國家開放大學《幾何基礎》綜合測評1-2參考答案綜合測評11.兩個點列間射影對應由（三）對應點唯一確定。2.設（AC，BD）=2，則（AB，CD）=（-1）。3.共線四點的調和比為（-1）.4.若兩個一維基本圖形成射影對應，則對應四元素的交比（）．A.不等B.1C.相等D.－15.A，B，C，D為共線四點，且（CD，BA）=k，則（BD，AC）=（）.A.1/kB.kC.1-(1/k)D.(1-k)/k6.已知兩個一維圖形（）對不同的對應元素，確定唯一一個射影對應.A.3B.1C.2D.47.兩個一維基本形成射影對應，則對應四元素的交比（）.A.-1B.1C.相等D.不等8.以為方向的無窮遠點的齊次坐標為（）．A.(1,0,0)B.(1,-2,0)C.(1,1/2,0)D.(1,2,0)9.已知A、B和的齊次坐標分別為（5,1,1）和（-1,0,1），求直線上AB一點C，使（ABC）=-1，若C=A+λB，求出λ。解：由x=x1x3，y=x設C(x,y)利用（ABC）=AC/BC，則x?5x+1=1y?1y?0=?1則C點齊次坐標為（2,1/2,1）因為C=1所以λ=110.已知直線3x+4y+1=0與2x+y=0，求過兩直線的交點與點(2,1,0)的直線方程。解：兩直線3x+4y+1=0與2x+y=0的齊次坐標形式分別為3x1+4x2+x3=0與2x1+x2=0，則交點為（-1,2,-5）于是過點（-1,2,-5）與（2,1,0）的直線方程為5x1-10x2-5x3=0化簡得x1-2x2-x3=011.設三點的坐標分別為(1,1,1)，(1,-1,1)，(1,0,1)，且(AB，CD)=2，求點C的坐標。解：因為A=(1,2,3),B=(-1,2,1),則由1于是λ2設C=A+λ1B，已知（AB,CD）=λ1/于是得λ1所以C=A+2B=（3,-1,3）12.求證P1(3,1)，P2(7,5)，P3(6,4)，P4(9,7)成調和共軛。證明：（P1P2,P3P4）=(x3?所以，P1(3,1)，P2(7,5)，P3(6,4)，P4(9,7)成調和共軛13.設XYZ是完全四點形ABCD的對邊三點形，XZ分別交AC，BC于L，M不用笛沙格定理，證明YZ，BL，CM共點。證明：如圖，在完全四點形ABCD中，邊AC上的四個點A、C、Y、L是一組調和點，即（AC，YL）=-1又在完全四點形YBZL中，設LB與YZ交于N，MN交YL于C’，邊YL上的四點Y、L、C’、A是一組調和點，即（YL，AC’）=-1由于（YL，AC’）=（AC，YL）=-1故C=C’所以YZ、BL、CM共點。14.若三角形的三邊AB、BC、CA分別通過共線的三點P，Q，R，二頂點與C各在定直線上移動，求證頂點A也在一條直線上移動。證明：如圖所示，取Q為透視中心，則（B,B1,B2,…）Λ（C,C1,C2,…）于是P（B,B1,B2,…）ΛR（C,C1,C2,…）在這兩個攝影線束中，PR是自對應元素，所以P（B,B1,B2,…）ΛR（C,C1,C2,…）兩個透視對應的線束對應直線的交點A,A1,A2共線，即頂點A也在一條直線上移動。綜合測評21.給定無三點共線的（5）點，可決定唯一一條二階曲線。2.二階曲線x2－2xy+y2－y+2=0是（拋物線）。3.兩個不共心的成射影對應的線束，對應直線的交點的全體是（一條二階曲線）。4.若點P在二次曲線上，那么它的極線是的（切線）。5.由配極原則可知，無窮遠點的極線一定通過（中心）。6.極線上的點與極點（）。A.可能不共軛B.不可判定C.不共軛D.共軛7.無窮遠點關于二次曲線的極線成為二次曲線的（）。A.直徑B.切線C.半徑D.漸近線8.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，這個命題與歐幾里得第五公設（）。A.無關B.以上都不正確C.矛盾D.等價9.兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等，這個命題在歐式幾何內不與（）等價。A.過直線外一點能做而且只能做一條直線與已知直線平行B.過直線外一點又無窮多條直線與已知直線平行C.三角形內角和等于兩直角D.直徑對應的圓周角是直角10.三角形內角和等于180度與（）。A.歐氏平行公設等價B.與橢圓幾何平行公設等價C.不可判定D.羅氏平行公設等價11.求通過點A(0,2,-1)，B(2,3,-2)，C(1,-1,0)，D(1,4,-2)的二階曲線方程。解：設二階曲線方程為a將已知五點的坐標帶入上式得解方程組得a12=a11；a22=a11所求二階曲線的方程為即2x12.求點關于（1，-1,0）二階曲線3x12解：將點（1，-1,0）的坐標及aij（a11y1+a12y2+a13即：（3-7/2+0）x1+（7/2-5+0）x2+（2-5/2+0）整理即得所求極限方程x1+3x2+求二階曲線x2+2xy+2解：A=(于是A31=?3；A32因此，中心坐標為（-3,1,1），或寫成非齊次坐標（-3,1）。14.求直線3x1-x2+6x3=0關于x12+x22-2x解：利用σ因為D=|A|=1?11?11?31?30，所以a11=-9；a22=-1；a33=0；a12=a21于是σy1σy即，所求極點的坐標為（-12,4,4）15.求二階曲線x2+2xy+2解：注意二次曲線是以非齊次坐標形式給出的，其中a11=1，a22=2，a13=2，a16.求二次曲線6x12-x22-24x3解：617.求二次曲線2x2+xy?318.請敘述歐幾里得的