郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)8540分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）9A{(xx6)，B∣x2，則AB（）1.設(shè)集合(6,)((6)D.A.B.C.1iizz，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為（）2.設(shè)復(fù)數(shù)zi(A.C.B.D.(0)a(x,x2，b(x,4)，則是ab的（）3.設(shè)xR，向量A必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知sin3，cossin，則)（）21218114A.B.C.D.exexf(x)5.函數(shù)1x的圖象大致為（）x2A.B.C.D.第1頁/共4頁22axa,x0xf(x)a在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）6.已知函數(shù)1ln(xx0xe(,0][[0])A.C.B.D.BE2EB,CF2FD1ABCDABCD7.已知正方體中，點、滿足EF，則平面AEF截正方體111111ABCDABCD形成的截面圖形為（）1111A.六邊形C.四邊形B.五邊形D.三角形8.已知()fxmemxx(m，若f(x)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（）0)11eA.B.2e1e1,,C.D.e23618分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題中正確的是（）12X~BE(2X4A.已知隨機變量B.已知隨機變量，則1X~Nf(x0)f(x2)，4C.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8ms21ns22D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成的總體樣本的mmnns22方差為mn10.已知曲線C:x2cosy2sin1，(0,π)，則下列說法正確的是（）A.若cosB.若cos0，則曲線表示兩條直線C0，則曲線CC.若，則曲線C是雙曲線0第2頁/共4頁D.若cossin，則曲線的離心率為2C11.在正三棱臺中，AB6，2，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（）A.正三棱臺的高為4352B.正三棱臺的體積為3C.AD與平面所成角的正切值為1D.正三棱臺外接球的表面積為160π3三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）的前項和，若SannS3S724，則1931112.已知為等差數(shù)列______.n13.從數(shù)字1，2，3，4中隨機取一個數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為ii2,3,4)1，…，中隨i3機取一個數(shù)字，則第二次取到數(shù)字為的概率是______.y24x，從拋物線內(nèi)一點(2,2)發(fā)出平行于x軸的光線經(jīng)過扡物線上點B反射后交拋14.已知拋物線物線于點C，則VABC的面積為______.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）3acb15.若銳角VABC中，A、B、C所對的邊分別為、b、，且acVABC的面積為222（1）求B；c（2）求的取值范圍.a16.如圖，在四面體ABCD中，ACBC2，AD，CAD30，M是3，AD的中點，P是的中點，點Q在線段AC上，且.第3頁/共4頁（1）證明：//平面BCD；（2）求二面角AM的余弦值.217.已知橢圓E的離心率為，橢圓E上一點P到左焦點的距離的最小值為21.2（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與橢圓E交于M、N兩點，且，求.面積的取值范圍1f(x)2alnxx2(a2)xa，其中為常數(shù).18.已知函數(shù)（1）當(dāng)a0（2）若函數(shù)2f(x)的單調(diào)性；時，試討論f(x)xx2有兩個不相等的零點，，1a（i）求的取值范圍；xx4（ii）證明：19.已知數(shù)列12是正整數(shù),nk}A:a,a,,annN*n12nakak12An3都有或，則稱為H數(shù)列A（1）列出所有H數(shù)列的情形；5a5k(k,405)的H數(shù)列A（2）寫出一個滿足（3）在H數(shù)列A的通項公式；5k2025ba(k,是公差為d等差數(shù)列，求證：b，若數(shù)列的k中，記2025k5kd5或d5.第4頁/共4頁郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)8540分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）9A{(xx6)，B∣x2，則AB（）1.設(shè)集合(6,)((6)D.A.B.C.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合解不等式求出取值范圍，再根據(jù)交集求公共部分求得結(jié)果.【詳解】集合A{(xx6)，則Ax|1x6，Bx|3x，則，B∣x2集合ABx|1x3，∴故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)1iizz，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為（z）i(A.C.B.D.(0)【答案】A【解析】z【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘法及除法運算求出，再求出其共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo).【詳解】依題意，z1ii)i，1ii)2所以zi(故選：A.a(x,x2，b(x,4)，則是ab的（3.設(shè)xR，向量）A.必要不充分條件C.充要條件B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B第1頁/共19頁【解析】【分析】利用是否推出關(guān)系來判斷充要關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)x2時，向量a(x,(，b(x,4)(2,4)，ab((4)22140此時有，所以ab，故是充分條件；當(dāng)ab時，ab(x,(x,4)x240，解得x，故不是必要條件；2所以x2是ab的充分不必要條件，故選：B.4.已知sin3，cossin），則)（2121114A.B.C.D.8【答案】C【解析】3【分析】sin與sin0分別平方相加，得到答案.2394【詳解】sin兩邊平方得sin22sin2①，2又cossin，故cossin0，兩邊平方得2cossinsin0②，229422sinsin式子①+②得，，9141，故)故2sin2.48故選：Cexexf(x)5.函數(shù)1x的圖象大致為（）x2第2頁/共19頁A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，并判斷在)上函數(shù)值符號，即可得確定圖象.【詳解】由解析式，知f(x)的定義域為(,0)(0,)，exe(x)exexeexxf(x)f(x)，(x)1x1x1xxx222所以f(x)為奇函數(shù)，1e0，0x1，當(dāng)x0時，exxx21x則，x0所以，在)上f(x)0，結(jié)合各項函數(shù)圖象，知：C選項滿足要求.故選：C22axa,x0xf(x)a6.已知函數(shù)1在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）ln(xx0xe(,0][[0])A.C.B.D.【答案】D【解析】第3頁/共19頁【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，需滿足每一段函數(shù)均單調(diào)遞減，且分段處左端點函數(shù)值大于等于右端點函數(shù)值，從而得到不等式，求出答案.1ln(x在x【詳解】顯然y上單調(diào)遞減，ex22axa,x0xf(x)要想1ln(xx0在R上單調(diào)遞減，exxa01，解得a1.則00aln10e故選：DBE2EB,CF2FD1ABCDABCD中，點E、F7.已知正方體滿足，則平面AEF截正方體111111ABCDABCD形成的截面圖形為（1）111A.六邊形C.四邊形【答案】B【解析】B.五邊形D.三角形【分析】由題意，點E是線段BB上靠近B的三等分點，點F是線段CD上靠近D的三等分點，作出11111截面圖形可得結(jié)論.【詳解】如圖，BE2EB,CF2FD因為點E、F滿足，111點E是線段BB上靠近B的三等分點，點F是線段CD上靠近D的三等分點，11111延長AE,AB與交于點G，連接交BC于H，1111延長,11交于點K，連接AK交DD于，連接I,，1第4頁/共19頁則五邊形為所求截面圖形.故選：B．8.已知()fxmemxx(m0)，若f(x)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（）11eA.B.2e1e1,,C.D.e2【答案】A【解析】exxxmxx00兩解，分離變量求導(dǎo)即可f(x)有【詳解】解：由題意可知，若f(x)有兩個零點，則f(x)emxx0有兩個解，等價于exx0x0有兩個解，令gtttgmxgx有兩個解，，原式等價于xx0ex有兩個大于零的解.即xx解mxx，可得m1x，令hxx0，xxxe時，hx0，當(dāng)時，hx00xehx則，當(dāng)，x21所以?(?)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且he，?(?)圖像如圖：0,ee1ex所以當(dāng)0故選：Am時，m有兩個交點，即f(x)有兩個零點.x【點睛】方法點睛：當(dāng)兩個函數(shù)可以構(gòu)造成相同的形式時，常用同構(gòu)的思想，構(gòu)造函數(shù)，將兩個函數(shù)看成自變量不同時的同一函數(shù)，若函數(shù)有交點，轉(zhuǎn)化為自變量有交點求解.3618分.在每小題給出的選項中，有多項符合題第5頁/共19頁目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題中正確的是（）1X~BE(2X4A.已知隨機變量B.已知隨機變量，則21X~Nf(x0)f(x2)，4C.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8m件樣品，其方差為s21ns，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成的總體樣本的22D.樣本甲中有mmnns22方差為mn【答案】ABC【解析】【分析】利用二項分布的期望公式及期望性質(zhì)可判斷A，利用正態(tài)曲線的對稱性可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)的求法可判斷C，利用兩組數(shù)據(jù)方差的特征可判斷D.1X~B132EX，所以3，【詳解】對于A，因為22E(2X2EX14，故A正確；所以1X~N對于B，因為隨機變量f(x0)f(x2)，故B正確；，所以4對于C，因為780%5.6，所以數(shù)據(jù)7,8,10的第808百分位數(shù)是，故正確；C對于D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為x,y，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，mmnn22，s21xs22y則甲乙組成的總體樣本的方差為mn故D不正確.故選：ABC.10.已知曲線C:x2cosy2sin1，(0,π)，則下列說法正確的是（）A.若cos0，則曲線C表示兩條直線B.若cos0，則曲線C是橢圓，則曲線C是雙曲線C.若0D.若cossin，則曲線C的離心率為2第6頁/共19頁【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)cossin的取值范圍，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進而進行判斷即可sin1，(0,π)，.【詳解】由題意，曲線C:x2cosy2若cos0，則sin1，此時曲線C:y1，表示兩條直線，故A正確；若cos0，又(0,π)，則sin0，x2y21曲線C:x2cosy2sin1，可化為11，cossin當(dāng)cossin時，則曲線C表示圓，當(dāng)cossin時，則曲線C表示橢圓，故，則sin0，則曲線CB錯誤；若cos0，又(0,π)表示雙曲線，故C正確；若cossin，又(0,π)，，22所以cos,sin22y2x21，則曲線C為22則曲線C為等軸雙曲線，離心率為2，故D正確.故選：ACD.11.在正三棱臺中，AB6，2，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（）A.正三棱臺的高為43523B.正三棱臺的體積為C.AD與平面所成角的正切值為1160πD.正三棱臺外接球的表面積為3【答案】BCD【解析】【分析】將正棱臺補全為一個正棱錐P，結(jié)合正棱臺、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征求臺體的高、體積及側(cè)棱第7頁/共19頁與底面夾角正切值，由確定棱臺外接球球心位置，建立等量關(guān)系求半徑，進而求外接球表面積.【詳解】將正棱臺補全為一個正棱錐P，如下圖示，1,2分別為上下底面的中心，G,H為,其中的中點，易知PHBC,AHBC，則為等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角，221313所以tan2，而2AH63，則223，32PODE112332343AB3，即PO，故OO23，A錯；根據(jù)棱臺上下底面相似，知PO1122331313由S223，S6293，2222143523所以VABC(33393)，B對；332223tanPAH1233由圖知：為AD與平面所成角，則6，C對；2若O為正三棱臺外接球的球心，則其半徑，即1D2O22A2O22，2433Ox，則(x(23)(x))2222，可得x23，令3440340160π所以O(shè)A212，故外接球表面積為4π，D對.333故選：BCD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）的前項和，若SanS3S724，則1931112.已知為等差數(shù)列______.nn【答案】第8頁/共19頁【解析】n【分析】由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)以及基本量的運算轉(zhuǎn)化SS3a,d表示193a，再用，借助于兩1117者之間的關(guān)系計算結(jié)果.n【詳解】解：由數(shù)列前項和的性質(zhì)可知：SSa7a10a24d24，即5112d12，3724119aa20a48d45a12d48.則31111故答案為：13.從數(shù)字1，2，3，4中隨機取一個數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為ii2,3,4)1，…，中隨i3機取一個數(shù)字，則第二次取到數(shù)字為的概率是______.7【答案】【解析】48【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.i2,3,4，【詳解】記事件Ai為“第一次取到數(shù)字，i事件B為“第二次取到的數(shù)字為，3A,A,A,AAAAA由題意知是兩兩互斥的事件，且12341234PBA4PBPBA2BA4PBAPBAPBA13123PAPBAPAPBAPAPBAPAPBA41122334111111700.444344487故答案為：.48y4x，從拋物線內(nèi)一點(2,2)發(fā)出平行于x軸的光線經(jīng)過扡物線上點B反射后交拋214.已知拋物線物線于點C，則VABC的面積為______.92【答案】【解析】4【分析】根據(jù)拋物線求出交點橫坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式與拋物線的焦點弦的性質(zhì)求解即可.【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，直線BC與軸的交點為拋物線的焦點，xy24x的焦點為0，故BC與x軸的交點橫坐標(biāo)為1，第9頁/共19頁根據(jù)題意，畫出草圖，如下圖所示，1212令y2得x，解得B,2，又BC過焦點，2所以BC方程為：y0x1，112y22x22即y22x22，聯(lián)立，y4x21得2x25x20，解得x2或x，所以C22222232∴VABC的邊上的高為，1232AB2又，1392所以S32，22492故答案為：.4【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，充分了解拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從而得解.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）3acb15.若銳角VABC中，A、B、C所對的邊分別為、b、，且acVABC的面積為222（1）求B；（2）求c的取值范圍.aπ【答案】（1）6第10頁/共19頁323,（2）23【解析】1）由余弦定理結(jié)合三角形面積公式可得答案；ππc13A（2）由題可得，后由正弦定理可得，后由正切函數(shù)單調(diào)性可得答案.32a2tanA2【小問1詳解】12acsinB，由余弦定理，a2c2b22acB，又三角形面積為Sπ2π3313acb2acBacsinBtanBBB則222，又由題，則；6121223【小問2詳解】5π5π由（1ACCA，又VABC為銳角三角形，66π0A5πππ2A.則π320A625π6sinAsinA由正弦定理：csinC13.asinA2tanA2ππ32ππ3213因ytanx在xA.,,上單調(diào)遞增，則時，tanA30tanA3c323313233,.則，即a2322tanA216.如圖，在四面體ABCD中，ACBC2，AD，CAD30，M是3，AD的中點，P是的中點，點Q在線段AC上，且.第11頁/共19頁（1）證明：//平面BCD；（2）求二面角AM的余弦值.【答案】（1）證明見解析132（2）20【解析】1AD平面BCD標(biāo)運算代入計算，即可證明；（2）由二面角的向量求法，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】3,AC2，且CAD30，因為AD由余弦定理可得CD2AC2AD2230，321，即CD1，即CD22232232AC2，即ADCD，又AD，所以2CD2且BDCDD，BD,CD平面BCD，所以AD平面BCD，3，則CD2BD2BC2，即BDCD，又BCBD以D為原點，分別以DB,DC,DA為x,y,z軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，D0,0,0,A3,B3,0,0,C0333又M是AD的中點，則M，P是的中點，則P,0,，224第12頁/共19頁33434343343且，則AQAC3,，則Q,，4433,,0，因為AD平面BCDBCD的一個法向量，所以，取為平面24PQ0PQ，3且，因為，所以則//平面BCD.【小問2詳解】33334333PA,0,,PC,PM,0,，由（1）可知22424設(shè)平面的法向量為?=(?,?,?)，3334PAmxz02x3z2，取z2，則y23,x3，則，解得33y3zPCmxyz0243,23,2，m則平面設(shè)平面的一個法向量為的法向量為?=(?,?,?)，33PCnabc0c2a24，取a1，則b3,c2，則，解得33baPMnac0243,2則平面的一個法向量為n，為銳角，364設(shè)二面角AM為，顯然mn13132cos,n則.mn25810220132所以二面角AM的余弦值為.20217.已知橢圓E的離心率為，橢圓E上一點P到左焦點的距離的最小值為21.2（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與橢圓E交于M、N兩點，且面積的取值范圍，求.第13頁/共19頁x2y1；2【答案】（1）222（2）[,32].【解析】1）設(shè)出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，由離心率及最小距離求出a,b,c即可.（2是否垂直于坐標(biāo)軸分類，求出|OM|,|ON|出范圍即可.【小問1詳解】x22y22ab0)，半焦距為，c依題意，設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為ab由橢圓E的離心率為，得ca2b22，則a2c,bc，22aa2ba22P(x,y)，則y0b22x,a0a，橢圓E的左焦點F(c,0)，20設(shè)00b2cc則|(0c)2y20x200c2b2x20(xa)20aac，a2a0axa0bca2，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此ac21，解得x2所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】y1.22當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時，直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為ykx(k0)，y221k2由2消去y得x2y1k|x，1，則|x222x22y22k22k12121()212k12kON:yx，同理|直線，k1k222()21k12k21k21SOMN|||則的面積2k21k222(k1(k122第14頁/共19頁11122)，[,1SOMN，，令t1119432t2t2()222tk1)2k21k2122當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時，由對稱性，不妨令|2,||1，S，OMN222所以面積的取值范圍是[,].321f(x)2alnxx2(a2)xa18.已知函數(shù)（1）當(dāng)a0（2）若函數(shù)，其中為常數(shù).2f(x)的單調(diào)性；時，試討論f(x)有兩個不相等的零點x1，x，2a（i）求的取值范圍；xx4（ii）證明：.12【答案】（1）答案見解析；1（2i）a0ii）證明見解析.21【解析】1）利用導(dǎo)數(shù)并討論參數(shù)a的范圍研究導(dǎo)數(shù)的符號，即可判斷單調(diào)性；（2i1f(2)、f(a)a0a0的情況下研究f(x)的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍；（iii012xf(4x)f(x)h(x)f(4x)f(x)211并利用導(dǎo)數(shù)研究其符號，即可證結(jié)論.【小問1詳解】2ax2(a2)x2a(x2)(xa)由題設(shè)f(x)x(a2)，且x(0,)，xxx)上f(x)0，在(2,當(dāng)0a2時，在上a)上f(x)0，在(a,2)f(x)0，第15頁/共19頁所以，在a)、(2,)上f(x)單調(diào)遞增，在(a,2)上f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)a2時，在)上f(x)0恒成立，故f(x)在)上單調(diào)遞增；f(x)0上當(dāng)a2時，在(0,2)f(x)0，在(2,a)f(x)0上上，在(a,)，(0,2)(a,)f(x)單調(diào)遞增，在(2,a)上f(x)單調(diào)遞減所以，在【小問2詳解】、上.1f(2)2a222(a2)22(a2a0，（i）由21a若a0時，f(a)2aaa2(a2)a(4aa4)，2244a令y4lnaa4且a0，則，y1aa所以0a4時y0，a4時y0，故y4lnaa4在(0,4)上遞增，在(4,)上遞減，則y8ln280，所以f(a)0，結(jié)合（1）中又a0時，f(x)的單調(diào)性，易知a0不可能出現(xiàn)兩個不相等的零點，1f(x)22x在)上只有一個零點，不滿足，x2)上f(x)0，在(2,所以a0，此時，在(0,2)f(x)0上，(0,2)f(x)單調(diào)遞減，在(2,)上f(x)單調(diào)遞增，則f(x)f(2)2(a2a，故在上xf(x)趨向正無窮，只需g(a)a210成立，又趨向于0或負無窮時，1顯然g(a)在(,0)上遞減，且當(dāng)a時g(a)0，2111所以，a0時a0；g(a)0恒成立，即所求范圍為21211（ii）由（ia0時，f(x)存在兩個不相等的零點1,x，212不妨令012x，要證xx4x4x，而41(2,4)，，即證21212由（i）知：在(2,)f(x)單調(diào)遞增，只需證f(4x)f(x)f(x)0上，12112axx21(a2)10，則124x2a(x2lnx)由11112令h(x)f(4x)f(x)，且0x2，第16頁/共19頁1122h(x)2aln(4x)(4x)(a2)(4x)2axx(a2)x2則22aln(4x)2ax4a2ax，(x2)22a0，即h(x)在(0,2)(0,2)h(x)上所以，在上遞增，x(4x)所以h(x)h(2)2a22a24a4a0，即f(4x)f(x)f(x)成立，112xx4所以，得證.12【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，首先利用第一問及其零點個數(shù)將參數(shù)范圍限定在a0，進而利用導(dǎo)數(shù)研究其最值求范圍，再令012x，將問題轉(zhuǎn)化為證f(4x)f(x)是關(guān)鍵.112是正整數(shù),nk}A:a,a,,annN*19.已知數(shù)列n12nakak12A3都有或，則稱為H數(shù)列n（1）列出所有H數(shù)列A的情形；5a5k(k,405)的H數(shù)列A（2）寫出一個滿足的通項公式；5k2025（3）在H數(shù)列2025中，記ba(k,是公差為d的等差數(shù)列，求證：bd5k，若數(shù)列k5k或d5.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【解析】1）討論1，由條件確定，由此確定aa,a,a，可得結(jié)論；2345（2）由（1）確定A5的前項，構(gòu)造數(shù)列滿足aan5，證明此時滿足條件，由此確定2025；n52025d2x3yx,yZ，x,y5,4,3,2,,0，（3）由條件可得通過討論，證明結(jié)論.【小問1詳解】a1a3a4若當(dāng)當(dāng)，則或時，時，，122a1a31a5a2a4，此時A為1,3,5,4