點對稱；（ⅱ）若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）．【解析】【分析】（1）由函數(shù)的圖像關于點對稱，可得；（2）（ⅰ）證明即可；（ⅱ）由在的值域為，設在上的值域為A，問題轉化為，先求解，分類討論軸與區(qū)間的關系，研究二次函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】因為函數(shù)的圖像關于點對稱，則，令，可得．【小問2詳解】（ⅰ）證明：由，得，所以函數(shù)的圖像關于對稱．（ⅱ），則在上單調遞增，所以的值域為