...wd......wd......wd...壓軸題精選講解一、選擇題1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如以以下圖，有以下結(jié)論：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a+b=0，④b2﹣4ac＞0，其中正確結(jié)論個數(shù)是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4〔第1題〕〔第2題〕〔第3題〕2．如圖，四邊形ABCD為正方形，邊長為4，點F在AB邊上，E為射線AD上一點，正方形ABCD沿直線EF折疊，點A落在G處，點G恰好在以AB為直徑的圓上，則CG的最小值等于〔〕A．0 B．2 C．4﹣2 D．2﹣23．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B為圓心BC為半徑畫弧交AD于點E，連接CE，作BF⊥CE，垂足為F，則tan∠FBC的值為〔〕A． B． C． D．4．如圖，二次函數(shù)y=ax2+c的圖象與一次函數(shù)y=kx+c的圖象在第一象限的交點為A，點A的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的不等式ax2﹣kx＜0的解集為〔〕A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或x＞0〔第4題〕〔第5題〕〔第6題〕5．如圖，雙曲線y=經(jīng)過拋物線y=ax2+bx的頂點〔﹣，m〕〔m＞0〕，則有〔〕A．a(chǎn)=b+2k B．a(chǎn)=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a(chǎn)＜k＜06．小明為了研究關(guān)于x的方程x2﹣|x|﹣k=0的根的個數(shù)問題，先將該等式轉(zhuǎn)化為x2=|x|+k，再分別畫出函數(shù)y=x2的圖象與函數(shù)y=|x|+k的圖象〔如圖〕，當(dāng)方程有且只有四個根時，k的取值范圍是〔〕A．k＞0 B．﹣＜k＜0 C．0＜k＜ D．﹣＜k＜二、填空題1．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點P是優(yōu)弧上一點，則∠APB的度數(shù)為．(第1題〕〔第2題〕〔第3題〕2．如圖，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=4，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為．3．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，假設(shè)拋物線y=+2x交x軸的負(fù)半軸于A，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α≤360°〕，再沿水平方向向右或向左平移假設(shè)干個單位長度，對應(yīng)線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，請直接寫出所有符合題意的α的值是__________．4．拋物線y=2x2﹣8x+6與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其下方的局部記為C1，將C1向右平移得到C2，C2與x軸交于點B、D，假設(shè)直線y=﹣x+m與C1、C2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是．〔第4題〕 〔第5題〕〔第6題〕5．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為．6．如圖是拋物線y1=ax2+bx+c〔a≠0〕圖象的一局部，拋物線的頂點坐標(biāo)A〔1，3〕，與x軸的一個交點B〔4，0〕，直線y2=mx+n〔m≠0〕與拋物線交于A，B兩點，以下結(jié)論：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個交點是〔﹣1，0〕；⑤當(dāng)1＜x＜4時，有y2＜y1．其中正確結(jié)論的序數(shù)是___________三、解答題1．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．〔1〕求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕判斷△ABM的形狀，并說明理由；〔3〕把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．假設(shè)將〔1〕中拋物線平移，使其頂點為〔m，2m〕，當(dāng)m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．2．如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，A〔0，3〕，C〔3，0〕．〔Ⅰ〕求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕條件下，P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似假設(shè)存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位的速度向點A勻速運動，到達點A時停頓運動，設(shè)點P運動的時間是t秒〔t＞0〕．過點P作∠DPA=∠CPO，且PD=CP，連接DA．〔1〕點D的坐標(biāo)為．〔請用含t的代數(shù)式表示〕〔2〕點P在從點O向點A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形假設(shè)能，求t的值；假設(shè)不能，請說明理由．〔3〕請直接寫出點D的運動路線的長．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm；動點P從點C開場沿CA以2cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開場沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開場沿BC以2cm/s的速度向點C移動．如果P、Q、R分別從C、A、B同時移動，移動時間為t〔0＜t＜6〕s．〔1〕∠CAB的度數(shù)是；〔2〕以CB為直徑的⊙O與AB交于點M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O相切〔3〕寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值及相應(yīng)的t值；〔4〕是否存在△APQ為等腰三角形假設(shè)存在，求出相應(yīng)的t值；假設(shè)不存在請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的⊙A的圓心與坐標(biāo)原點O重合，線段BC的端點分別在x軸與y軸上，點B的坐標(biāo)為〔6，0〕，且sin∠OCB=．〔1〕假設(shè)點Q是線段BC上一點，且點Q的橫坐標(biāo)為m．①求點Q的縱坐標(biāo)；〔用含m的代數(shù)式表示〕②假設(shè)點P是⊙A上一動點，求PQ的最小值；〔2〕假設(shè)點A從原點O出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿折線OBC運動，到點C運動停頓，⊙A隨著點A的運動而移動．①點A從O→B的運動的過程中，假設(shè)⊙A與直線BC相切，求t的值；②在⊙A整個運動過程中，當(dāng)⊙A與線段BC有兩個公共點時，直接寫出t滿足的條件．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，二次函數(shù)y=x2+c的圖象拋物線交x軸于點A，B〔點A在點B的左側(cè)〕，與y軸交于點C〔0，﹣3〕．〔1〕求∠ABC的度數(shù)；〔2〕假設(shè)點D是第四象限內(nèi)拋物線上一點，△ADC的面積為，求點D的坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)將△OBC繞平面內(nèi)某一點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△O′B′C′，點O′，B′均落在此拋物線上，求此時O′的坐標(biāo)．壓軸題精選講解解析一、選擇題8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如以以下圖，有以下結(jié)論：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a+b=0，④b2﹣4ac＞0，其中正確結(jié)論個數(shù)是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由拋物線開口向下，a＜0，拋物線與y軸交于正半軸，c＞0，根據(jù)對稱軸為x=﹣＞0，則b＞0，判斷①；根據(jù)x=﹣1時y＜0，判斷②；根據(jù)對稱軸為x=1，即﹣=1，判斷③；根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷④．【解答】解：開口向下，a＜0，拋物線與y軸交于正半軸，c＞0，根據(jù)對稱軸為x=﹣＞0，則b＞0，所以abc＜0，①正確；根據(jù)x=﹣1時y＜0，所以a﹣b+c＜0，②正確；根據(jù)對稱軸為x=1，即﹣=1，2a+b=0，③正確；由拋物線與x軸有兩個交點，所以b2﹣4ac＞0，④正確應(yīng)選：D．【點評】此題考察的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，把握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，重點要理解拋物線的對稱性．10．如圖，四邊形ABCD為正方形，邊長為4，點F在AB邊上，E為射線AD上一點，正方形ABCD沿直線EF折疊，點A落在G處，點G恰好在以AB為直徑的圓上，則CG的最小值等于〔〕A．0 B．2 C．4﹣2 D．2﹣2【考點】翻折變換〔折疊問題〕；正方形的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，由翻折的性質(zhì)可知AF=FG，AG⊥OE，∠OGE=90°，由垂徑定理可知點O為半圓的圓心，從而得到OB=OG=2，依據(jù)勾股定理可求得OC的長，最后依據(jù)GC=OC﹣OG求解即可．【解答】解：如以以下圖：由翻折的性質(zhì)可知：AF=FG，AG⊥OE，∠OAE=∠OGE=90°．∵AF=FG，AG⊥OE，∴點O是圓半圓的圓心．∴OG=OA=OB=2．在△OBC中，由勾股定理可知：OC===2．∵當(dāng)點O、G、C在一條直線上時，GC有最小值，∴CG的最小值=OC﹣OG=2﹣2．應(yīng)選：D．【點評】此題主要考察的是翻折變換、勾股定理的應(yīng)用、垂徑定理，明確當(dāng)點O、G、C在一條直線上時，GC有最小值是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B為圓心BC為半徑畫弧交AD于點E，連接CE，作BF⊥CE，垂足為F，則tan∠FBC的值為〔〕A． B． C． D．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】首先根據(jù)以B為圓心BC為半徑畫弧交AD于點E，判斷出BE=BC=5；然后根據(jù)勾股定理，求出AE的值是多少，進而求出DE的值是多少；再根據(jù)勾股定理，求出CE的值是多少，再根據(jù)BC=BE，BF⊥CE，判斷出點F是CE的中點，據(jù)此求出CF、BF的值各是多少；最后根據(jù)角的正切的求法，求出tan∠FBC的值是多少即可．【解答】解：∵以B為圓心BC為半徑畫弧交AD于點E，∴BE=BC=5，∴AE=，∴DE=AD﹣AE=5﹣4=1，∴CE=，∵BC=BE，BF⊥CE，∴點F是CE的中點，∴CF=，∴BF==，∴tan∠FBC=，即tan∠FBC的值為．應(yīng)選：D．【點評】〔1〕此題主要考察了勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．〔2〕此題還考察了等腰三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，考察了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．〔3〕此題還考察了銳角三角函數(shù)的定義，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確一個角的正弦、余弦、正切的求法．〔4〕此題還考察了矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．10．如圖，二次函數(shù)y=ax2+c的圖象與一次函數(shù)y=kx+c的圖象在第一象限的交點為A，點A的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的不等式ax2﹣kx＜0的解集為〔〕A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或x＞0【考點】二次函數(shù)與不等式〔組〕．【分析】ax2﹣kx＜0即二次函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，即二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上邊，求自變量x的范圍．【解答】解：ax2﹣kx＜0即ax2+c＜kx+c，即二次函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．則x的范圍是：0＜x＜1．應(yīng)選A．【點評】此題考察了二次函數(shù)與不等式的解集的關(guān)系，理解ax2﹣kx＜0即二次函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時求自變量的取值是關(guān)鍵．10．如圖，雙曲線y=經(jīng)過拋物線y=ax2+bx的頂點〔﹣，m〕〔m＞0〕，則有〔〕A．a(chǎn)=b+2k B．a(chǎn)=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a(chǎn)＜k＜0【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)拋物線的開口方向和反比例函數(shù)所處的象限判斷a＜0，k＜0，根據(jù)對稱軸x=﹣=﹣得出a=b，由雙曲線y=經(jīng)過拋物線y=ax2+bx的頂點〔﹣，m〕〔m＞0〕，對稱k=﹣m，m=a﹣b，進而對稱8k=a=b，即可得出a＜k＜0．【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx的頂點〔﹣，m〕，∴對稱軸x=﹣=﹣，∴a=b＜0，∵雙曲線y=經(jīng)過拋物線y=ax2+bx的頂點〔﹣，m〕〔m＞0〕，∴k=﹣m，m=a﹣b，∴m=﹣2k，m=﹣a=﹣b，∴﹣2k=﹣a=﹣b，∴8k=a=b，∵a＜0，∴a＜k＜0，應(yīng)選D．【點評】此題考察了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用拋物線的頂點坐標(biāo)和二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．8．小明為了研究關(guān)于x的方程x2﹣|x|﹣k=0的根的個數(shù)問題，先將該等式轉(zhuǎn)化為x2=|x|+k，再分別畫出函數(shù)y=x2的圖象與函數(shù)y=|x|+k的圖象〔如圖〕，當(dāng)方程有且只有四個根時，k的取值范圍是〔〕A．k＞0 B．﹣＜k＜0 C．0＜k＜ D．﹣＜k＜【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．【分析】直接利用根的判別式，進而結(jié)合函數(shù)圖象得出k的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x＞0時，y=x+k，y=x2，則x2﹣x﹣k=0，b2﹣4ac=1+4k＞0，解得：k＞﹣，當(dāng)x＜0時，y=﹣x+k，y=x2，則x2+x﹣k=0，b2﹣4ac=1+4k＞0，解得：k＞﹣，如以以下圖一次函數(shù)一局部要與二次函數(shù)有兩個交點，則k＜0，故k的取值范圍是：﹣＜k＜0．應(yīng)選：B．【點評】此題主要考察了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象綜合應(yīng)用，正確利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．二、填空題18．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點P是優(yōu)弧上一點，則∠APB的度數(shù)為60°．【考點】翻折變換〔折疊問題〕；圓周角定理．【分析】作半徑OC⊥AB于D，連結(jié)OA、OB，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OD=CD，則OD=OA，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠OAD=30°，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠AOB=120°，然后根據(jù)圓周角定理計算∠APB的度數(shù)．【解答】解：如圖作半徑OC⊥AB于D，連結(jié)OA、OB．∵將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，∴OD=CD．∴OD=OC=OA．∴∠OAD=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠AOB=120°．∴∠APB=∠AOB=60°．故答案為：60°．【點評】此題考察了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考察了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和折疊的性質(zhì)，求得∠OAD=30°是解題的關(guān)鍵．16．如圖，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=4，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為2．【考點】圓周角定理；垂徑定理；解直角三角形．【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，當(dāng)半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH，即可求出答案．【解答】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4∴AD=BD=4，即此時圓的直徑為4，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=2×=，由垂徑定理可知EF=2EH=2，故答案為：2．【點評】此題考察了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．16．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，假設(shè)拋物線y=+2x交x軸的負(fù)半軸于A，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α≤360°〕，再沿水平方向向右或向左平移假設(shè)干個單位長度，對應(yīng)線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，請直接寫出所有符合題意的α的值是30°或150°．【考點】拋物線與x軸的交點；坐標(biāo)與圖形變化-平移；坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．【分析】首先求出拋物線的頂點坐標(biāo)以及AO的長，再利用平移的性質(zhì)結(jié)合AO只是左右平移，進而得出旋轉(zhuǎn)的角度．【解答】解：由題意可得：y=+2x=〔x+2〕2﹣2，故拋物線的頂點坐標(biāo)為：〔2，﹣2〕，當(dāng)y=0時，0=〔x+2〕2﹣2解得：x1=0，x2=4，故AO=4，∵將線段OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α≤360°〕，再沿水平方向向右或向左平移假設(shè)干個單位長度，對應(yīng)線段的一個端點正好落在拋物線的頂點處，∴旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點A′到x軸的距離為：2，如圖，過點A′作A′C⊥x軸于點C，當(dāng)∠COA′=30°，則CA′=A′O=2，故α為30°時符合題意，同理可得：α為150°時也符合題意，綜上所述：所有符合題意的α的值是30°或150°．故答案為：30°或150°．【點評】此題主要考察了拋物線與x軸的交點以及旋轉(zhuǎn)與平移變換，正確得出對應(yīng)點的特點是解題關(guān)鍵．18．拋物線y=2x2﹣8x+6與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其下方的局部記為C1，將C1向右平移得到C2，C2與x軸交于點B、D，假設(shè)直線y=﹣x+m與C1、C2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是＜m＜3．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】首先求出點A和點B的坐標(biāo)，然后求出C2解析式，分別求出直線y=﹣x+m與拋物線C2相切時m的值以及直線y=﹣x+m過點B時m的值，結(jié)合圖形即可得到答案．【解答】解：y=2x2﹣8x+6=2〔x﹣2〕2﹣2令y=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，則點A〔1，0〕，B〔3，0〕，由于將C1向右平移2個長度單位得C2，則C2解析式為y=2〔x﹣4〕2﹣2〔3≤x≤5〕，當(dāng)y=﹣x+m1與C2相切時，令y=﹣x+m1=y=2〔x﹣4〕2﹣2，即2x2﹣15x+30﹣m1=0，△=8m1﹣15=0，解得m1=，當(dāng)y=﹣x+m2過點B時，即0=﹣3+m2，m2=3，當(dāng)＜m＜3時直線y=﹣x+m與C1、C2共有3個不同的交點，故答案為＜m＜3．【點評】此題主要考察拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識，解答此題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進展解題，此題有一定的難度．18．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為．【考點】切線的性質(zhì)．【分析】連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出結(jié)果．【解答】解：連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切線，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴〔3+NM〕2=〔3﹣NM〕2+42，∴NM=，∴DM=3+=．故答案為．【點評】此題考察了切線的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．如圖是拋物線y1=ax2+bx+c〔a≠0〕圖象的一局部，拋物線的頂點坐標(biāo)A〔1，3〕，與x軸的一個交點B〔4，0〕，直線y2=mx+n〔m≠0〕與拋物線交于A，B兩點，以下結(jié)論：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個交點是〔﹣1，0〕；⑤當(dāng)1＜x＜4時，有y2＜y1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是〔〕A．5 B．4 C．3 D．2【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線對稱軸方程對①進展判斷；由拋物線開口方向得到a＜0，由對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＞0，于是可對②進展判斷；根據(jù)頂點坐標(biāo)對③進展判斷；根據(jù)拋物線的對稱性對④進展判斷；根據(jù)函數(shù)圖象得當(dāng)1＜x＜4時，一次函數(shù)圖象在拋物線下方，則可對⑤進展判斷．【解答】解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)A〔1，3〕，∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正確；∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②錯誤；∵拋物線的頂點坐標(biāo)A〔1，3〕，∴x=1時，二次函數(shù)有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根，所以③正確；∵拋物線與x軸的一個交點為〔4，0〕而拋物線的對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另一個交點為〔﹣2，0〕，所以④錯誤；∵拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=mx+n〔m≠0〕交于A〔1，3〕，B點〔4，0〕∴當(dāng)1＜x＜4時，y2＜y1，所以⑤正確．應(yīng)選：C．【點評】此題考察了二次項系數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時〔即ab＞0〕，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時〔即ab＜0〕，對稱軸在y軸右．〔簡稱：左同右異〕；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于〔0，c〕；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．三、解答題27．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．〔1〕求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕判斷△ABM的形狀，并說明理由；〔3〕把拋物線與直線y=x的交點稱為拋物線的不動點．假設(shè)將〔1〕中拋物線平移，使其頂點為〔m，2m〕，當(dāng)m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】〔1〕由條件可分別求得A、B的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；〔2〕結(jié)合〔1〕中A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM為直角三角形；〔3〕由條件可寫出平移后的拋物線的解析式，聯(lián)立y=x，可得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式可求得m的范圍．【解答】解：〔1〕∵A點為直線y=x+1與x軸的交點，∴A〔﹣1，0〕，又B點橫坐標(biāo)為2，代入y=x+1可求得y=3，∴B〔2，3〕，∵拋物線頂點在y軸上，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c，把A、B兩點坐標(biāo)代入可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣1；〔2〕△ABM為直角三角形．理由如：由〔1〕拋物線解析式為y=x2﹣1可知M點坐標(biāo)為〔0，﹣1〕，∴AM=，AB===3，BM==2，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM為直角三角形；〔3〕當(dāng)拋物線y=x2﹣1平移后頂點坐標(biāo)為〔m，2m〕時，其解析式為y=〔x﹣m〕2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，聯(lián)立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣〔2m+1〕x+m2+2m=0，∵平移后的拋物線總有不動點，∴方程x2﹣〔2m+1〕x+m2+2m=0總有實數(shù)根，∴△≥0，即〔2m+1〕2﹣4〔m2+2m〕≥0，解得m≤，即當(dāng)m≤時，平移后的拋物線總有不動點．【點評】此題主要考察二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知識點．在〔1〕中確定出A、B兩點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在〔2〕中分別求得AB、AM、BM的長是解題的關(guān)鍵，在〔3〕中確定出拋物線有不動點的條件是解題的關(guān)鍵．此題考察知識點較為根基，難度適中．27．如圖，拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，A〔0，3〕，C〔3，0〕．〔Ⅰ〕求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕條件下，P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似假設(shè)存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】〔Ⅰ〕只需把A、C兩點的坐標(biāo)代入y=x2+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線AB與拋物線的交點B的坐標(biāo)，過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，從而得到∠ACB=90°，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值；〔Ⅱ〕過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．假設(shè)點G在點A的下方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時，△PAQ∽△CAB．此時可證得△PGA∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x．則有P〔x，3﹣3x〕，然后把P〔x，3﹣3x〕代入拋物線的解析式，就可求出點P的坐標(biāo)②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時，△PAQ∽△CBA，同理，可求出點P的坐標(biāo)；假設(shè)點G在點A的上方，同理，可求出點P的坐標(biāo)；【解答】解：〔Ⅰ〕把A〔0，3〕，C〔3，0〕代入y=x2+mx+n，得，解得：．∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+3．聯(lián)立，解得：或，∴點B的坐標(biāo)為〔4，1〕．過點B作BH⊥x軸于H，如圖1．∵C〔3，0〕，B〔4，1〕，∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan∠BAC===；〔Ⅱ〕〔1〕存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似．過點P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．假設(shè)點G在點A的下方，①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB．∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴==．∴AG=3PG=3x．則P〔x，3﹣3x〕．把P〔x，3﹣3x〕代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣3x，整理得：x2+x=0，解得：x1=0〔舍去〕，x2=﹣1〔舍去〕．②如圖2②，當(dāng)∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．同理可得：AG=PG=x，則P〔x，3﹣x〕，把P〔x，3﹣x〕代入y=x2﹣x+3，得：x2﹣x+3=3﹣x，整理得：x2﹣x=0，解得：x1=0〔舍去〕，x2=，∴P〔，〕；假設(shè)點G在點A的上方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時，則△PAQ∽△CAB，同理可得：點P的坐標(biāo)為〔11，36〕．②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時，則△PAQ∽△CBA．同理可得：點P的坐標(biāo)為P〔，〕．綜上所述：滿足條件的點P的坐標(biāo)為〔11，36〕、〔，〕、〔，〕．【點評】此題主要考察了運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點坐標(biāo)、拋物線上點的坐標(biāo)特征、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、兩點之間線段最短、軸對稱的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性強，難度大．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位的速度向點A勻速運動，到達點A時停頓運動，設(shè)點P運動的時間是t秒〔t＞0〕．過點P作∠DPA=∠CPO，且PD=CP，連接DA．〔1〕點D的坐標(biāo)為〔t，1〕．〔請用含t的代數(shù)式表示〕〔2〕點P在從點O向點A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形假設(shè)能，求t的值；假設(shè)不能，請說明理由．〔3〕請直接寫出點D的運動路線的長．【考點】四邊形綜合題．【分析】〔1〕作DE⊥OA于E，證得△POC∽△PED，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)易求得PE=t，DE=1，即可求得D〔t，1〕；〔2〕分兩種情況討論：①當(dāng)∠PDA=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△ADP．得出=，即可求得t1=2，t2=．②當(dāng)∠DAP=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△DAP．得出=，即可求得t=．〔3〕根據(jù)題意和〔1〕求得的D〔t，1〕，即可求得當(dāng)點P與點O重合時，D1〔0，1〕，點P與點A重合時，D2〔6，1〕，從而得出點D在直線D1D2上，即D點運動的路線是一條線段，起點是D1〔0，1〕，終點是D2〔6，1〕，即可求得點D運動路線的長度為6．【解答】解：〔1〕如圖1，作DE⊥OA于E，∵∠POC=∠PED=90°，∠DPA=∠CPO，∴△POC∽△PED，∴==，∵OC=2，OP=t，PD=CP，∴PE=t，DE=1，∴D〔t，1〕；故答案為〔t，1〕．〔2〕在△COP中，CO=2，OP=t，CP==．在△ADP中，PD=CP=，AP=4﹣t．①當(dāng)∠PDA=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△ADP．∴=，∴=，解得：t1=2，t2=．②當(dāng)∠DAP=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△DAP．∴==，∴=，解得：t=．綜上所述，點P在從點O向點A運動的過程中，當(dāng)t=2或或時，△DPA成為直角三角形．〔3〕如圖2，∵點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位的速度向點A勻速運動，到達點A時停頓運動，D點的坐標(biāo)為〔t，1〕，∴當(dāng)點P與點O重合時，CO的中點為D1〔0，1〕，點P與點A重合時，D2〔6，1〕，∴點D在直線D1D2上，即D點運動的路線是一條線段，起點是D1〔0，1〕，終點是D2〔6，1〕，∴D1D2=6，∴點D運動路線的長度為6．【點評】此題是四邊形綜合題，考察了三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，兩點間距離公式，得到點D在直線D1D2上運動是解決第〔3〕小題的關(guān)鍵．28．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm；動點P從點C開場沿CA以2cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開場沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開場沿BC以2cm/s的速度向點C移動．如果P、Q、R分別從C、A、B同時移動，移動時間為t〔0＜t＜6〕s．〔1〕∠CAB的度數(shù)是30°；〔2〕以CB為直徑的⊙O與AB交于點M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O相切〔3〕寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值及相應(yīng)的t值；〔4〕是否存在△APQ為等腰三角形假設(shè)存在，求出相應(yīng)的t值；假設(shè)不存在請說明理由．【考點】圓的綜合題．【分析】〔1〕根據(jù)題意和正切的定義以及特殊角的三角函數(shù)值解答即可；〔2〕連接OP，OM，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PMO=90°，證明Rt△PMO≌Rt△PCO，△OBM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正切的概念解答；〔3〕過點Q作QE⊥AC于點E，根據(jù)余弦的概念用t表示出QE，根據(jù)三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)解答；〔4〕分PQ1=AQ1=4t、AP=AQ2=4t、PA=PQ3=4t三種情況，作出輔助線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即可．【解答】解：〔1〕∵∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm，∴tan∠CAB==，∴∠CAB=30°，故答案為：30°；〔2〕如圖1，連接OP，OM．當(dāng)PM與⊙O相切時，有∠PMO=∠PCO=90°，∵MO=CO，PO=PO，∴Rt△PMO≌Rt△PCO，∴∠MOP=∠COP；由〔1〕知∠OBA=60°，∵OM=OB，∴△OBM是等邊三角形，∴∠BOM=60°，∴∠MOP=∠COP=60°，∴CP=CO?tan∠COP=6?tan60°=，又∵∴t=∴t=3，即：t=3s時，PM與⊙O相切；〔3〕如圖2，過點Q作QE⊥AC于點E，∵∠BAC=30°，AQ=4t，∴AE=AQ?cos∠BAC=4t?cos30°=，∴==；∴S△PQR=S△ACB﹣S△AQP﹣S△QBR﹣S△PCR===〔0＜t＜6〕，∴當(dāng)t=3s時，cm2；〔4〕存在．如圖3，分三種情況：①PQ1=AQ1=4t時，過點Q1作Q1D⊥AC于點D，則，∴，∴t=2；②當(dāng)AP=AQ2=4t時，∵，∴=，③當(dāng)PA=PQ3=4t時，過點P作PH⊥AB于點H，AH=PA?cos30°==18﹣3tAQ3=2?AH=36﹣6t，∴36﹣6t=4t，∴t=3.6，綜上所述，當(dāng)s時，△APQ是等腰三角形．【點評】此題考察的是圓的有關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和函數(shù)解析式確實定方法是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的運用．27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的⊙A的圓心與坐標(biāo)原點O重合，線段BC的端點分別在x軸與y軸上，點B的坐標(biāo)為〔6，0〕，且sin∠OCB=．〔1〕假設(shè)點Q是線段BC上一點，且點Q的橫坐標(biāo)為m．①求點Q的縱坐標(biāo)；〔用含m的代數(shù)式表示〕②假設(shè)點P是⊙A上一動點，求PQ的最小值；〔2〕假設(shè)點A從原點O出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿折線OBC運動，到點C運動停頓，⊙A隨著點A的運動而移動．①點A從O→B的運動的過程中，假設(shè)⊙A與直線BC相切，求t的值；②在⊙A整個運動過程中，當(dāng)⊙A與線段BC有兩個公共點時，直接寫出t滿足的條件．【考點】圓的綜合題．【分析】〔1〕①根據(jù)正切的概念求出BC=10，OC=8，運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征解得即可；②作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時PQ最小，根據(jù)三角形面積公式計算即可；〔2〕①根據(jù)切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)計算即可；②結(jié)合圖形、運用直線與圓的位置關(guān)系定理解答．【解答】解：〔1〕①∵點B的坐標(biāo)為〔6，0〕，tan∠OCB=，∴BC=10，OC=8，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，，解得，∵點Q的橫坐標(biāo)為m，∴點Q的縱坐標(biāo)為﹣m+8；②如圖1，作OQ⊥AB交⊙A于P，則此時PQ最小，×AB×OQ=×BO×CO，解得，OQ=4.8，∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；〔2〕①如圖2，⊙A與直線BC相切于H，則AH⊥BC，又∠BOC=90°，∴△BHA∽△BOC，∴=，即=，解得，BA=，則OA=6﹣=，∴t=時，⊙A與直線BC相切；②由〔2〕①得，t=時，⊙A與直線BC相切，當(dāng)t=5時，⊙A經(jīng)過點B，當(dāng)t=7時，⊙A經(jīng)過點B，當(dāng)t=15時，⊙A經(jīng)過點C，故＜t≤5或7≤t≤15時，⊙A與線段BC有兩個公共點．【點評】此題考察的是直線與圓的位置關(guān)系、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及最短距離確實定，靈活運用相關(guān)定理和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，二次函數(shù)y=x2+c的圖象拋物線交x軸于點A，B〔點A在點B的左側(cè)〕，與y軸交于點C〔0，﹣3〕．〔1〕求∠ABC的度數(shù)；〔2〕假設(shè)點D是第四象限內(nèi)拋物線上一點，△ADC的面積為，求點D的坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)將△OBC繞平面內(nèi)某一點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△O′B′C′，點O′，B′均落在此拋物線上，求此時O′的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】〔1〕通過求函數(shù)解析式，求出相應(yīng)線段的長度，觀察AC=2OA，進而求出∠ABC度數(shù)；〔2〕通過觀察三角形ADC面積與三角形AOC面積相等，可以判斷直線OD∥AC，求出直線與拋物線交點即為點D；〔3〕利用拋物線解析式設(shè)出O′，通過旋轉(zhuǎn)60°，求出點B′的坐標(biāo)，將點B′代入拋物線解析