熱點專題3-3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年甲卷(文)，第20(1),5分高考中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單

2024年北京卷，第20(1),5分調(diào)性為重要考點。考生需掌握

導(dǎo)數(shù)定義、性質(zhì)及求導(dǎo)方法，

2023年I卷第第19(1),5分

通過導(dǎo)數(shù)正負判斷函數(shù)單調(diào)

2023年乙卷(文)，第20(2),7分

區(qū)間。此考點強調(diào)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2023年乙卷(理)第16題，5分單調(diào)性的直接聯(lián)系，要求考生(2)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

能準確求解導(dǎo)數(shù)并據(jù)此分析(3)含參函數(shù)單調(diào)性討論

2022年新高考H卷，第6題,5分

函數(shù)在特定區(qū)間的單調(diào)性。備

2022年甲卷第12題，5分

考時，應(yīng)注重基礎(chǔ)知識的鞏固

與解題技巧的提升，通過大量

2021年浙江卷第7題，5分

練習(xí)增強實際應(yīng)用能力。

模塊一k、熱點題型解讀(目錄)

【題型1】求單調(diào)區(qū)間或討論單調(diào)性(不含參)

【題型2】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系

【題型3】含參函數(shù)在某區(qū)間上遞增或遞減，求參數(shù)范圍

【題型4】含參函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍

【題型5】含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍

【題型6］最多有1個極值點的函數(shù)單調(diào)性分析

【題型7】最多有2個極值點的函數(shù)單調(diào)性分析(可因式分解)

【題型8】最多有2個極值點的函數(shù)單調(diào)性分析(不可因式分解)

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1】求單調(diào)區(qū)間或討論單調(diào)性（不含參）

基礎(chǔ)知識

判斷函數(shù)y=/U）的單調(diào)性的步驟：

第1步，確定函數(shù)的定義域;

第2步，求出導(dǎo)數(shù)求x）的零點;

第3步，用了（X）的零點將1x）的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出〃工）在各區(qū)間上的正負,由此得

出函數(shù)y=?x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

注意：若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”隔開.

1.（2024?四川成都?三模）已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，=

則當(dāng)x<0時，/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為.

2.函數(shù)>=In吧x的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

X

A.B.（e,+co）C.[°，：]D.（0,e）

3.已知函數(shù)=1）—Inx,判斷了（尤）的單調(diào)性，并說明理由；

4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（無）=x-lnx-1.判斷函數(shù)〃x）的單調(diào)性.

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y=工的嚴格遞減區(qū)間是.

x—2

【鞏固練習(xí)2]函數(shù)=的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（-1,1）B.（0,1）C.（1*）D.（0,2）

【鞏固練習(xí)3X2024?四川巴中?一模）已知奇函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為了'⑺，若當(dāng)無＜0時〃尤）=尤2-0,

X

且廣（一1）=0.則“X）的單調(diào)增區(qū)間為.

【鞏固練習(xí)4】（2024?河北保定?二模）已知函數(shù)/'（%）=（無一262）1皿一改一262（?€11）.若4=1,討

論/（X）的單調(diào)性;

已知函數(shù)nx.eR),若。=求的

【鞏固練習(xí)5】（2024?湖南邵陽?三模）/(x)=21lx+a2,

單調(diào)區(qū)間.

22

【鞏固練習(xí)6]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)"X）=x-（liu）（aeR）,討論函數(shù)的

單調(diào)性.

【題型2】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系

基礎(chǔ)知識

原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)/(X)單調(diào)遞增O導(dǎo)函數(shù)/'(X)20(導(dǎo)函

數(shù)等于0,只在端點成立，其余點滿足尸(x)>0)；原函數(shù)單調(diào)遞減o導(dǎo)函數(shù)/'(x)<0(導(dǎo)函數(shù)等

于0,只在端點成立，其余點滿足/(%)<0).

導(dǎo)數(shù)的絕對值與函數(shù)值變化的關(guān)系

一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快,這時

函數(shù)的圖象就比較“險底'(向上或向下)；反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“壬

5.尸⑺是函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)，y=/'(x)的圖象如圖所示，則y=/(x)的圖象最有可能是下列選

項中的()

6.函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，y=/(x)為函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式#'(x)>0的解集

B.(一力,—3)5—1,0)50,1)

C.(-3,-l)u(l,+o?)D.(-3,-l)u(O,l)

【鞏固練習(xí)1]已知函數(shù)y=〃x)的導(dǎo)函數(shù)-⑴的圖象如圖所示，那么對于函數(shù)y=f[x),下

列說法正確的是()

B.在上單調(diào)遞減

C.在x=l處取得最大值D.在x=2處取得極大值

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象如圖所示，則不等式獷'(同＞0的解集為().

A.卜;卜(2，+°°)

B.卜耳唱2,

C.(f0)U&21

D.(-1,0)U(1,3)

【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)y=的圖象是下列四個圖象之一，函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則

【鞏固練習(xí)4】y=/'(x)的圖象如圖所示，則y=/(x)的圖象最有可能是()

【鞏固練習(xí)5】(多選)已知函數(shù)/(x)的定義域為R且導(dǎo)函數(shù)為了'(X),如圖是函數(shù)y=4'(x)的圖象,

則下列說法正確的是()

A.函數(shù)Ax)的減區(qū)間是(-2,0),(2,+03)

B.函數(shù)Ax)的減區(qū)間是(一8,-2),(2,+8)

C.彳=-2是函數(shù)/(尤)的極小值點

D.x=2是函數(shù)/(x)的極小值點

【題型3】含參函數(shù)在某區(qū)間上遞增或遞減，求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識

已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若/(幻在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有/'(幻30恒成立(但不恒等于0)；反之，要滿

足/'(x)>0,才能得出/(%)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有了'(x)W0恒成立(但不恒等于0)；反之，要滿

足/'(x)<0,才能得出/(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.

7.（23-24高三?江蘇南京?期末）已知函數(shù)〃x）=$3一/+"+i在區(qū)間@2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)。

的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

8.（23-24高三上?江蘇淮安?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=2%2一至，若在區(qū)間（2加,加+1）上單調(diào)

遞增，則實數(shù)加的取值范圍是.

9.（2024?陜西西安?三模）若函數(shù)〃力=尤2-依+lnx在區(qū)間（l,e）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍

是（）

A.[3,+oo）B.C.[3,e2+l]D.[3,e2-l]

【鞏固練習(xí)11（2023年新課標全國H卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（x）=ae*7nx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞

增，則a的最小值為（）.

22

A.eB.eC.e-'D.e-

【鞏固練習(xí)2X2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)ae（O,l）,若函數(shù)〃尤）="+（l+a）*在（0,+。）

上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)3]已知函數(shù)/（月=；尤3+^/+無+1在（3,+⑹上為增函數(shù)，在（1,2）上為減

函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為（）

【鞏固練習(xí)4]（23-24高三上?山東青島?期末）若函數(shù)f（x）=e，+a，T在（0,”）上單調(diào)遞增，則。

的取值范圍是.

【題型4】含參函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識

已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.

10.若函數(shù)/(X)=履-〃氏在區(qū)間(l,y)單調(diào)遞增，則％的取值范圍是_；若函數(shù)/(X)在區(qū)間(l,y)內(nèi)

不單調(diào)，則左的取值范圍是

11.(23-24高三上?山東濟南.階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2x-asinx在R上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)

m的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)/(x)=(lT)lnx+ox在(1,+8)上不單調(diào)，則。的取值范圍是()

A.(0,+oo)B.(-oo,0)C.[0,+oo)D.(-℃,0]

【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)〃x)=]一_|爐+以+1在區(qū)間(1,4)上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍

是.

fJ

【鞏固練習(xí)3](2024?寧夏銀川?三模)若函數(shù)/(%)='-In尤在區(qū)間(北加+§)上不單調(diào)，則實數(shù)

機的取值范圍為()

22

A.0<m<—B.—<m<l

33

2

C.—<m<lD.m>l

3

【鞏固練習(xí)4】(23-24高三上?福建三明?期中)已知函數(shù)〃力=加-4ax-Inx,則在(1,3)上不

單調(diào)的一個充分不必要條件是()

A.B.。丈，+8)C,"1，+[D-W

【題型5】含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識

存在增區(qū)間或減區(qū)間可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于或小于零的相關(guān)不等式有解問題

12.若函數(shù)”x)=(x-〃z)2+lnx在區(qū)間(1,2)上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)加的取值范圍是.

13.(23-24高三上?福建泉州?階段練習(xí))若函數(shù)/7(x)=lnx-gax2-2尤在［1,4］上存在單調(diào)遞增區(qū)間,

則實數(shù)。的取值范圍為()

A.［-1,+<?)B.(-1,+<?)C.ID-I-005-77I

【鞏固練習(xí)1］若函數(shù)gQ)=lnx+gd-(6一1卜存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)6的取值范圍是()

A.[3,+oo)B.(3,+oo)

C.(-oo,3)D.(-oo,3]

【鞏固練習(xí)2］若函數(shù)/(無)=111苫-；62-2》存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)3］若函數(shù)/(x)=lnx+a/-2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍

是()

A.(-oo,-2)B.C.(-2,+oo)D.(-8,+co)

【鞏固練習(xí)4】若函數(shù)/(x)=(f+儂)/在-g］上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則加的取值范圍

是_______

【題型6】最多有1個極值點的函數(shù)單調(diào)性分析

基礎(chǔ)知識

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)確定函數(shù)“X)的定義域;

(2)求出導(dǎo)數(shù)/'(無)的零點;

(3)先討論零點無意義或不在定義域內(nèi)的情況，此時/'(x)的正負是確定的，即“X)單調(diào)

(4)當(dāng)零點在定義域內(nèi)時，用/'(無)的零點將/(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出廠(力在

各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

14.(2024.全國.高考真題)已知函數(shù)/(x)=a(x-l)-lnx+l.⑴求“X)的單調(diào)區(qū)間.

15.(2023?全國?高考真題)已知函數(shù)〃x)=a(e*+a)-尤.⑴討論的單調(diào)性；

16.(2024?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)"x)=x-lnx-E.判斷函數(shù)的單調(diào)性.

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)〃力='+111；-1,4€員討論函數(shù)〃力的單調(diào)性;

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/。)=依-21nx.討論函數(shù)/(>)的單調(diào)性;

【鞏固練習(xí)3】(2024?陜西渭南?二模)己知函數(shù)/(x)=ln(x+l)—如，其中meR.討論〃x)的

單調(diào)性；

【鞏固練習(xí)4】(2024?山東棗莊?模擬預(yù)測)已知函數(shù)分”**…,/⑴為f(x)的導(dǎo)數(shù)，討論了'⑶

的單調(diào)性;

【鞏固練習(xí)5](2024?浙江寧波?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ex-ax-l.討論Ax)的單調(diào)性;

【題型7】最多有2個極值點的函數(shù)單調(diào)性分析(可因式分解)

基礎(chǔ)知識

這類題型最多需要討論五種情況，具體步驟如下：

第一步：求/(%)的定義域

第二步：求出/'(X),通分

第三步：令((?=0,因式分解求出其2個根，一個含參一個不含參

第四步：先討論含參的根不在定義域內(nèi)或無意義的情況，此時/(幻只有一個極值點

第五步：論含參的根在定義域內(nèi)，分3種情況討論兩個根之間的大小關(guān)系，令/'(x)>0,解出x的

取值范圍，得函數(shù)的增區(qū)間；令/'。)<0,解出x的取值范圍，得函數(shù)的減區(qū)間.

注意：若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“U”、“或”