專題28動點(diǎn)綜合問題（32題）

1.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在45C中，AB=1O,BC=6,AC=8,點(diǎn)尸為線段AB上的動

點(diǎn),以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動,到達(dá)點(diǎn)B時停止.過點(diǎn)P作PMJ.AC于點(diǎn)M、作PN1BC

于點(diǎn)M連接MN,線段MN的長度y與點(diǎn)P的運(yùn)動時間/（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)

E的坐標(biāo)為（）

【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CDL43于Q,連接CP,先利用勾股定理的逆定理證明一ABC是直角三角形，

即NC=90。，進(jìn)而利用等面積法求出8=224,則可利用勾股定理求出AD=￡32；再證明四邊形CMPN是矩

2432

形，得到MN=CP,故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時，CP最小，即MN最小，此時MN最小值為《，AP=y,

（、

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為［彳32，歹24）

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CDL43于D,連接CP,

?.?在ABC中，AB=IO,BC=6,AC=8,

AC2+BC2=62+82=100=102=AB2，

..ABC是直角三角形，upZC=90°,

：.SABC=^ACBC=^ABCD,

.ACBC24

..CD=-----=—,

AB5

.?.AD=>IAC2-CD2=—；

5

VPMVAC.PNLBC,ZC=9O°,

???四邊形CM/W是矩形,

:.MN=CP,

.,.當(dāng)MN最小時，即CP最小，

2432

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，CP最小，即MN最小，此時MN最小值為y,AP=AD=—,

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為，弓）

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性質(zhì)與判斷，垂線段最短，坐標(biāo)與圖形等

等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在RtAABC中，動點(diǎn)尸從A點(diǎn)運(yùn)動到8點(diǎn)再到C點(diǎn)后停止，

速度為2單位/s,其中BP長與運(yùn)動時間/（單位：s）的關(guān)系如圖2,則AC的長為（）

【分析】根據(jù)圖象可知￡=0時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，得到鉆=15,進(jìn)而求出點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)8所需的時

間，進(jìn)而得到點(diǎn)戶從點(diǎn)5運(yùn)動到點(diǎn)C的時間，求出8c的長，再利用勾股定理求出AC即可.

【詳解】解：由圖象可知：7=0時，點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合，

A3=15,

點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)8所需的時間為15+2=7.5s；

，點(diǎn)戶從點(diǎn)5運(yùn)動到點(diǎn)C的時間為11.5-7.5=4s,

BC=2x4=8；

在RtZVUSC中：AC=y/AB2+BC2=17；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)的函數(shù)圖象，勾股定理.從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，求出A8,8C的長，是解題

的關(guān)鍵.

3.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABC。中，ZA=60°,AB=4,動點(diǎn)〃，N同時從A點(diǎn)

出發(fā)，點(diǎn)〃以每秒2個單位長度沿折線A-3-C向終點(diǎn)C運(yùn)動；點(diǎn)N以每秒1個單位長度沿線段4。向終點(diǎn)

。運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動至終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為x秒，AMN的面積為V個平方

單位，則下列正確表示丁與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【答案】A

【分析】連接BO,過點(diǎn)8作8ELAD于點(diǎn)E,根據(jù)已知條件得出△相￡>是等邊三角形，進(jìn)而證明

一AWNsABE得出NAMW=NA￡3=90。，當(dāng)0<，<4時，M在AB上，當(dāng)44/<8時，M在BC上，根據(jù)三

角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，

【詳解】解：如圖所示，連接過點(diǎn)8作8EJ_AZ）于點(diǎn)E，

當(dāng)0</<4時，M在A8上，

菱形ABC。中，NA=60。，AB=4,

?AB=AD,則AABD是等邊二角形，

.AE=ED=^AD=2,BE=-j3AE=2-j3

,AM=2x,AN=x,

AMAB

~AN~~AE=2,又ZA=ZA

._AMN^ABE

.ZANM=ZAEB=90°

?MN=yjAM2-AN2=V3x?

1A62

?y=—xxV3x=——x

22

當(dāng)44，v8時，M在3c上,

/.y=-ANxBE=-xx2>/3^-j3x,

22

綜上所述，0</<4時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)43<8時，函數(shù)圖象是直線的一部分，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾

股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,動點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)A,B

同時出發(fā)，沿射線A8,射線8c的方向勻速運(yùn)動，且速度的大小相等，連接ZW,MN,ND.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)

動的路程為x（OVkV4）,QMN的面積為S,下列圖像中能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

N

BC

SASA

86—B

6-\

D.

O4~xO]4^

【答案】A

【分析】先根據(jù)S=S正方WB8-5V“OW-SVDCN-SV0,MM，求出s與X之間函數(shù)關(guān)系式，再判斷即可得出結(jié)論.

（詳解】解：S=S正方形4BCO—SvADM—SvOCN—S\!BMN，

=4x4-gx4x-gx4（4-x）-gx（4-x）,

=—x2-2x+8,

2

=5（x-2）~+6,

故S與x之間函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，圖像開口向上，x=2時，函數(shù)有最小值6,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是求出S與x之間函數(shù)關(guān)系式，再

判斷S與x之間函數(shù)類型.

5.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖1,點(diǎn)P從等邊三角形48c的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一

點(diǎn)，再從該點(diǎn)沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為x,^=y＞圖2是點(diǎn)尸運(yùn)動時y隨x變化的關(guān)

系圖象，則等邊三角形A8C的邊長為（）

依）

圖1圖2

A.6B.3C.4小D.2邪

【答案】A

【分析】如圖，令點(diǎn)尸從頂點(diǎn)AHI發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)。，再從點(diǎn)。沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)8.結(jié)

合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在4。上運(yùn)動時，PB=PC,A0=2石，易知N&4O=NC4O=30。，當(dāng)點(diǎn)尸在OBE

運(yùn)動時，可知點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時的路程為4道，可知AO=O8=2石，過點(diǎn)。作解直角三角形可得

AD=AO-cos3(r=3,進(jìn)而可求得等邊三角形ABC的邊長.

【詳解】解：如圖，令點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)。，再從點(diǎn)。沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)8.

結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)尸在A0上運(yùn)動時，-=1,

:.PB=PC,A0=26

乂ABC為等邊三角形，

ZBAC=60°,AB=AC,

：.AAPB^zMPC(SSS),

ZBAO=ZCAO,

：.NBAO=NC4O=30。，

當(dāng)點(diǎn)P在。B匕運(yùn)動時，可知點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時的路程為4有,

OB=2-J3,即AO=O8=26，

，NBAO=ZABO=30°,

過點(diǎn)。作

AAD=BD,則AO=4O-cos300=3,

AB=AO+BD=6,

即：等邊三角形ABC的邊長為6,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用圖象和圖形給出的條件.

6.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線y=—x—2與x軸、y軸分別交

于A、8兩點(diǎn)，C、。是半徑為1的。上兩動點(diǎn)，B.CD=&，P為弦C￡＞的中點(diǎn).當(dāng)C、。兩點(diǎn)在圓上運(yùn)

動時，.以8面積的最大值是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出。4=03=2,確定AB=2&，再由題意得出當(dāng)尸。的延長線恰

好垂直A8時，垂足為點(diǎn)E,此時PE即為三角形的最大高，連接。O,利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：:?直線y=-x-2與x軸、y軸分別交于4B兩點(diǎn)，

.?.當(dāng)x=0時，尸一2,當(dāng)y=0時，x=—2,

A（-2,0）,B（0,-2）,

OA=OB=2,

AB=y/o^+OB2=25/2，

?.二BAB的底邊AB=20為定值，

，使得底邊上的高最大時，面積最大，

點(diǎn)P為C。的中點(diǎn)，當(dāng)P。的延長線恰好垂直A8時，垂足為點(diǎn)E,此時PE即為三角形的最大高，連接。。,

,:CD=R，。的半徑為1,

/.OP=yJOD2-DP2=

"?OEA.AB,

OE=LAB=6,

2

/.PE=OE+OP=^—,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應(yīng)用，理解題意，確定出高的最

大值是解題關(guān)鍵.

7.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖是一種軌道示意圖，其中HOC和ABC均為半圓，點(diǎn)M,A,C,N依次

在同一直線上，且A"=CN.現(xiàn)有兩個機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從M,N兩點(diǎn)同時出發(fā)，沿著軌道以大小相

同的速度勻速移動，其路線分別為MfAfOfCfN和f若移動時間為x,兩個

機(jī)器人之間距離為y,則y與x關(guān)系的圖象大致是（）

【答案】D

【分析】設(shè)圓的半徑為凡根據(jù)機(jī)器人移動時最開始的距離為AA/+CN+2R,之后同時到達(dá)點(diǎn)A,C,兩個

機(jī)器人之間的距離y越來越小，當(dāng)兩個機(jī)器人分別沿C和C-8-4移動時，此時兩個機(jī)器人之

間的距離是直徑2R,當(dāng)機(jī)器人分別沿CfN和AfM移動時,此時兩個機(jī)器人之間的距離越來越大.

【詳解】解：由題意可得：機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從M,N兩點(diǎn)同時出發(fā)，

設(shè)圓的半徑為七

，兩個機(jī)器人最初的距離是AM+CN+2R,

???兩個人機(jī)器人速度相同，

二分別同時到達(dá)點(diǎn)A,C,

兩個機(jī)器人之間的距離y越來越小，故排除A,C；

當(dāng)兩個機(jī)器人分別沿AfDfC和移動時，此時兩個機(jī)器人之間的距離是直徑2R，保持不變，

當(dāng)機(jī)器人分別沿CfN和4fM移動時，此時兩個機(jī)器人之間的距離越來越大，故排除C,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)函數(shù)圖像，找到運(yùn)動時的特殊點(diǎn)用排除法是關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,

以。A,OC為邊作矩形Q4BC.動點(diǎn)分別從點(diǎn)。,8同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿。4,BC向終

點(diǎn)AC移動.當(dāng)移動時間為4秒時，ACEF的值為（）

A.710B.9>/10C.15D.30

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，得出E（4,0）,F（5,3）,勾股定理求得EF=加，心?=3加，即可求