北師版八年級上第一章勾股定理專題二利用勾股定理解決最短路徑問題一、依據(jù)“兩點之間線段最短”求最小距離【高分秘籍】遇到不在同一直線上的兩條變化的線段，且欲

求它們的和的最小值時，常需要將其轉(zhuǎn)化到同一直線上，利

用“兩點之間線段最短”來確定線段，并構(gòu)建直角三角形，

運用勾股定理來解答.123456781.

如圖，一探險者在某海島探寶，登陸后，從

A

點出發(fā)，先往東走了8千米，又往北走了2千米，又向西走了3千米，再又向北走了6千米，往東一拐，僅走了1千米就在

B

點處找到了寶藏，試問：他走的是最近的路嗎？如果是，請求出這個路線長；如果不是，請在圖上畫出最近的路線，并

求出最近的路線長.【解】他走的不是最近的路.最近的路線如圖所示.過點

B

作

BC

⊥

AD

，易知

AC

＝6千米，

BC

＝8千米.由勾股定理得：

AB2＝62＋82＝100，所以

AB

＝10千米.所以最近的路線長為10千米.123456782.

[新考法對稱找點法]如圖，直線

l

是一條河，

A

，

B

兩地

到

l

的距離

AC

和

BD

分別為5

km，7

km，且

CD

＝5

km，

欲在

l

上的某點

M

處修建一個水泵站，向

A

，

B

兩地供

水，求鋪設最短的管道長.12345678【解】如圖，作點

A

關(guān)于直線

l

的對稱點

E

，連接

BE

，

交

l

于點

M

，連接

AM

，

MA

＋

MB

的值即為所求最短管

道長.12345678因為

MA

＝

ME

，所以

MA

＋

MB

＝

ME

＋

MB

＝

BE

，則

線段

BE

的長度即為所求，過

E

作

EF

∥

CD

，交

BD

的延

長線于

F

，由題易知，

EF

＝

CD

＝5

km，

BF

＝

BD

＋

DF

＝

BD

＋

AC

＝7＋5＝12(km)，所以

BE2＝

EF2＋

BF2

＝52＋122＝169，所以

BE

＝13

km.故鋪設最短的管道長

是13

km.12345678二、依據(jù)“垂線段最短”來求最小距離【高分秘籍】遇到“點到直線的最短距離”問題時，常要利

用“垂線段最短”來確定最短的路徑，并構(gòu)建直角三角形，

運用勾股定理來解答.123456783.

如圖，小明在某泳池沿泳道

l

練習游泳，點

A

處有一個攀

梯.游了一段時間后，小明到達

B

處.已知

BD

＝14米，

AD

＝13米，

AB

＝15米，求攀梯

A

到泳道

l

的最近距離.12345678【解】過點

A

作

BD

的垂線，垂足為

C

，則

AC

的長是攀

梯

A

到泳道

l

的最近距離.設

BC

＝

x

米，則

CD

＝(14－

x

)

米，根據(jù)題意，可得

AB2－

BC2＝

AD2－

CD2，所以152－

x2＝132－(14－

x

)2，解得

x

＝9.所以

AC2＝

AB2－

BC2＝152－92＝144.所以

AC

＝12米.答：攀梯

A

到泳道

l

的最近距離為12米.123456784.

[情境題·生活應用2024西安第三中學期末]如圖，某小區(qū)有

兩個噴泉

A

，

B

，兩個噴泉的距離為125

m.現(xiàn)要為噴泉鋪

設供水管道

AM

，

BM

，供水點

M

在小路

AC

上，供水點

M

到

AB

的距離

MN

的長為60

m，

BM

的長為75

m.(1)求供水點

M

到噴泉

A

，

B

需要鋪設的管道總長；12345678【解】在Rt△

MNB

中，

BN2＝

BM2－

MN2＝752－602＝2

025，所以

BN

＝45

m.所以

AN

＝

AB

－

BN

＝125－45＝80(m).在Rt△

AMN

中，

AM2＝

AN2＋

MN2＝802＋602＝10

000，所以

AM

＝100

m.所以供水點

M

到噴

泉

A

，

B

需要鋪設的管道總長為100＋75＝175(m).12345678(2)求噴泉

B

到小路

AC

的最短距離.【解】因為

AB

＝125

m，

AM

＝100

m，

BM＝75

m，所以

AB2＝

BM2＋

AM2，所以△

ABM

是直角三角形，所以

BM

⊥

AC

，所以噴泉

B

到小路

AC

的最短距離是

BM

＝75

m.12345678三、將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形求最短距離【高分秘籍】在立體圖形上找最短距離，通常要把立體圖形

轉(zhuǎn)化為平面圖形，在平面圖形中構(gòu)建直角三角形，運用勾股

定理來解答.123456785.

[2024龍巖月考]如圖，有一圓柱形油罐，要從

A

點環(huán)繞油

罐側(cè)面搭梯子，正好到

A

點正上方的

B

點.梯子最短需要

多少米？(已知油罐底面的周長是12

m，高

AB

是5

m)12345678【解】油罐的側(cè)面展開圖如圖所示.因為AA'＝12

m，A'B'＝

AB

＝5

m，所以AB'2＝AA'2＋A'B'2＝122＋52＝169.所以AB'＝13

m.答：梯子最短需要13

m.123456786.

如圖，圓柱形容器的高為120

cm，底面周長為100

cm，在

容器內(nèi)壁離容器底部40

cm的點

B

處有一蚊子，此時一只

壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40

cm與蚊子相對的點

A

處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離.12345678【解】如圖，將容器側(cè)面的一半展開，作

A

關(guān)于

EC

的對

稱點A'，連接A'B交

EC

于

F

，連接

AF

，易知

AF

＝A'F，所以

AF

＋

FB

＝A'F＋

FB

＝A'B，易知A'B的長即為最短距離.過點A'作A'D⊥

BC

交

BC

延長線于

D

，由題易得，A'D＝50

cm，

BD

＝120

cm，在Rt△A'DB中，A'B2＝A'D2＋

BD2＝502＋1202＝16

900，

所以A'B＝130

cm.故壁虎捕捉蚊子的最短距離為130

cm.123456787.

[母題教材P15習題T4

2024廣州月考]一只螞蟻沿圖①中立

方體的表面從頂點

A

爬到頂點

B

，圖②是圖①立方體的表

面展開圖，設立方體的棱長為1.(1)在圖②中標出點

B

的位置.【解】如圖所示.(答案不唯一)12345678(2)若螞蟻從點

A

到點

B

爬行的最短路徑長為

m

，求

m2.【解】如圖，連接

AB

，因為立方體的棱長為1，所以

AC

＝2，

BC

＝1，所以

m2＝

AB2＝12＋22＝5.123456788.

[新考法展開法]

如圖，在一個長為2米，寬為1米的長方

形草地上，放著一根長方體木塊，它較長的棱和草地寬

AD

平行且長度大于

AD

長，木塊從正面看是邊長為0.2米

的正方形，求螞蟻從點

A

處開始，到達

C

處時走的最短路