人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE17.4.2超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解超幾何分布.2.了解二項(xiàng)分布同超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系．知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)超幾何分布1．定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2．均值：E(X)＝.題型探究探究一超幾何分布的辨析例1.盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．(1)若用隨機(jī)變量X表示任選4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為()A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5(2)若用隨機(jī)變量Y表示任選3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則Y的可能取值為________.(3)若用隨機(jī)變量Z表示任選5個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，則P(Z＝2)＝________.反思感悟判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象．(2)是否為不放回抽樣．(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1.從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．()探究二超幾何分布的概率例2.袋中有8個(gè)球，其中5個(gè)黑球，3個(gè)紅球，從袋中任取3個(gè)球，求取出的紅球數(shù)X的分布列，并求至少有一個(gè)紅球的概率．反思感悟求超幾何分布的分布列的步驟跟蹤訓(xùn)練2.從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試．試求出選3名同學(xué)中，至少有一名女同學(xué)的概率．探究三超幾何分布與二項(xiàng)分布間的關(guān)系例3．某人有5把鑰匙，其中只有一把能打開辦公室的門，一次他醉酒后拿鑰匙去開門．由于看不清是哪把鑰匙，他只好逐一去試．若不能開門，則把鑰匙扔到一邊，記打開門時(shí)試開門的次數(shù)為ξ，試求ξ的分布列，并求他至多試開3次的概率．反思感悟二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系在n次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布．區(qū)別①當(dāng)這n次試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如有放回摸球)，X服從二項(xiàng)分布；②當(dāng)n次試驗(yàn)不是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗(yàn)中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗(yàn)次數(shù)n很小，此時(shí)超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布.跟蹤訓(xùn)練3.生產(chǎn)方提供50箱的一批產(chǎn)品，其中有2箱不合格產(chǎn)品，采購(gòu)方接收該批產(chǎn)品的原則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品，問該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)超幾何分布的概念及特征．(2)超幾何分布的均值．(3)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系．2．方法歸納：類比．3．常見誤區(qū)：超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣．當(dāng)堂檢測(cè)1．盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則取出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率是()A.eq\f(37,42) B.eq\f(17,42)C.eq\f(10,21) D.eq\f(17,21)2．某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用X表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則P(X＝3)＝()A.eq\f(4,21) B.eq\f(9,21)C.eq\f(6,21) D.eq\f(5,21)3．把X，Y兩種遺傳基因冷凍保存，若X有30個(gè)單位，Y有20個(gè)單位，且保存過程中有2個(gè)單位的基因失效，則X，Y兩種基因各失效1個(gè)單位的概率是()．A．eq\f(24,49) B．eq\f(1,25) C．eq\f(1,30) D．eq\f(1,600)4．從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任選2臺(tái)，其中兩種型號(hào)都齊全的概率是__________．5．50張彩票中只有2張中獎(jiǎng)票，今從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0.5，n至少為多少？▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識(shí)點(diǎn)超幾何分布1．eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))2．eq\f(nM,N)題型探究例1.〖解析〗(1)根據(jù)超幾何分布的定義知，N＝9，M＝4，n＝4.(2)由于只選取了3個(gè)球，因此隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2,3.(3)由古典概型概率計(jì)算公式知，P(Z＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(3,7),C\o\al(5,9))＝eq\f(5,18).〖答案〗(1)A(2)0,1,2,3(3)eq\f(5,18)跟蹤訓(xùn)練1.√例2.解：ξ的所有可能取值為1,2,3,4,5，且P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,5))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1))＝eq\f(1,5).因此ξ的分布列為ξ12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).跟蹤訓(xùn)練2.解：以50箱為一批產(chǎn)品，從中隨機(jī)抽取5箱，用X表示“5箱中的不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，則X服從參數(shù)N＝50，M＝2，n＝5的超幾何分布，這批產(chǎn)品被接收的條件是任取的5箱中沒有不合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率為：P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(5,48),C\o\al(5,50))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(4,48),C\o\al(5,50))＝eq\f(243,245)≈99.2%.所以該批產(chǎn)品被接收的概率是99.2%.例3.解：X＝0,1,2,3，X＝0表示取出的3個(gè)球全是黑球，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(10,56)＝eq\f(5,28)，同理P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).∴X的分布列為X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)至少有一個(gè)紅球的概率為P(X≥1)＝1－eq\f(5,28)＝eq\f(23,28).跟蹤訓(xùn)練3.解：設(shè)選出的女同學(xué)人數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2,3，且X服從參數(shù)為N＝10，M＝4，n＝3的超幾何分布，于是選出的3名同學(xué)中，至少有一名女同學(xué)的概率為：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6)或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6).當(dāng)堂檢測(cè)1．〖解析〗根據(jù)題意知，該問題為古典概型，∴P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).〖答案〗C2．〖解析〗P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(5,21).〖答案〗D3．〖答案〗A〖解析〗由題意知服從超幾何分布，則X，Y兩種基因各失效1個(gè)單位的概率為eq\f(C\o\al(1,30)C\o\al(1,20),C\o\al(2,50))＝eq\f(24,49).4．〖答案〗eq\f(3,5)〖解析〗由題意知服從超幾何分布，其中兩種型號(hào)都齊全的概率為eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq