專題11立體幾何專題（數(shù)學文化）

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習）笛卡爾是世界著名的數(shù)學家，他因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾

何之父.據(jù)說在他生病臥床時，還在反復思考一個問題：通過什么樣的方法，才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？

突然，他看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標系的雛形.在如圖所示的空間

直角坐標系中，單位正方體頂點A關于x軸對稱的點的坐標是（）

A.B.(1,1,1)

C.(1,—1,1)D.(―1,—1,—1)

【答案】B

【分析】由圖寫出點A的坐標，然后再利用關于x軸對稱的點的性質寫出對稱點的坐標.

【詳解】由圖可知，點41,-1,-1）,所以點A關于x軸對稱的點的坐標為（1,U）.

故選：B.

2.（2022春?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏

縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺的立體結構圖.已知底面圓的直徑=16cm,圓柱體的

高3c=8cm,圓錐體的高CD=6cm,則這個陀螺的表面積是（）

A.192兀cm?B.208TIcm2C.272Kcm2D.336TIcm2

【答案】C

【分析】結合組合體表面積的計算方法計算出正確答案.

【詳解】圓柱、圓錐的底面半徑為8cm,

圓錐的母線長為，6?+8?=10cm，

所以陀螺的表面積是兀x8?+27tx8x8+7rx8xlO=2727rcm2.

故選：C

3.（2022秋?安徽?高二合肥市第八中學校聯(lián)考期中）《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作，

其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實為“底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐”.如圖，在“陽

馬”A-OBCD中，E為AACD的重心，若麗=￡,AC=b，AD=c，則麗=（）

【分析】連接AE并延長交C。于點R則尸為的中點，利用向量的加減運算得答案

【詳解】連接AE并延長交C。于點憶

—.2—.

因為E為AACD的重心，則/為CO的中點，且=

0O1,11

:.BE=AE-AB=-AF-AB=-x-（AC+AD]-AB=-AC+-AD-AB

332、133

=-a+—b+—c.

33

故選：B.

A

4.（2022秋?河南商丘?高三校聯(lián)考階段練習）樺卯是一種中國傳統(tǒng)建筑、家具及其他器械的主要結構方式,

是在兩個構件上采用凹凸部位相結合的一種連接方式.凸出的部分叫做樺（或叫樺頭），凹進部分叫卯（或

叫樺眼、樺槽）.現(xiàn)要在一個木頭部件制作一個梯眼，最終完成一個直角轉彎結構的部件，那么制作成的棒

眼的俯視圖可以是（）

制作卯眼的部件結果圖

【答案】B

【分析】利用排除法結合俯視圖的定義和已知條件分析判斷.

【詳解】法一：樟眼的形狀和樟頭一致，故樟眼的俯視圖的輪廓線為虛線且從結果圖可知樺眼應為通透的,

排除AD；

又C選項的結構左下方部分缺了一塊，這與樺眼的結構不符，符合條件的只有B.

法二：因禪眼的制作部件為長方體，所以，C,D不正確；又棒眼應為通透的，

所以A不正確，所以符合條件的只有B.

故選B.

5.（2021秋?江西宜春?高二上高二中校考階段練習）張衡是中國東漢時期偉大的天文學家、數(shù)學家，他曾經(jīng)

得出圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱錐A-3co的每個頂點都在球。的球面上，底面

BCD,BCLCD,且AB=CD=2,BC=1,利用張衡的結論可得球。的表面積為（）

A.30B.——C.5y/lQD.9^/10

2

【答案】D

【分析】由BCLCD,AB上底面BCD,將三棱錐A-BCD放在長方體中，求出外接球的半徑以及圓周率

的值，再由球的表面積公式即可求解.

【詳解】如圖所示：

因為3C_LCD,AB_/,底面367）,BC=\,AB=CD=2,

所以將三棱錐A-BCD放在長、寬、高分別為2,1,2的長方體中,

三棱錐A-3CD的外接球即為該長方體的外接球，

外接球的直徑4）=^BC2+CD2+AB2=A/12+22+22=3，

利用張衡的結論可得廠=*,則兀=M,

168

所以球。的表面積為4兀97i=9\/10.

故選：D.

6.（2021春.陜西榆林.高三?？茧A段練習）“天圓地方”觀反映了中國古代科學對宇宙的認識，后來發(fā)展成為

中國傳統(tǒng)文化的重要思想.中國古人將琮、璧、圭、璋、璜、琥六種玉制禮器謂之"六瑞”，玉琮內(nèi)圓外方，

表示天和地，中間的穿孔表示天地之間的溝通，可以說是中國古代世界觀很好的象征物.下面是一玉琮圖及

其三視圖，設規(guī)格如圖所示（單位：cm）,則三視圖中A,B兩點在實物中對應的兩點在實物玉璧上的最小

距離約為（）（萬?3,夜。1.4）

【答案】A

【分析】玉琮的中空部分看成一圓柱,A,B兩點可看成是圓柱軸截面所對應矩形的對角線的端點，將圓柱

側面展開，線段A3的長就是沿該圓柱表面由A到8的最短距離.

【詳解】本題考查傳統(tǒng)文化與圓柱的側面展開圖.由題意，將玉琮的中空部分看成一圓柱，A,3兩點可看

成是圓柱軸截面所對應矩形的對角線的端點，現(xiàn)沿該圓柱表面由A到B,如圖，將圓柱側面展開，可知

陰）皿=,36+4萬2?8.4.

故選：A.

7.（2022.全國?高一專題練習）《九章算術》中有這樣的圖形：今有圓錐，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈

=10尺）；若該圓錐的母線長x尺，貝ijx=（）

A-B.FC?F

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐的底面周長求出底面半徑，從而利用勾股定理即可求出該圓錐的母線長.

【詳解】易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺，

,35

設圓錐的底面半徑為,，則2"=35,所以r=3，

2萬

故選：C.

8.（2021秋?吉林四平?高三四平市第一高級中學?？茧A段練習）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，半正

多面體是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體.如圖，某廣場的一張石凳就是

一個阿基米德多面體，它是由正方體截去八個一樣的四面體得到的.若被截正方體的棱長為40cm,則該阿

基米德多面體的表面積為（）

C.3600+3600V31cm2D.3600+1200V3)cm2

【答案】A

【分析】通過圖形可知阿基米德多面體是由六個全等的正方形和八個全等的等邊三角形構成，分別求解正

方形和等邊三角形面積，加和即可.

【詳解】由題意知：阿基米德多面體是由六個全等的正方形和八個全等的等邊三角形構成，

其中正方形邊長和等邊三角形的邊長均為12（）2+2。2=200；

二阿基米德多面體的表面積5=6x（20后y+8xgx200x200x5=4800+1600G（cm?）.

故選：A.

9.（2022秋.寧夏吳忠.高二青銅峽市高級中學校考開學考試）牟合方蓋是由我國古代數(shù)學家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并

采用的一種用于計算球體體積的方法，該方法不直接給出球體的體積，而是先計算牟合方蓋的體積.劉徽通

過計算，“牟合方蓋”的體積與球的體積關系為一,并且推理出了“牟合方蓋”的八分之一的體積計算公

式，即烏=*_力蓋差，從而計算出％=：萬，.如果記所有棱長都為「的正四棱錐的體積為v,則5差蓬：V=

83

C.V2D.26

【答案】C

【分析】計算出小"，V，即可得出結論.

11441

【詳解】由題意，/蓋差=/一弓嗔=7-6、一'￡'獷/=?3,

oo7T5J

所有棱長都為廠的正四棱錐的體積為^=Lrxrx=/

故選：C.

10.(2022秋?湖北襄陽?高二襄陽市第一中學?？茧A段練習)《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾

何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC-A4c中,

M，N分別是叫的中點，G是跖V的中點，若/=彳麗+、福+zZ?,則x+y+z=()

【答案】A

【分析】利用空間向量運算求得正確答案.

【詳解】AG=7+-AC+AB+-

所以％+y+z=7+：+：=7

2442

故選：A

11.（2022秋.江西撫州?高二臨川一中?？计谥校┤鐖D，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工

藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個出現(xiàn)“德”字的器物,

證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm,上

口直徑約為28cm,經(jīng)測量可知圓臺的高約為16cm,圓柱的底面直徑約為18cm,則該組合體的體積約為（）

（其中兀的值取3）

A.11280cm3B.12380cm3C.12680cm3D.12280cm3

【答案】D

【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的體積公式即可求解.

【詳解】由題意得圓柱的高約為40-16=24（cm）,

貝何尊的體積V=/臺+囁柱=]x（142+92+14x9）xl6+7i：x92x24212280（cm3）

故選：D.

12.（2022秋.安徽.高三校聯(lián)考開學考試）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第11

卷中將軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為“直角圓錐”.若一個直角圓錐的側面積為30萬，則該圓錐的體積

為（）

A.不兀B.3萬C.4A/2JTD.6拒兀

【答案】A

【分析】根據(jù)直角圓錐性質求出圓錐高、母線與底面半徑關系，根據(jù)圓錐體體積與側面積公式求解.

【詳解】設圓錐底面半徑為「，根據(jù)直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形可得，

圓錐高〃=廠，母線長；五廠，

圓錐的側面積為==3"'兀，解得廠=有，

所以圓錐的體積為=；nx舊x有=6兀.

故選：A.

13.（2022秋?青海西寧?高三統(tǒng)考期中）我國歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四

阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長方形足、器內(nèi)底

中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm,口長13.5cm,口寬12cm,底長12.5cm,底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積，

上部分可以看作四棱錐，高約8cm,下部分看作臺體，則其體積約為（）（參考數(shù)據(jù)：713125?11.5,

V162?12.7）

A.7460.8cm3B.87L3cm3C.1735.3cm3D.2774.9cm3

【答案】D

【分析】根據(jù)棱臺與棱錐的體積公式計算可得.

【詳解】解：因為彩=g（s上+S下+JS上告）h

=1（162+131.25+7162x131.25）xl6=2342.9cm3,

%=|s//=|xl62x8=432cm3,所以V=嗅+%=2774.9cn?.

故選：D

14.（2022秋.湖北.高二校聯(lián)考期中）在中國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，

該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，

它的高為4,AA,,BB-CC,,。，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為2和4,對

應的圓心角為90。，則圖中異面直線A片與所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解異面直線入月與CA所成角的余弦值.

設上底面圓心為。一下底面圓心為0,連接。OC,0B,

以。為原點，分別以oc,。3,0a所在直線為x軸、＞軸、z軸，建立空間直角坐標系,

則C（2,0,0）,4（0,4,0）,4（0,2,4）,4（4,0,4）,

則西=（2,0,4）,祠=（0,-2,4）,

cos（國,聞=生產(chǎn)=「心=-

又異面直線所成角的范圍為，

4

故異面直線AB,與CD,所成角的余弦值為j.

故選：A.

15.（2023?江西撫州?高三金溪一中?？奸_學考試）中國某些地方舉行婚禮時要在吉利方位放一張桌子，桌

子上放一個裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱心如意、

十全十美.下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，把該升斗看作一個正四棱臺，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為

()(參考數(shù)據(jù)：V91.75?9.6,1L=1000cm3,參考公式：匕j.=g(s上+S下+上下)?/?)

A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L

【答案】B

【分析】由勾股定理算出高九即可由公式求體積.

繼底-22

011721V2=變=91.75,

【詳解】由題意，正四棱臺中，設棱臺的高為0，則〃2=11.5?-

2翔24

故/臺=gx202+112+A/202-112|x791.7522371.2cm3?2.4L.

故選：B

16.（2022春?湖南長沙?高二湖南師大附中?？茧A段練習）波利亞在其論著中多次提到“你能用不同的方法推

導出結果嗎？"，“試著換一個角度探索下去……”.這都屬于“算兩次”的原理.另外，更廣義上講，“算兩次”也

是對同一個問題，用兩種及其以上的方法解答出來，即對同一個問題解兩次，得到相同的結果，體現(xiàn)殊途

同歸，一題多解.試解決下面的問題：四面體ABC。中，AB=CD=6,其余的棱長均為5,則與該四面體各個

表面都相切的內(nèi)切球的表面積為（）

797r73463乃

A.-----B.C.-----D.47r

25"20"16

【答案】C

【分析】取8的中點E,連接A瓦AE,取A5的中點尸，連接斯，即可得到CO,平面ABE,求出邑ME，

即可求出三棱錐的體積，設內(nèi)切球。的半徑為R,利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求出內(nèi)切球的表面

積;

【詳解】解：取C。的中點E,連接AE,BE,取A8的中點R連接所,

由題意AE_LCD,BELCD,

又AEcBE=瓦AE,BEu平面ABE,CDJ_平面ABE,

又AB=CD=6,其余棱長均為5,；.AD=5,OE=3,在中，可得A￡=4,同理可得3E=4,

所以等腰三角形ABE底邊上的高斯=？=療，SAABE=1x6xV7=3幣,

???三棱錐至。的體積=

又SMCD=；XCZ）XAE=12,設內(nèi)切球。的半徑為R,

三棱錐的體積V==4x]x5AA②xR,可得R=±2,

38

所以球的表面積為=4%=孚萬.

6416

故選：C.

17.（2022秋.黑龍江齊齊哈爾?高二齊齊哈爾市第八中學校?？奸_學考試）燈籠起源于中國的西漢時期，兩

千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠

的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側面，中間是球面的一部分（除去兩個球冠）.如圖

2,球冠是由球面被一個平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑

為R,球冠的高為〃，則球冠的面積5=2萬R/z.已知該燈籠的高為46cm,圓柱的高為3cm,圓柱的底面圓

直徑為30cm,則圍成該燈籠所需布料的面積為（）

圖1

A.2090^cm2B.2180^cmC.2340^-cm2D.24307rcm2

【答案】B

【分析】由勾股定理求出R,則/z=R-20=5cm,分別求出兩個球冠的表面積、燈籠中間球面的表面積、

上下兩個圓柱的側面積即可求出圍成該燈籠所需布料的面積.

2

46-6

【詳解】由題意得玄-I=15，得7?=25cm,/?=25-20=5cm,

2

所以兩個球冠的表面積之和為2s=4兀Rh=500^-cm2,

燈籠中間球面的表面積為4兀R2-500萬=2000%cm?.

因為上下兩個圓柱的側面積之和為2x30%x3=180萬cm?,

所以圍成該燈籠所需布料的面積為2000萬+180]=2180萬cm?.

故選：B.

18.（2022秋?湖北武漢?高二武漢市第十一中學校考階段練習）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習俗，

粽子主要分為南北兩大派系，地方細分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，

是用當?shù)靥赜械亩~、水草包裹糯米、綠豆、豬肉、咸蛋黃等蒸制而成的金字塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一

個正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個球體,那么，當咸蛋黃的體積為三時,該裹蒸粽的高的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】要使正四面體的高最小，當且僅當球與正四面體相內(nèi)切，內(nèi)切球的半徑為人根據(jù)球的體積求出乙

再根據(jù)等體積法求出h；

【詳解】解：要使正四面體的高最小，當且僅當球與正四面體相內(nèi)切，

設正四面體的棱長為。，高為M內(nèi)切球的半徑為,，則?/=?，解得廠=1,

如圖正四面體S-ABC中，令。為3C的中點，。1為底面三角形的中心，貝!底面ABC

?r,即人=4廠=4.

故選：A

19.(2023?全國?高三專題練習)魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方)起源于古代中國建筑的樟卯結

構.如圖1,這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2,則該魯班鎖

A.8(6+6夜+君)B.6(8+8直+⑹

C.8(6+6用?D.6(8+8g+匈

【答案】A

【分析】補形出正方體,結合圖形求出正方體棱長，然后直接求解可得.

【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，

如圖，因為AO=BD,AB=2,/ADB=%,所以AO=2sin工=0

24

故該正方體的棱長為2+2收，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2,側棱長為0,則該幾何體的表面積為

2

S=6[(2+2A/2)-4X1X^XV2]+8X1X2XA/3=8(6+6A/2+V3).

22

故選：A

20.（2022秋?江蘇連云港?高三校考階段練習）芻（c/0薨（/胡g）是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，其結構特

征是：底面為長方形，上棱和底面平行，且長度不等于底面平行的棱長的五面體，是一個對稱的楔形體.

上極長

已知一個芻篇底邊長為6,底邊寬為4,上棱長為2,高為2,則它的表面積是（）

A.24后B.24+24立

C.24+24如D.24+1672+875

【答案】B

【分析】計算出幾何體每個面的面積，相加即可得解.

【詳解】設幾何體為歷-ABCD,如下圖所示：

矩形ABC。的面積為6x4=24,

側面為兩個全等的等腰三角形AABE、KDF,兩個全等的等腰梯形ALEE、BCFE,

設點E、尸在底面ABCD內(nèi)的射影點分別為G、H,

過點G在平面A5CD內(nèi)作GML3C,連接EAf,

過點H在平面A3CD內(nèi)作HNLCD,連接FN,

平面A3CD,HN、CDu平面ABC。，:.FH±CD,FHLHN,

-.HN±CD,FHC\HN=H,\CE）A平面尸HN,

?:FNu平面FHN,;.FNLCD,易知EF/=2,HN=2,

則在&CDF中，斜高為FN=slFH2+HN2=6+22=2A/2，

所以，SAABE=SACDF=^CD-FN=442,

同理可知，梯形BCFE的高為EM=yjEG2+GM~=722+22=272，

所以，S梯形ADFE=S梯形BCFE=5（EP+3C）.EM=80，

因此，該幾何體的表面積為24+2x（4A/2+8A/2）=24+240.

故選：B.

二、多選題

21.（2021秋.重慶沙坪壩.高二重慶市天星橋中學校考階段練習）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約

三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，

是一種古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長2cm,外徑長3cm,

筒高4cm,中部為棱長是3cm的正方體的一部分，圓筒的外側面內(nèi)切于正方體的側面，則（）

2---：

A.該玉琮的體積為18+—（cm3）B.該玉琮的體積為27-不（cn?）

44

C.該玉琮的表面積為54+7r（cn?）D.該玉琮的表面積為54+9兀（cm?）

【答案】BD

【分析】體積為圓筒體積（外圓柱減去內(nèi)圓柱體積）加上正方體體積減去內(nèi)切圓柱體積.

組合體的表面包含下面幾個部分：外圓柱側面在正方體外面的部分，正方體上下兩個底面去掉其內(nèi)切圓的

部分，圓筒的上下兩個底面（兩個圓環(huán)），正方體的4個側面，內(nèi)圓柱的側面，面積相加可得.

【詳解】由圖可知，組合體的體積V=/4xf|j-I2+3x3x3-兀x3x1||=27-彳（cn?）.

2

3

S=3KX1+2X3x3一兀x+3x3x4+2TIX+27ix4=54+97i(cm2).

2

故選：BD.

22.（2022.全國?高三專題練習）“端午節(jié)”為中國國家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質文化遺產(chǎn)名錄,

吃粽子便是端午節(jié)食俗之一.全國各地的粽子包法各有不同.如圖，粽子可包成棱長為6cm的正四面體狀

3

的三角粽，也可做成底面半徑為^cm,高為6cm（不含外殼）的圓柱狀竹筒粽.現(xiàn)有兩碗餡料，若一個碗

2

的容積等于半徑為6cm的半球的體積，貝U（）（參考數(shù)據(jù)：信名4.44）

A.這兩碗餡料最多可包三角粽35個

B.這兩碗餡料最多可包三角粽36個

C.這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個

D.這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個

【答案】AC

【分析】分別求出一個正四面體狀的三角粽的體積，一個圓柱狀竹筒粽得體積及兩碗餡料得體積，即可得

出答案.

14

【詳解】解：兩碗餡料得體積為：2x-x-^-x63=288^cm3,

23

如圖，在正四面體。-ABC中，CM為A8邊上得中線，。為三角形A8C的中心，則即為正四面體的高,

CM=6x^=3^cm,OC^CM=2^cm,OD=J36-12=2派m,

所以正四面體的體積為』x」x6x3若x2"=18":m3,

32

即一個正四面體狀的三角粽的體積為1805?,

因為288萬+180。35.52,

所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個，故A正確，B錯誤;

D

一個圓柱狀竹筒粽得體積為兀x6=?兀c底,

因為288萬——77=21.33,

2

所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

23.（2022?全國?高三專題練習）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、

四角攢尖、八角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可

近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30。，側棱長為0T米，則該正四棱

錐的（）

C.側面積為246平方米D.體積為12班立方米

【答案】ACD

【分析】畫出幾何體的直觀圖，結合已知條件求得棱錐的底面邊長，逐項求解，即可得到答案.

【詳解】如圖所示，在正四棱錐P-ABC。中，。為正方形ABC。的中心，且

設底面邊長為2a,正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30。,

所以/尸//。=301則0"=4,。尸=/。,尸"=漢1<2，

33

在直角VPHC中，可得"C2+pH2=pc2,即/+（差4=21,解得“=3,

所以正四棱錐尸-ABCD的底面邊長為6,所以A正確；

因為尸O/平面ABCD,所以NPBO為側棱網(wǎng)與底面所成的角，

在直角APOB中，可得cosNPBO=吆=喳=叵,所以B錯誤；

尸3&T7

正四棱錐P-ABCD的側面積為S=gx4x6x2Q=24用平方米，所以C正確;

正四棱錐尸-ABCD的側體積為丫=$6x6x6=12百立方米，所以D正確.

故選：ACD.

24.（2022秋?湖北襄陽?高二校考階段練習）在《九章算術》中，四個面都是直角三角形的三棱錐被稱為“鱉

席在鱉席尸―ABC中，上4,底面ABC,則（）

A.?元=0可能成立B.前.就=0可能成立

C.可?肥=0一定成立D.阮?福=0可能成立

【答案】BCD

【分析】利用線面垂直的判定與性質判斷出線線是否垂直，即可判斷對應的向量的數(shù)量積是否為0.

【詳解】因為PA_L底面ABC,所以R4_L3C,所以可.沅=0一定成立；故C正確.

若/BAC=90。，如圖所示:

p

則△ABC為直角三角形，所以BC2=AB2+AC2.

因為PA，底面ABC,所以PA，AC叢，AB,所以△RIB,AR4c均為直角三角形.

所以尸皆2=AB2+PA2,PC2=E42+AC2.

在△PBC中，由8c2=人笈+人。?，PB2=AB2+P^，PC?=夫發(fā)十人。?可知，三邊不滿足勾股定理，所以

△P3C不是直角三角形，三棱錐不是“鱉般”.故A錯誤.

由三棱錐是“鱉席”可知：△ABC為直角三角形.

由上面的推理可知：/BAC=90。不成立，貝IJ/4CB=9O°,或NABC=90。.

當NACB=90。時，AC1CB.

又出，3。，PAryAC=A,且以u面PAC,ACu面PAC,

所以BC人面PAC,所以3C，PC,則NPCB=90。，三棱錐是“鱉席”；故B正確.

同理可證：若NABC=90。，則/P3c=90。，三棱錐是“鱉膈”；故D正確.

故選：BCD

25.（2022春?廣東廣州.高一廣州科學城中學?？计谥校┨瞥镍P鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的

盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）,當這種酒杯內(nèi)壁的表面積（假設內(nèi)壁表面光滑，表

面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米）固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取

值可能為（）

D-后

【答案】AC

4

【分析】首先設圓柱的高與半球的半徑分別為"R,酒杯的容積為V,則S=2乃再根據(jù)

和%>0得至%陛犀，即可得到答案.

V10萬V2萬

【詳解】設圓柱的高與半球的半徑分別為心R,酒杯的容積為V,貝”=2萬r2+2萬的,

q

所以兀Rh=----TTR2,

2

2a12A(S°、兀&3S4q3

所以Vn—TTRS+TRZ〃n—TRa+l__^2\R=——R+-R<-^R

3312J323

解得R克

s、s

又h>0,所以二■—TTR>0,角軍得R<

22萬

S

所以

2萬

故選：AC.

26.（2022?海南?統(tǒng)考模擬預測）素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫

者的空間造型能力.“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型，如圖是某同學繪制“十字貫穿體”

的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一

條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相

對的側棱交于一點（該點為所在棱的中點）.若該同學繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2,高為6的

正四棱柱構成，則（）

A.一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線互相垂直

B.該“十字貫穿體”的表面積是112-160

C.該“十字貫穿體”的體積是48-3叵

3

D.一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點A出發(fā)，沿表面到達頂點B的最短路線長為：+40

【答案】BCD

【分析】根據(jù)圖形分別求出CD=20,CE=DE=巫,結合勾股定理判斷垂直；表面積是由4個正方形和

16個與梯形尸全等的梯形組成，分別計算；體積用兩個柱體體積減去重疊部分體積；分別計算按

AfCfPfMfDfB路線和在表面內(nèi)移動最短的路徑長.

【詳解】如圖一個正四棱柱的某個側面與另一個正四棱柱的兩個側面的交線CE、DE

則在梯形8DEE中，可知3￡>=3-0，BF=2,EF=3,DE=?BE=A

根據(jù)立體圖可得CD=2&,CE=DE=4b,顯然CE2+_DE2ACO?

即CE、不垂直，A不正確;

該“十字貫穿體”的表面積是由4個正方形和16個與梯形尸全等的梯形組成

則表面積5=4x4+16x3+3-3x2=112-16a,B正確；

2

如圖兩個正四棱柱的重疊部分為多面體CDGEST,取CS的中點I

則多面體CDGKST可以分成8個全等三棱錐C-GE/,則/儂=｝應*2=半

該“十字貫穿體”的體積即為丫=2x24-8/_GE,=48-竽，C正確；

若按AfCf尸.AffO38路線，則路線長為4（3-收）+2收=12-2后

若在表面內(nèi)移動，則有:

借助部分展開圖，如圖所示:

cosZFEN=cos2a=2cos2a-1=-1<0,即NFEN為鈍角，過8作NE的垂線8H,垂足為“，則8H在

展開圖內(nèi)

sinZBEN=sin（2a-^）=sin2acosp-cos2asinp=+千5

BH=BEsinZBEN=-+20

3

根據(jù)對稱可知此時最短路徑為2BH=|+4>/2<12-20

則從頂點A出發(fā)，沿表面到達頂點8的最短路徑為：+40,D正確;

故選：BCD.

27.（2022?全國?高三專題練習）祖晅（公元5—6世紀，祖沖之之子），是我國齊梁時代的數(shù)學家，他提出

了一條原理：“塞勢既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的

面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖將底面直徑皆為勖，高皆為。的橢半球體和已被挖去了圓錐體

的圓柱體放置于同一平面夕上，用平行于平面夕且與夕距離為d的平面截兩個幾何體得到S回及S環(huán)兩截面,

可以證明端=S環(huán)總成立，若橢半球的短軸AB=6,長半軸CD=5,則下列結論正確的是（）

B.橢半球體的體積為157r

C.如果M=4"，以尸為球心的球在該橢半球內(nèi)，那么當球尸體積最大時，該橢半球體挖去球產(chǎn)后，體

積為三-萬

D.如果聲=4方，以P為球心的球在該半球內(nèi)，那么當球尸體積最大時，該橢半球體挖去球尸后，體積

為291

【答案】AC

【分析】由題可得胃=；唳球=%柱-愉錐，可判斷AB,利用橢圓的性質可得球尸的最大半徑為1,進而可

判斷CD.

【詳解】由題意知，短軸AB=6,長半軸CD=5的橢半球體的體積為

丫=/橢球=唳柱一/1錐=萬.[1）.5-g?乃仁）,5=30萬'，A正確'B錯誤；

橢球的軸截面是橢圓，它的短半軸長為3,長半軸長為5,所以半焦距為4,

由于m=4詬，所以B橢圓的焦點，因此ED是橢圓的最小焦半徑，即球F的最大半徑為1,

該橢半球體挖去球尸后，體積為30〃-方萬=與"，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

28.（2022秋?上海浦東新?高二上海市建平中學?？茧A段練習）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，定義了

三個特別重要而基本的多面體，它們是：（1）“塹堵”：兩個底面為直角三角形的直棱柱；（2）“陽馬”：底面

為長方形，且有一棱與底面垂直的棱錐；（3）“鱉席（bienAo）”：每個面都為直角三角形的四面體.魏晉時期

的大數(shù)學家劉徽進一步研究發(fā)現(xiàn)：任何一個“塹堵”都可以分割成一個“陽馬”和一個“鱉席”且“陽馬”和“鱉膈”

的體積比為定值.則此定值為.

【答案】2:1

【分析】畫出圖形，在圖形中分別表示出“陽馬”和“鱉席”的體積即可求解.

【詳解】如圖所示，圖為底面為直角三角形的直三棱柱“嶄堵”，ZABC=9ff,

若以△人1片G作為“鱉席”的底面，則可選點A或點C作為頂點，

我們選取點c為例，連接4C4C,則四面體C-A與G滿足條件，

且棱錐也滿足“陽馬”的條件，

3C1面A4出出且四邊形AA43為長方形，

設AB=c,BC=a,AC=b,BB、=h,

則“塹堵”的體積為，

22

“鱉膈”的體積為，ac-/ix』=Lc/z,

236

所以"陽馬"的體積為』aM-工ac/z=■ac/z,

263

所以“陽馬”和“鱉席”的體積比為2：1.

故答案為21.

29.（2022秋.上海浦東新?高三上海市建平中學?？茧A段練習）我國古代將四個面都是直角三角形的四面體

稱作鱉腌，如圖，在鱉SIS-ASC中，SCL平面ABC,AABC是等腰直角三角形，且AB=SC,則異面直

線8C與9所成角的正切值為.（寫出一個值即可，否則有兩個答案）

【答案】五或6（寫出一個值即可）

【分析】分類討論AABC是等腰直角三角形中,A為直角，8為直角，C為直角，三種情況即可.

【詳解】解：因為AABC是等腰直角三角形，當B為直角時，

作正方形48CD,連接SD,

則異面直線3C與&4所成角的平面角為/&W（或其補角）,

又由已知有3C_LCD,BCLSC,

所以面SCD,即40，面50即AD_LSD,

設AB=SC=1,則AD=1,SD=72，

所以tan/SAD=%^=&,

AD

即異面直線3C與所成角的正切值為&；

因為AABC是等腰直角三角形，當A為直角時，

建立如圖所示空間直角坐標系，

設AB=SC=1,則AC=1,

A(0,0,0),3(1,0,0),C(0,l,0)5(0,1,1),

所以阮=(-1,1,0),豆=(0,-l,-D，

cos(BC,SA)==-^-j==1,所以(而，裒)=(,則tan(前，克”上,

所以異面直線BC與S4所成角的正切值為力;

因為44SC是等腰直角三角形，當C為直角時,

因為SC_L平面ABC,AABC是等腰直角三角形,

所以SC_LC4,SC_LC3,C4_L,

設AB=SC=1,

所以CA=CB=g

2

所以SA=S3=逅，

2

止匕時NASCWNACB,

所以△S4B不可能為直角三角形，不滿足題意.

綜上可得異面直線3C與&4所成角的正切值為丘或6

故答案為：拒,或6

30.（2022春?浙江寧波?高二?？紝W業(yè)考試）寧波老外灘天主教堂位于寧波市新江橋北觀，建于清同治十一

年（公元1872年）.光緒二十五（1899年）增建鐘樓，整座建筑由教堂、鐘樓、偏屋組成，造型具

有典型羅馬哥特式風格.其頂端部分可以近似看成由一個正四棱錐和一個正方體組成的幾何體，且正四棱

錐的側棱長為10m,其底面邊長與正方體的棱長均為6m,則頂端部分的體積為.

【答案】216+12短m3

【分析】根據(jù)棱柱和棱錐的體積公式計算可得；

【詳解】解：依題意可得如下直觀圖，AB=6m,1s4=10m,設AC與2。的交點為0,則SO為正四棱錐

的高，

所以40=*=興嶼+叱=30,SO7s尺-A"庖,

33

所以匕一曲》=$6x6x短=12廊m,VABCD_AiB[C}Di=6x6x6=216（m）,

所以V=216+12庖（m3）

31.（2022?全國?高三專題練習）蹴鞠，2006年5月20日，已作為非物質文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批

國家非物質文化遺產(chǎn)名錄.蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球，因而蹴鞠就

是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.已知某鞠（球）的表面上有四個點（不共面）

A、B、C、D,AB=CD=2,AC=BD=y/3,BC=AD=y/5,則該鞠（球）的體積為.

【答案】忌

【分析】根據(jù)題意可知，三棱錐A-3CD的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，且三棱錐A-BCD的三

組對棱均相等，可將三棱錐A-3CD嵌入到長方體中求解，即可得出三棱錐A-BCD外接球的半徑，利用球

的體積公式即可求解.

【詳解】解：由題可知，三棱錐A-BCD的外接球的體積即為所求鞠（球）的體積，

又AB=CD=2,AC=BD=?BC=AD=5故三棱錐A-BCD的三組對棱均相等，

如圖，將三棱錐A-BCD嵌入到在長方體ACBD'-ACB'D中，

則三棱錐A-BCD的外接球即為在長方體AC'BD'-ACBZ）的外接球，

設AA'=x,AC'=y,AD'=z,

貝UAC=BD=舊+上,AB=CD=^y2+z2,BC=AD=V%2+z2，

x2+j2=3

故r2+Z?=4,解得x2+y2+z2=6,

x2+z2=5

又長方體AC5D'-AC?。外接球的直徑即為長方體ACBD'-ACB'D的體對角線，

故三棱錐A-BCD的外接球的半徑為R==男,

22

4r-

則三棱錐A-BCD的外接球的體積為：V=-R^=y[67r.

故答案為：瓜兀.

32.（2022春?福建泉州.高一泉州五中?？计谥校澳埠戏缴w”（圖①）是由我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)造的，其

構成是由一個正方體從縱橫兩側面作內(nèi)切圓柱（圓柱的上下底面為正方體的上下底面，圓柱的側面與正方

體側面相切）的公共部分組成的（圖②），假設正方體的棱長為2,則其中一個內(nèi)切圓柱的表面積為

;該正方體的內(nèi)切球也是“牟合方蓋”的內(nèi)切球，所以用任一平行于正方體底面的平面去截“牟合

方蓋”，截面均為正方形，根據(jù)祖曬原理（夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的

任何平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等）可得“牟合方蓋”的體積為

口斗

,16

【答案】6?！?/p>

【分析】根據(jù)正方形邊長得出內(nèi)切圓柱底面半徑和高可求出表面積，求出截面正方形與其內(nèi)切圓面積比即

可得出體積之比，進而求出“牟合方蓋”的體積.

【詳解】因為正方形邊長為2,則內(nèi)切圓柱底面半徑為1,高為2,所以其中一個內(nèi)切圓柱的表面積為

1

S=2兀r+=6兀;

4

因為正方形邊長為2,則內(nèi)切球半徑為1,所以內(nèi)切球體積匕=］萬，

設截面正方形的邊長為2r,則其內(nèi)切圓半徑為小

所以截面正方形與其內(nèi)切圓面積比為厘=±,設方蓋體積為V2,

nrn

則根據(jù)祖曬原理可得￥=一,所以匕=%=々.

匕"n3

故答案為：6萬；費.

33.（2023?全國?高三專題練習）佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習俗之一.香囊內(nèi)通常填充一些中草