安徽省亳州市2025屆高三上學期開學摸底大聯(lián)考數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)(l+i)4(l-。對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

2.已知集合4-{xeN*\x-5x-14<0],B={x\log2(x-2)<2}.則圖中陰影部分表示的集合為()

A.{3,4,5}B.{1,2}C.{3,4,5,6}D.[1,2,6}

3.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：1,2,6,8,9,小，這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則m為()

A.9B.10C.11D.12

4.已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周都在同一個體積為與兀的球面上，該圓柱的側(cè)面積為

()

A.87rB.67rC.57rD.4TT

5.已知aG(0,1),sin3a=5sinacos2a,則tana值為()

A.73B.?C.苧D.1

6.已知雙曲線C：a-V=1缶>0),點用在。上，過點M作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為48,若

|M川?|MB|=[,則雙曲線C的離心率為()

y/~6口2V-3?2-/6「=

AA.—B.—C.—D.V3

7.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,y=/(%)+蠟是偶函數(shù)，y=/(%)-3蠟是奇函數(shù)，則f(ln3)的值為()

A-lB.3T州

8.數(shù)列｛即｝的前71項和為%,滿足與+1-=dn6=2,則S1O可能的不同取值的個數(shù)為()

A.45B.46C.90D.91

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

□

9.已知隨機變量X滿足：X?B(4,p),0<p<l,E(X)=]D(X),貝U()

741122

A.p=jB.E(X)=IC.F(2X+1)=yD.D(2X+1)=等

10.設函數(shù)/(x)=(x-a)2(K-4),定義域為R,若關(guān)于x的不等式/(%)20的解集為{x|x24或x=1},下

列說法正確的是()

A./Q)的極大值為0

B.點(2,-2)是曲線y=/(久)的對稱中心

C.直線y=9x-4與函數(shù)f(x)的圖象相切

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(科4)上存在最小值，則小的取值范圍為(0,3)

11.已知曲線C:(%2+y2-2)2=4+8盯，點P(x(),yo)為曲線C上任意一點，貝!]()

A.曲線C的圖象由兩個圓構(gòu)成

B.詔+羽的最大值為

D.直線y=x+2與曲線C有且僅有3個交點

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量1=(2,3),3=(zn,|),且@+2區(qū))〃落則向量B在向量2上的投影向量坐標是.

13.已知函數(shù)/(%)=2sino)x與g(x)=2cos3x(3>0)的圖象上任意3個相鄰的交點構(gòu)成直角三角形，則

0)=.

14.用n個不同的元素組成爪個非空集合(1<根<打，每個元素只能使用一次)，不同的組成方案數(shù)記作

S針，且當n>mN2時，S鏟=S^i+7nS公1.現(xiàn)有7名同學參加趣味答題活動，參加一次答題，即可隨機

獲得4B,C,D四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學獲得卡片

后，可集齊全4種卡片的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在△力BC中，內(nèi)角4所對的邊分別為a,瓦c,強=2sin(C—1

COSD、6Z

⑴求8；

(2)若44BC的面積為邊上的高為1,求44BC的周長.

16.(本小題12分)

已知橢圓蜷+苴=l(a>6>0)的左、右焦點為&,尸2，離心率為容，點P為橢圓C上任意一點，且回

P&F2的周長為6+4，2

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線=%+門與直線%：y=x-，百分別交橢圓C于4B和C,D兩點，求四邊形2BCD的面積.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，AB//CD,^ABC=90°,平面PAD1平面力BCD,AB=2CD=2BC=4.

P

(1)證明：PA1FD；

(2)若P4=PD=2,點M為棱AB的中點，求二面角力—PD-M的余弦值.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=x—ln(x—a),a>0.

(1)若x=2為函數(shù)/(久)的極值點，求a的值；

(2)若不等式x-/(久)+V9a-4%<Ina+a-ln2恒成立，求a的取值范圍.

19.(本小題12分)

已知數(shù)列｛aj對于任意的neN*,都有an+an+2>2廝+1，則稱數(shù)列｛%J為“凹數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列與=2"是否為“凹數(shù)列”，請說明理由；

(2)已知等差數(shù)列｛%｝,首項為4,公差為d,且｛個｝為“凹數(shù)列”，求d的取值范圍；

(3)證明：數(shù)列｛4｝為“凹數(shù)列”的充要條件是“對于任意的neN*,當時，有牢華<

n-m

參考答案

l.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.5

7.D

8.F

9.BCD

10.ABC

11.AC

1Z(1，|)

13字

4

14空

*1024

15.解：(1)由=2sin(C—》得cos/=2cosB(字sinC—gcosC)①,

由A+B+C=7T,得cosZ=-cos(B+C)=—cosBcosf+sinBsinC②，

由①②聯(lián)立，得sinBsinC=-\A3cosBsinC,

由CG(0,7r),得sinCW0,所以tanB=V3,

又由86(0,兀)，得3=0

(2)因為△ABC的面積為門，

所以2bx1=V_3，得b=2V-3,

由gacsinB=即gacx苧=所以ac=4,

由余弦定理，得爐=a2+c2—2accost,即12=a2+c2—ac,

所以(a+c)2=Sac+12=24,可得a+c=2y/~6,

所以△ABC的周長為a+b+c=2yf6+2/3.

(2a+2c=6+4<2

16.解：(1)由題意知I。？=^+c2,

lc_2/2

\a-

解得Q=3,b=l,c=2V~2,

則橢圓C的方程為卷+y2=1;

(2)易知四邊形力BCD為平行四邊形，

設4。21)8(如、2)，

y=x+V-3—

聯(lián)立直線k與橢圓C:1%2,消去y并整理得5/+973%+9=0,

(§+y2=i

由韋達定理得%1+%2=—―,%i%2=

\AB|=V1+fc2,4(%i+汽2/一4%I%2=3[14,

因為與CO平行，所以這兩條直線的距離4=恒穿到=混，

V2

則平行四邊形力BCD的面積S=|4B|?d=?X*=等.

17.解：⑴

證明：因為力B〃C，N48C=90。，所以N8CD=90。，

所以BD=VBC2+CD2=272,ZCBD=45°,所以乙28。=45",

所以加=BD2+AB2_2BD-AB-cos45"

=8+16-2x2AA2x4x苧=8,

所以AB2=BO2+4/)2,所以NADB=90。，即4D1BD,

又因為面PAD1面ABC。，面PADn面4BCD=AD,BDu面ABC。,

所以BD1面PAD,

又因為PHu面PAD,所以B。1PA;

(2)

解：取4D的中點。，連接PO,MO,

由(1)知=因為P2=PD=2,易知P。14D,P。=逅，

因為M為的中點，。為2。的中點，所以。M=2Bn=，2,0M〃BD,

所以。M_L平面PAD,所以。P,OM,OD兩兩垂直，

以。為坐標原點，OM,OD,OP所在直線分別為居y,z軸，建立空間直角坐標系,

則4(0,0),P(0,0,遍),。(0,您,0),M(^2,0,0),

則麗=(0,42,-A<2),PM=[42,0,-4T),

平面力PD的法向量為記=(1,0,0),

設平面PDM的法向量為元=(x,y,z),

貝1(記-~PD-(x,y,z)■(0,-V_2)=y[2y-=0

'in-PM=(x,y,z)■(72,0,-72)=-g=0'

令z=1,則％=y=l,故元=(1,1,1),

L—>一、m-n1AT3

故+c°sz〈a，n〉=而而=方=可,

設二面角a-PD-M的大小為0,由圖形可知，。為銳角,

故二面角4—PD—M的余弦值為早.

18.解：(1)由題/0)=1—4，故((2)=1—3=0,解得a=l,

此時/'(%)=比一ln(x-1)，故定義域為(1,+8),((乂)=1一六=冷,

所以當x€(1,2)時尸Q)<0,x6(2,+8)時，/(%)>0,

所以久=2為函數(shù)的極值點，故a=l.

(2)

設九(%)=ln(x一a)+V9a-4%,定義域為(口號］

元(%)=J__2=79a-4-a),

lx—aV9a—4%(%—a)V9a-4x'

設g(%)—V9a—4%一2(%-a)(a<%<當)，

所以“⑺=焉|叁—2<0,所以g(x)在(a片)上單調(diào)遞減，

又g(a)=/5a>0,g(?=-y<o,g(x)在(a,等上連續(xù),

所以存在%oe(a,彳)使g(%0)=yj9a—4x0—2(x0—a)—0,

當％￡(a,%o)時，g(x)>0,即“(%)〉0,函數(shù)h(%)單調(diào)遞增，

當％E(%(),竽］時，g(x)<0,即"(%)V0,函數(shù)h(%)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)八(%)的最大值為

/i(x)max=h(x0)=ln(x0—a)+J9a—4%。=ln(x0—a)+2(x0—a),

因為％—/(%)+V9a-4%<Ina+a—ln2恒成立，

即ln(%°—a)+2(%Q—CL)<In卷+2x，［旦成立，

設m(%)=Inx+2x(x>0),則M(%)=-+2>0,所以？n(%)單調(diào)遞增，

所以Xo—a/即XoW竽恒成立，

因為gO)在(a,苧)上單調(diào)遞減，且g(%o)=0,

所以只需9管)<0恒成立，即/寶—aWO,

解得a>3.

故a的取值范圍是［3,+8).

19.解：(1)

nn+2n+1n+1n+1nn

因為tin=2,則an+2—an+1=2-2=2,an+1—an=2—2=2,

n

又2"+i>2,故即+2-an+1>an+1-an,即廝+an+2>2an+1,數(shù)列｛20是“凹數(shù)列

(2)

因為等差數(shù)列｛g｝的公差為d,bi=4,

所以6n=&+(7i—l)d=4+(n—l)d,

所以嗎+喑>2X組對任意n>2,neN*恒成立,

n—1n+1n

4+(九一2)d+4+nd

即>?X4+(nT)d

n—1n+1n

所以"甘+d+W>2(d+F),

ii