第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2命題與證明第3課時(shí)三角形內(nèi)角和定理及推論1，2目

錄CONTENTS01核心必知021星題基礎(chǔ)練032星題中檔練043星題提升練1.

定理：三角形的內(nèi)角和等于

?.2.

推論1：直角三角形的兩銳角

?.3.

推論2：有兩個(gè)角

的三角形是直角三角形.180°

互余互余

三角形內(nèi)角和定理的證明1.

【創(chuàng)新題·新題型】[2024·大同月考]閱讀材料：為了證明

“三角形的內(nèi)角和是180°”，林老師給出了如圖所示四

種作輔助線的方法，請回答下列問題：2345678910111(1)圖①②在證明三角形內(nèi)角和定理的過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)

思想是(

A)A.

轉(zhuǎn)化思想B.

整體思想C.

方程思想D.

數(shù)形結(jié)合思想A2345678910111(2)請選用③或④證明三角形的內(nèi)角和為180°.解：(答案不唯一)選用④證明三角形的內(nèi)角和為180°.

證明：∵

CD

∥

AB

，∴∠

B

＋∠

BCD

＝180°，∠

A

＝∠

ACD

.

又∵∠

BCD

＝∠

ACB

＋∠

ACD

，∴∠

ACB

＋∠

A

＋∠

B

＝180°，即三角形的內(nèi)角和為180°.2345678910111

推論1：直角三角形的兩銳角互余2.

【知識(shí)初練】在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，則∠

A

＋∠

B

的大小為(

C)A.30°B.60°C.90°D.180°C23456789101113.

[2024·蚌埠月考]如圖，已知

AC

⊥

BC

于點(diǎn)

C

，

CD

⊥

AB

于點(diǎn)

D

，∠

A

＝56°，則∠

DCB

的度數(shù)是

?.56°

23456789101114.

[2023·聊城月考]如圖，

AB

∥

CD

，

AC

⊥

BC

，圖中與∠

CAB

互余的角有

?.∠

ABC

，∠

BCD

2345678910111

推論2：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形5.

【知識(shí)初練】在△

ABC

中，若∠

A

＋∠

B

＝90°，則△

ABC

一定是(

B)A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

鈍角三角形D.

等腰三角形B2345678910111【變式題】一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2∶3，

則這個(gè)三角形一定是(

B)A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

鈍角三角形D.

等腰直角三角形B23456789101116.

[2024·蚌埠月考]如圖，點(diǎn)

E

是△

ABC

的邊

AC

上的一點(diǎn)，

過點(diǎn)

E

作

ED

⊥

AB

，垂足為

D

.

若∠1＝∠

B

，則△

ABC

是直角三角形嗎？為什么？2345678910111解：△

ABC

是直角三角形.理由如下：∵

ED

⊥

AB

，

∴∠

ADE

＝90°，∴∠1＋∠

A

＝90°.又∵∠1＝∠

B

，∴∠

B

＋∠

A

＝90°，∴∠

C

＝90°，∴△

ABC

是直角三角形.23456789101117.

下列條件中，能判定△

ABC

為直角三角形的是(

D)A.

∠

A

＝2∠

B

＝3∠

C

B.

∠

A

＋∠

B

＝2∠

C

C.

∠

A

＝∠

B

＝30°D23456789101118.

【創(chuàng)新題·新考法】如圖，在△

ABC

中，∠

EFD

＝30°，

且∠

AEF

＝∠

AFE

，∠

CFD

＝∠

CDF

，則∠

ABC

的度

數(shù)為(

C)A.90°B.110°C.120°D.150°C2345678910111

23456789101119.

如圖，在△

ABC

中，

AE

平分∠

BAC

，∠

B

＝26°，∠

C

＝64°.(1)求∠

CAE

的度數(shù)；

2345678910111(2)若

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，∠

ADF

＝71°，求證：△

ADF

是直角三角形.9.

如圖，在△

ABC

中，

AE

平分∠

BAC

，∠

B

＝26°，∠

C

＝64°.2345678910111(2)證明：∵

AD

⊥

BC

，∠

C

＝64°，∴∠

DAC

＝90°－∠

C

＝26°，∵∠

CAE

＝45°，∴∠

DAF

＝∠

CAE

－∠

DAC

＝19°，∵∠

ADF

＝71°，∴∠

ADF

＋∠

DAF

＝90°，∴△

ADF

是直角三角形.234567891011110.

【創(chuàng)新題·新題型】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角的度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為

“靈異三角形”.如圖①，∠

MON

＝72°，在射線

OM

上找一點(diǎn)

A

，過點(diǎn)

A

作

AB

⊥

OM

，交

ON

于點(diǎn)

B

，以

A

為端點(diǎn)作射線

AD

，交線段

OB

于點(diǎn)

C

(點(diǎn)

C

不與點(diǎn)

O

，

B

重合).(1)∠

ABO

＝

°，△

AOB

(填“是”或“不是”)“靈異三角形”；18

是234567891011110.

【創(chuàng)新題·新題型】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角的度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為

“靈異三角形”.如圖①，∠

MON

＝72°，在射線

OM

上找一點(diǎn)

A

，過點(diǎn)

A

作

AB

⊥

OM

，交

ON

于點(diǎn)

B

，以

A

為端點(diǎn)作射線

AD

，交線段

OB

于點(diǎn)

C

(點(diǎn)

C

不與點(diǎn)

O

，

B

重合).(2)若∠

ACB

＝90°，求證：△

AOC

是“靈異三角形”；2345678910111(2)證明：∵∠

MON

＝72°，∠

ACB

＝∠

ACO

＝90°，∴∠

OAC

＝90°－72°＝18°，∴∠

AOB

＝72°＝

4×18°＝4∠

OAC

，∴△

AOC

是“靈異三角形”.234567891011110.

【創(chuàng)新題·新題型】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“靈異三角形”.如圖①，∠MON＝72°，在射線OM

上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM，交ON于點(diǎn)B，以A

為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C(點(diǎn)C不與點(diǎn)O，B

重合).(3)如圖②，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠

ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠

EFC＋∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△

BCD是“靈異三角形”，求∠B的度數(shù).2345678910111(3)解：∵∠

EFC

＋∠

BDC

＝180°，∠

ADC

＋∠

BDC

＝180°，∴∠

EFC

＝∠

ADC

，∴

AD

∥

EF

，∴∠

DEF

＝∠

ADE

.

∵∠

DEF

＝∠

B

，∴∠

B

＝∠

ADE

，∴

DE

∥

BC

，∴∠

CDE

＝∠

BCD

.

∵

DE

平分∠

ADC

，∴∠

ADE

＝∠

CDE

，∴∠

B

＝∠

BCD

.

又∵△

BCD

是“靈異三角形”，∴∠

BDC

＝4∠

B

或∠

B

＝4∠

BDC

.

∵∠

BDC

＋∠

BCD

＋∠

B

＝180°，∴易得∠

B

＝30°或∠

B

＝80°.2345678