2024-2025年中學(xué)生能力訓(xùn)練

數(shù)學(xué)階段練習(xí)（一）

時(shí)間：120分鐘滿分：120分

※考生注意：所有試題必須在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，在試卷上作答無(wú)效.

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

,,11

A.x+2x=x+1B.-~H2—0

XX

C.3x+2y=5D.3（x+l）—2x+1

2?一元二次方程3d—2x—7=0的一次項(xiàng)系數(shù)是（）

A.3B.2C.2D.-7

3.已知拋物線G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,3）,且與拋物線G：y的開(kāi)口方向、形狀大小完全相同，則拋物

線G的解析式為（）

A.y=（x-2）+3B.y-—（x-2）-3

C.y-—（%-2）+3D.y=（x+2）+3

4.一元二次方程（x+l『=16用直接開(kāi)平方法可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是

x+l=4,則另一個(gè)一元一次方程是（

A.x+1=—4B.x-l=4C.x+l=-4D.x+l=4

5.如果用配方法解方程――2x-5=0,則配方后方程可化為（)

A.卜-1)~=6B.(x+l)~=6C.(x-球=5D.(x+1)2=5

6.函數(shù)y=ax?+6x（°00）與y=ax+b的圖象可能是（）

7.保障國(guó)家糧食安全是一個(gè)水恒的課題，任何時(shí)候這根弦都不能松.某農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地，大力開(kāi)展種子實(shí)驗(yàn),

讓農(nóng)民能得到高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，該農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地2022年有81種農(nóng)作物種子，經(jīng)過(guò)兩年不斷的努力培

育新品種，2024年有100種農(nóng)作物種子，若這兩年培育新品種數(shù)量的平均年增長(zhǎng)率為x,則根據(jù)題意列出

的符合題意的方程是（）

A.100（1-2x）=81B.100（1+2x）=81

C.81（l+x）2=100D.81（1-=100

8.若關(guān)于x的二次函數(shù)了=；機(jī)/+（機(jī)+1）》+機(jī)+1的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的根的值可

以是（）

A.-1B.0C.1D.-2

9.如圖，Rt4/CB中，ZC=90°,AC=7,BC=5,點(diǎn)尸從點(diǎn)2出發(fā)向終點(diǎn)C以1個(gè)單位長(zhǎng)度/s移

動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)向終點(diǎn)/以2個(gè)單位長(zhǎng)度/s移動(dòng)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)尸、。兩點(diǎn)

同時(shí)停止，則（）秒后，△尸C0的面積等于4.

C.4D.1或4

10.二次函數(shù)>="2+樂(lè)+。的圖象如圖所示，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1,且與X軸的一個(gè)交點(diǎn)為

4

（一3,0）,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)在-3?-2之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論①%>0；?2a-b=0；?-<b<2；

@a+b+c=Q：⑤若ax；-6X]=ax；且X1w,則西+》2=2.其中正確的結(jié)論是（）

A.②④B.②③④C.②③⑤D.②③④⑤

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.方程-—4x+3=0的兩根為再、x2,則玉+々等于

12.若二次函數(shù)y=-4x+加的圖象經(jīng)過(guò)/（一1,%），8（4,%）兩點(diǎn)，則%,辦的大小關(guān)系是必

%.（填“>”或“=”或"V"）

13.若關(guān)于龍的方程必-x-加=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)心的取值范圍是

1,

14.如圖是某座拋物線形的廊橋示意圖.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為>=-拓必+io,為保護(hù)廊橋的安全，在

該拋物線上距水面高為8米的點(diǎn)E,尸處要安裝兩盞燈，則這兩盞燈的水平距離即是米.

15.如圖，已知拋物線y=x2—2x,等邊△4BC的邊長(zhǎng)為2百，頂點(diǎn)/在拋物線上滑動(dòng)，且8c邊始終

平行于x軸，當(dāng)△4BC在滑動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)8落在坐標(biāo)軸上時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)是.

三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）

16.（每題5分，共10分）選擇最佳方法解下列關(guān)于x的方程：

（1）2x?+6x+1=0；（2）x~—6x+8=0.

17.（本小題8分）

一個(gè)二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表：

.??…

X-5-4-3-2-101n

y.??-11-41454m-4???

（1）這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

（2）加的值是，〃的值是；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大;

（3）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

裝

18.（本小題8分）

已知關(guān)于龍的一元二次方程X?-2mx+2m-1=0（m為常數(shù)）.

（1）求證：不論優(yōu)為何值，該方程總有實(shí)數(shù)根.

（2）若方程的一個(gè)根為0,求〃?的值和方程的另一個(gè)根.

19.（本小題8分）

習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)：“要教育孩子們從小熱愛(ài)勞動(dòng)、熱愛(ài)創(chuàng)造”.某校為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展、健康成長(zhǎng)，計(jì)

劃在校園圍墻內(nèi)圍建一個(gè)矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地N3CD,基地的一面靠墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為16m）,另三邊

用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開(kāi)分成兩個(gè)區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1m寬的門(mén)（門(mén)不用木

欄），修建所用木欄的總長(zhǎng)為37m,設(shè)苗圃/BCD的一邊CD長(zhǎng)為;on.

AD

BL———*C

（1）用含x的代數(shù)式表示基地靠墻一邊AD的長(zhǎng)是m；

（2）若基地/BCD的面積為120m2,求x的值；

（3）基地/BCD的面積能否為130m2.若能，請(qǐng)求出x的值：否則請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（本小題8分）

某商店銷售龍年春晚吉祥物形象“龍辰辰”紀(jì)念品，已知每件進(jìn)價(jià)為7元，當(dāng)銷售單價(jià)定為9元時(shí)，每天

可以銷售200件，市場(chǎng)調(diào)查反映：銷售單價(jià)每提高1元，日銷量將會(huì)減少10件，物價(jià)部門(mén)規(guī)定：銷售單價(jià)

不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的2倍，設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價(jià)為x.（元），1日銷量為》（件），日銷售利潤(rùn)為w（元）.

（1）求了與x的函數(shù)關(guān)系式：

（2）求日銷售利潤(rùn)?（元）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，并求出

最大利潤(rùn).

21.（本小題8分）

跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如

圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的

參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過(guò)K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高.某次比賽某跳臺(tái)滑雪臺(tái)的起跳臺(tái)的高度。為60m,基

準(zhǔn)點(diǎn)K的高度為24m,基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為dm（d為定值）.設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)/起跳后的高

度y（m）與水平距離x（tn）之間的函數(shù)關(guān)系為y=af+bx+c（。h0）.

（2）若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)；且此時(shí)a=-b=~,求基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離d；

546

（3）若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為32m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度84m,試判斷他的落地點(diǎn)能否超過(guò)K點(diǎn)，并

說(shuō)明理由.

22.（本小題12分）

法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究一元二次方程時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果關(guān)于x的一元二次方程辦2+bx+c=O（a^0）的兩個(gè)實(shí)

bc

數(shù)根分別為占、x2；那么兩個(gè)根的關(guān)系為：石+/=—-，xrx2=-.習(xí)慣上把這個(gè)結(jié)論稱作“韋達(dá)定

aa

理”.

定義：倍根方程：如果關(guān)于X的一元二次方程以2+為+c=o（awo）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（都不為0）,且其中一

個(gè)根等于另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”.例如，一元二次方程￡+9x+18=0的兩個(gè)根

是一3和一6,則方程/+9丁+18=0就是“倍根方程”。

（1）若一元二次方程爐-6x+c=0是“倍根方程”，求c的值；

（2）若（x-2）（m—冷=0（機(jī)70）是“倍根方程"，求加與"的關(guān)系；

（3）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）是“倍根方程”，請(qǐng)說(shuō)明2/=9℃,

23.（本題13分）

已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-V+bx+c與x軸交于4,8兩點(diǎn)，與y軸的正半軸

交于點(diǎn)C,且4（—1,0）,C（0,3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接尸比PC,過(guò)點(diǎn)尸作POLx軸于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)

K.記△P5C,△3OK的面積分別為S],52,求5―S2的最大值；

（3）如圖2,連接/C,點(diǎn)E為線段/C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作E尸，NC交x軸于點(diǎn)尸.在拋物線上是否存在

點(diǎn)使NMFN=NOC4?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

圖2

數(shù)學(xué)階段練習(xí)(一)參考答案(人教版)

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.D2.B3.D4.C5.A6.B7.C8.C9.A10.D

二、填空題(每小題3分，共15分)

11.412.>13.加>—z14.2015.(3+V^,0)，(―I+2V3,—2y/3

三、解答題(本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程)

16.(1)解：a=2,b=6,c=1,

A=62-4x2x1=28>0,---2

.-6±V28/

??x=------，???4

4

.-3+V7—3—V7

??4Y]—______9人Y2—-______,..J.?

(2)x2-6x+8=0,(或用配方法)

因式分解得：(x-2)(x-4)=0,-2

可得2=0或工一4=0,…4

解得：玉=2,%=4；…5

17.解：(1)對(duì)稱軸為直線x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(-1,5)；-2

(2)m=1,n=2；當(dāng)、<一1時(shí)，y隨x的增大而增大一5

(3)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l『+5,

把(0,4)代入得ax(O+l『+5=4,解得a=—1,

拋物線解析式為y=—(x+1?+5=—/一2x+4…8

18.(1)證明：VA=62-4ac=4m2-4(2m-l)=4m2-8m+4=4(m-l)2>0,

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)小，方程總有實(shí)數(shù)根.…4

(2)解：設(shè)方程的另一個(gè)根為f,

則0+1=2m，0-t=2m-1,解得m=~,t=\,

2

所以方程的另一個(gè)根是1.…8

19.解：⑴AD長(zhǎng)為（39—3x）m；…2

(2)根據(jù)題意得:x-(39-3%)=120,

解得x=5或x=8,

?；x=5時(shí)，39-3%=24>16,x=8時(shí)，39-3%=15<16

x=5舍去，x的值為8；…5

(3)不能，理由如下：假設(shè)基地的面積能為130m2,

由題意得：x(39-3x)=130,整理得：3X2-39X+130=0,

AA=(-39)2-4x3x130=-39<0,原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

基地/BCD的面積不能為130m2.-8

20.解：(1)根據(jù)題意得，j=200-10(x-9)=-10x+290,

故V與x的函數(shù)關(guān)系式為j=-10x+290(9<x<14)；-3

(2)根據(jù)題意得，W=(X-7)(-10X+290)=-10(X-18)2+1210,

?.?一10<0,.,.當(dāng)x<18時(shí)，W隨X的增大而增大，

當(dāng)x=14時(shí)，w最大=1050,

答：當(dāng)x為14時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)1050元.…8

21.解：(1)c=60；1

(2),/a=-----，b=—，

546

.125“

..y=-----xH—x+60，

“546

:基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度為24m,

1,5

/.24=-----x"H—x+60,解得：X,=72，x=—27舍去

54617

基準(zhǔn)點(diǎn)K的水平距離d為72m；-4

(3)他的落地點(diǎn)能超過(guò)K點(diǎn)，理由如下：

,??運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為32m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度84m,

.??拋物線的頂點(diǎn)為(32,84),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-32)2+84,

93

把(0,60)代入得：60=a(0-32)^+84,解得a=------,

128

3

二拋物線解析式為歹=——(X—32)9+84,

128

當(dāng)X=72時(shí)，>=---x（72-32）2+84=46.5>24,

'128'）

他的落地點(diǎn)能超過(guò)K點(diǎn).-8

22.解:（1）設(shè)方程/-6x+c=0的兩個(gè)根為再，x2,

..?一元二次方程必-6x+c=0是“倍根方程”，x2=2X],

xl+x2=6,xxx2=c,.??3X]=6,xx=2,x2=4c=8；???4

（2），??方程（x-2）（加工-〃）=0的一個(gè)根為2,

則另一個(gè)根為1或4,

當(dāng)另一個(gè)根為1時(shí)，則一1x（加一〃）=0,

m—n=0,即：m=n

當(dāng)另一個(gè)根為4時(shí)，則2x（4加-〃）=0,

4m—n=0,即：4m=n

,ixxct八—u/口-b+Jb?_4cic-b-yjb?-4ac

（3）由求根公式得，x=------------------,x=-------------------,

12a222a

甘°Rin-b+y/b2-4ac-b-yjb2-4ac

右％=2X,貝--------------=---------------x2,

127la2a

化簡(jiǎn)得：2b°=9ac.

.cra,i-b+ylb~-4ac-b-4b~-4ac

若2M=x，則--------------x2=-------------------，

122ala

化簡(jiǎn)得：2b2=9ac.

因此，總有2〃=94.…12

23.解：（1）把2（—1,0）,C（0,3）,代入函數(shù)解析式得：

—l—b+c=0[b=2

<，解得：\,

c=31c=3

.*?y——x?+2x+3…3

（2）,當(dāng)y=0時(shí)，一X?+2x+3=0解得%]二—1,x2=3,5（3,0）,

???設(shè)直線5c的解析式為：>二丘+3（左wO）,把3（3,0）代入，得：k=-l,

.*?y——x+3,

設(shè)尸（私一加2+2加+3）,則K（加，一加+3）,D（m，O）,

PK=—m2+2m+3—（—加+3）=—m2+3m,DK=—m+3,DB=3—m,

i39ii?

:.S、=—PKOB=——m2+-m,S）=—DK,BD=—（3—m）,

122222、）

八《

.qq32J_9102^159/151JI

?.S.—So-——m+—m—3-m=-2mH----m—-—2\m------H--------

12222V722（8）32

1CO1

.?.當(dāng)加=—時(shí)，E—邑的最大值為—；…8

832

J2

（3）.*.^（-1,0）,C（0,3）,點(diǎn)￡為NC的中點(diǎn)，E

2；2

'：FELAC,：.AF=CF,

：.ZAFE=ZCFE,

設(shè)OF=a,則CF=4F=a+l,

在Rt^CO尸中，由勾股定理，得：/+3?=（a+l）2.

：.a=4,/.F（4,0）,CF=5,

?：FELAC,ZAOC=90°,

：.NAFE=ZOCA=90°-NCAF,

：.NAFE=ZOCA,

設(shè)