第九節(jié)概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的交匯問題

考試要求：1.會(huì)求概率、統(tǒng)計(jì)與不等式的綜合問題.

2.會(huì)求概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的綜合問題.

3.會(huì)求概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問題.

核心考點(diǎn)提升“四能”

考點(diǎn)一概率、統(tǒng)計(jì)與不等式的綜合問題

【例1】(2024?長(zhǎng)沙模擬)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)

者得。分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方

贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為a,乙獲勝的概率為￡,兩人平局的概率為y(a

+￡+>=1,a>0,￡>0,y20),且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)若。=；,或二，丫二，求甲運(yùn)動(dòng)員恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率；

(2)當(dāng)y=0時(shí)，若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E(X)的最大

值.

解：(1)記事件A為“每局比賽甲獲勝”，

記事件8為“每局比賽乙獲勝”，

記事件C為“每局比賽甲、乙兩人平局”，

則P(A)=a=pP(B)=0=；,尸(C)=7=，.

記“進(jìn)行4局比賽后甲運(yùn)動(dòng)員贏得比賽”為事件Z),

則事件。包括事件A2A4,BAAA,ACCA,CACA,CCAA這5種情況，

所以P(D)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCA4)

=2P(B)P(A)P(A)P(A)+3P(C)尸(C>P(A)P⑷

=2XiX?3+3X0X@=^

(2)若y=0,此時(shí)每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，則a+￡=l,

此時(shí)X的所有可能取值為2,4,5,

可得P(X=2)=P(A4)+P(BB)=a2+y?2,

P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=Q邢+2哂=2a隊(duì)"+y?2),

P(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=(r/32+ct2^2+a?■優(yōu)+(r/32=4?2^2,

則X的分布列為

X245

砂)

P2(4+.24屋加

則E(X)=2*+夕2)+4*2儂(a?+步)+5X4a2,2=4o?■世-卜4磔+2.

因?yàn)閍+P=122而,

所以儂w(,當(dāng)且僅當(dāng)a=D=；時(shí)等號(hào)成立，則磔e(o,；),

此時(shí)E(X)=4a2/+4磔+2=(2磔+1)2+1W(2X：+1『+1=9，

故E(X)的最大值為半

>反思感悟

概率、統(tǒng)計(jì)與不等式有關(guān)的綜合問題的解法

(1)根據(jù)概率的性質(zhì)、均值、方差公式等得出關(guān)于概率p的表達(dá)式或不等式.

(2)通過不等式知識(shí)解不等式或利用基本不等式求最值.

多維訓(xùn)練.

某工廠A,8兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下，通過日常監(jiān)控得

知，A,8生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為p和2P—l(0.5WpWl).

(1)從A,8生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若至少有一件合格品的概率不低于99.5%,求p的最

小值po;

(2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可通過返工修復(fù)變?yōu)楹细衿?，?1)中確定的po作為p的值.己知4

B生產(chǎn)線的不合格品返工修復(fù)后，每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失5元和3元，若從兩條生產(chǎn)線上

各隨機(jī)抽檢1000件產(chǎn)品，以返工修復(fù)后挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計(jì)哪條生產(chǎn)線挽

回的損失較多？

解：(1)至少有一件合格品的概率為1—(1—p)[l—(2p—=2(1—pF.令1—2(1—

p)220.995,解得0.955pWL05.又0.5WpWl,所以0.95WpWl,故p的最小值po=O.95.

(2)由(1)可知，A,2生產(chǎn)線上產(chǎn)品為合格品的概率分別為0.95和0.9,

所以A,B生產(chǎn)線上產(chǎn)品不是合格品的概率分別為0.05和0」.

故從A生產(chǎn)線上抽檢的1000件產(chǎn)品中，不合格產(chǎn)品大約有1000X0.05=50(件)，返工修復(fù)

后，可挽回?fù)p失50X5=250(元)，

從8生產(chǎn)線上抽檢的1000件產(chǎn)品中，不合格產(chǎn)品大約有1000X0.1=100(件),返工修復(fù)后，

可挽回?fù)p失100X3=300(元)，

因?yàn)?50<300,所以8生產(chǎn)線挽回的損失較多.

考點(diǎn)二概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的綜合問題

【例2】(2024.濟(jì)寧模擬)某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織

本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試

成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率/組距

0.030

0.024

0.020

0.004

O35455565758595初試成績(jī)/分

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值.

(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布其中〃為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，。仁14.

初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù).

⑶復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng)，答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng)，答對(duì)一道題獲得

三等獎(jiǎng)，全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng).已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為〃，

第三道題答對(duì)的概率為4若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為］設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為P,求尸的

O

最小值.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃，o2),則crWXW〃+cr)七0.6827,PQL

+2。)心0.9545,尸(/，一3c<XW〃+3(7)~0.9973.

解：(1)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為10(40X0.010+50X0.020+60X0.030+70X0.024+80X0.012

+90X0.004)=62.所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62.

(2)因?yàn)閷W(xué)生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布Na,/),其中〃=62,(7^14.

所以〃+2o■弋62+2X14=90.

所以尸(X>90)=尸(X2〃+2(7)W(l—0.9545)=0.02275.

所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為0.02275X8000=182.

(3)由該學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)的概率為:，可得a2b="

oo

則P=<22(1~b)+a(l—a)b+(l—a)ab=a2+2ab—^=a+；-:.

84a8

2

令尸=/(。)=/+也一(，0<a<l,則/(a)=2a8a3—1(2a1)(4a+2a+1)

4/4a2

當(dāng)OVaV(時(shí),廣(a)V0;當(dāng)時(shí)，/,(a)>0.

所以/(a)在區(qū)間(0,上是單調(diào)遞減，在區(qū)間G，1)上是單調(diào)遞增.

所以/⑷mm=/&=：+K=*

所以尸的最小值為之

8

〉反思感悟

概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)有關(guān)的綜合問題的解法

在概率與統(tǒng)計(jì)的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.決策方案的最佳選擇是

將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，解題時(shí)通常先結(jié)合概率、方差、

均值的公式列出函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)求解.

多維訓(xùn)練B

在2024年春節(jié)期間，甲公司和乙公司在某購(gòu)物平臺(tái)上同時(shí)開啟了打折促銷，直播帶年貨活

動(dòng)，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系.

(I)現(xiàn)對(duì)某時(shí)間段10。名觀看直播后選擇這兩個(gè)公司直播間購(gòu)物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下

數(shù)據(jù)：

單位：名

用戶年齡段選擇甲直播間購(gòu)物選擇乙直播間購(gòu)物合計(jì)

19―24歲4050

25?34歲30

合計(jì)

是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購(gòu)物與用戶的年齡有關(guān)？

(2)若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個(gè)直播間進(jìn)行購(gòu)物，第一天等可能地從甲、乙

兩家中選一家直播間購(gòu)物，如果第一天去甲直播間購(gòu)物，那么第二天去甲直播間購(gòu)物的概率

為0.7；如果第一天去乙直播間購(gòu)物，那么第二天去甲直播間購(gòu)物的概率為0.8,求小李第二

天去乙直播間購(gòu)物的概率.

(3)元旦期間，甲直播間進(jìn)行“秒殺”活動(dòng)，假設(shè)直播間每人下單成功的概率均為p(0<p<

1),每人下單成功與否互不影響，若從直播間中隨機(jī)抽取5人，記5人中恰有2人下單成功

的概率為/g)，求/⑺)的最大值點(diǎn)po.

解：⑴列聯(lián)表如下：

單位：名

用戶年齡段選擇甲直播間購(gòu)物選擇乙直播間購(gòu)物合計(jì)

19?24歲401050

25?34歲203050

合計(jì)6040100

)

由表中數(shù)據(jù)可得/=100X(40X30-20X10=50>w§28,

“50x50x60x403

故有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購(gòu)物與用戶的年齡有關(guān).

(2)由題設(shè)，事件小李第二天去乙直播間包括第一天去甲直播間，第二天去乙直播間和第一

天去乙直播間，第二天去乙直播間兩種情況，

所以小李第二天去乙直播間購(gòu)物的概率尸=0.5X(1-0.7)+0.5X(1-0.8)=0.25.

(3)由題可設(shè)5人中下單成功的人數(shù)為X,則X?(5,p),

所以/(?)=C力2(1—p)3=1002(]一必3,令g。=p2(1一夕)3=p2―303+3P4—05,

所以g'(p)=p(2—9p-\-12p2—5/J3),

令人(0)=2—9〃+12/2—5/,

所以〃3=-9+24p-15p2=—i5(p-J+§

所以"⑦)在(0,§上單調(diào)遞增，在6，1)上單調(diào)遞減，

又〃。=砥1)=0,

故在(0,J上，h'(p)<0,〃⑦)單調(diào)遞減；在G，1)上，h'(p)>0,〃0)單調(diào)遞增;

由M1)=O,/z(l)=O,得在(0,9上，h(p)>0,即g9)>0,

在(|,1)上，h⑼<0,即g'(p)V0,所以g。在(0,§上單調(diào)遞增，

在(I，1)上單調(diào)遞減，即f(p)在(0,§上單調(diào)遞增，在G，1)上單調(diào)遞減，

所以/S)max—f(§,即po=巳

考點(diǎn)三概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問題

【例3】(2024?大連模擬)國(guó)學(xué)小組有編號(hào)為1,2,3,…，〃的〃名同學(xué)，現(xiàn)在有兩道選擇

題，每人答對(duì)第一題的概率為：，答對(duì)第二題的概率為;，每名同學(xué)的答題過程都是相互獨(dú)立

的，比賽規(guī)則如下：①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開始第1輪出賽，先答

第一題；②若第i(i=l,2,3,〃一1)號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題，則第i輪比賽失敗，由第i

+1號(hào)同學(xué)繼續(xù)比賽；③若第i(i=l,2,3,…，a—1)號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題，則再答第二題,

若該生答對(duì)第二題，則比賽在第i輪結(jié)束；若該生未答對(duì)第二題，則第i輪比賽失敗，由第

i+1號(hào)同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進(jìn)行到了第”輪，則不

管第”號(hào)同學(xué)答題正確與否，比賽結(jié)束.

⑴令隨機(jī)變量X.表示〃名同學(xué)在第X"輪比賽結(jié)束，當(dāng)w=3時(shí)，求隨機(jī)變量X3的分布列.

(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第i(i=l,2,3,…，力-1)號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題，則第i輪比賽

失敗，第i+1號(hào)同學(xué)重新從第一題開始作答.令隨機(jī)變量匕表示"名同學(xué)在第匕輪比賽結(jié)

束.

①求隨機(jī)變量匕("GN*,〃》2)的分布列；

②證明：E(匕)單調(diào)遞增，且小于3.

(1)解：根據(jù)題意可知X3的所有可能取值為1,2,3,

211

又尸(X3=l)三X；=g,

c\211,1215n/"1157

尸(X3=2)=-X-X-+-X-X-=—,P(X3=3)=1————=—,

、,32233218、,31818

所以X3的分布列為

X3123

157

p

31818

（2）①解：根據(jù)題意知匕=1,2,n,

每位同學(xué)兩題都答對(duì)的概率為P=：x；=；,

所以答題失敗的概率均為1—=

所以Y產(chǎn)kQWkWn—l,時(shí)，P(Y"=k)=?4

當(dāng)Yn=n時(shí)，P（y?=/i）=

所以匕的分布列為

Yn123???n~1n

121(1)xl

p—X-???(l)F

333第

②證明：由①知E(匕)=>(1>'%dN*,心2),

?=1

￡（y“+D—E（y"）="G）ix；+（〃+D（1）"—〃（1）”'=Q＞o,故戊匕）單調(diào)遞增；

由上得E（匕）三，

故￡（匕）=￡（㈤+四⑸一三匕）］+囹%）一￡（匕）］+…+因匕）一E（匕-1）］,

所以戊匕）三+（J+（1+…+ET="叫2X（曠＜3,

I3

故耳匕）＜￡（匕）＜￡（均）＜線為）（匕）＜3.

〉反思感悟

概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列有關(guān)的綜合問題的解法

一是認(rèn)真審題，判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，并注意相互獨(dú)立事件的概率與互斥事件的概

率的區(qū)別，求出隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)的概率，從而列出隨機(jī)變量的分布列；二是將概率的參

數(shù)表達(dá)式與數(shù)列的遞推式相結(jié)合，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，此種解法新穎獨(dú)特.

多維訓(xùn)練

（2024?威海模擬）全民健身是全體人民增強(qiáng)體魄、健康生活的基礎(chǔ)和保障，為了研究杭州市民

健身的情況，某調(diào)研小組隨機(jī)抽取了100名市民進(jìn)行調(diào)研，得到如下數(shù)據(jù)：

每周健身次數(shù)1次2次3次4次5次6次及6次以上

男4653428

女7587617

⑴如果認(rèn)為每周健身4次及以上為“喜歡健身”，請(qǐng)列出2X2歹!聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a

=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷喜歡健身與性別是否有關(guān)聯(lián).

（2）假設(shè)杭州市民小紅第一次去健身房A健身的概率為看去健身房8健身的概率為《，從第

二次起，若前一次去健身房A,則此次不去A的概率為士若前一次去健身房8,則此次仍

不去A的概率為;.記第n次去健身房A健身的概率為P?,則第10次去哪一個(gè)健身房健身的

概率更大？

7_

附：,n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+J)*

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解：⑴依題意，2X2列聯(lián)表如下:

單位：人

性別喜歡健身不喜歡健身合計(jì)

男351550

女302050

合計(jì)6535100

零假設(shè)為Ho：喜歡健身與性別無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到/=

理警等祟?仁1.O99<3.841=WO5,根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)

DUXDVXOJXJV

推斷Ho不成立，因此也可以認(rèn)為Ho成立，即認(rèn)為喜歡健身與性別無(wú)關(guān).

(2)依題意，尸1=看9，當(dāng)W22時(shí)，P.=P,L1X；-2+(1—P“T)X：n=(1Pi+｝?

則P"_*=3(尸1號(hào)),

所以數(shù)列｛p“一s｝是首項(xiàng)為p一1=5-公比為5的等比數(shù)列,

匕二61n861

所以Pn——=——X------,P-.---X--------,

111112n-1n111112"-1

所以尸1。=?一泳卷.乂一卷戶.

所以第10次去A健身房健身的概率更大.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)（六十九）

1.（2024?煙臺(tái)模擬）某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲.游戲規(guī)則如下：

每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，投進(jìn)的次數(shù)之

和不少于3次的稱為“神投小組”.已知隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成一個(gè)小組，甲、乙兩名隊(duì)員投

進(jìn)籃球的概率分別為“，P2.

（1）若P=l求他們?cè)诘谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率.

（2）已知0i+p2=g,貝!I：

①夕，）2取何值時(shí)能使得甲、乙兩名隊(duì)員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的概率最大？

并求出此時(shí)的最大概率；

②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊(duì)員想要獲得297次“神投小組”的稱號(hào)，則他們平均

要進(jìn)行多少輪游戲？

解：(1)每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為"神投小組"，

則可能的情況有：①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，

乙投中兩次.

12

因?yàn)镻i=5,2=?

所以他們?cè)诘谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率為

⑵①由題意得他們?cè)谝惠営螒蛑蝎@得“神投小組”稱號(hào)的概率

尸=C；X01義(1—R)xp：+p：XC；XP2X(1—P2)+pjXp：

=2Plp2m+。2)—2Plp2(pi+。2)—3P憂,

因?yàn)閜i+°2=*所以尸=/

又OWpiWl,OW.Wl,貝

令〃z=piP2=_p；+*=—W+卷則me,，1］，

4"P—f(?0=~m—3m=~3(jn—,

所以—3加2在［；,上單調(diào)遞增，則Pmax=f⑥=裝，

3

此時(shí)PI=P2=M

②他們小組在〃輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的次數(shù)。滿足。?3(〃，怒)，

所以np=291,則〃=票=625,

625

所以平均要進(jìn)行625輪游戲.

2.某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品a分為兩

類不同劑型四和a2.現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑四和合格的概率分別

為打耳，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑期和恁合格的概率分別為押沁知兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立，

兩次檢測(cè)均合格，試劑品a才算合格.

(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后兩類試劑ai和a2合格的種類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)

護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品a進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束,

并確定該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為p(O<p<l)且相

互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為了⑦)，若當(dāng)p=po時(shí),

f(p)最大,求po的值.

解：⑴試劑內(nèi)合格的概率為;XW，

試劑Q2合格的概率為\x|=|.

由題意知X的所有可能取值為0,1,2.

則P(x=o)=(1一|)x(1-1)=P(X=1)=(1一|)x|+1x(1-1)=￡,P(X=2)Wx|=

p則X的分布列為

X012

6136

P

252525

數(shù)學(xué)期望E(X)=0XA+1X￡+2X,=1.

(2)檢測(cè)3人確定“感染高危戶”的概率為(1一020，

檢測(cè)4人確定“感染高危戶”的概率為(1—ppp,

則/(?)=(1—P)2p+(1—P)3P=(1—?)2P(2—。).

令x=l-p,因?yàn)镺VpVl,所以O(shè)VxVl,

原函數(shù)可化為g(x)=f(l—f)(O<x〈l).

因?yàn)閄2(l-x2)J*+(："I=

當(dāng)且僅當(dāng)/=].—%2,即x=日時(shí)，等號(hào)成立.

此時(shí)p=l—9，所以po=l—

3.(2024?濟(jì)南模擬)某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽”，

分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績(jī)排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽.已知共有12000名學(xué)生

參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)

地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N5,片)，

其中〃可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代

替)，且(?=362,已知小明的預(yù)賽成績(jī)?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參

加復(fù)賽？

(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定

答題數(shù)量”，每一題都需要“花”掉(即減去)一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格，規(guī)定答第上題時(shí)“花”

掉的分?jǐn)?shù)為0.2網(wǎng)左=1,2,…，?)；③每答對(duì)一題加2分，答錯(cuò)既不加分也不減分；④答完

w題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī).已知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.8,

且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立.若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績(jī)，則他的答題數(shù)量〃應(yīng)為多

少？

附：若Z?N@,<r),則<rWZ《〃+(7)-0.6827,尸5—2(7WZW〃+2(7)勺0.9545,P(ju~

3ZZW〃+3c)Q0.9973；V362^19.

解：⑴預(yù)賽成績(jī)?cè)冢?0,80)范圍內(nèi)的樣本量為0.0125X20X100=25,

預(yù)賽成績(jī)?cè)冢?0,100)范圍內(nèi)的樣本量為0.0075X20X100=15,

設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,

C25c1"2525C27

又P(X=0)=W=A，P(X=1)=3=||,p(x=2)=詈=3

"oMoDN'-?40

則X的分布列為

X012

5257

P__

135252

故E(X)=0xV+lx^+2x(=：?

(2)//=x=(10X0.005+30X0.01+50X0.015+70X0.0125+90X0.0075)X20=53,

『=362,則17Pl9,所以Z?N(53,362),

故尸(Z291)=尸(ZN4+2Q=#1一加一2cVZV〃+2c)產(chǎn)0.02275,

故全市參加預(yù)賽的學(xué)生中，成績(jī)不低于91分的有120000X0.02275=273(人)，

因?yàn)?73V300,故小明有資格參加復(fù)賽.

(3)設(shè)學(xué)生甲答對(duì)的題目數(shù)為3復(fù)賽成績(jī)?yōu)樨皠t］?2(",0.8),故E?=0.8w,

r=100-0.2(l+2+3H-----F〃)+2(f,

故E(y)=100—0.2(1+2+3H-----M+2E?=—，2+弓+100=一《("一p+筆

因?yàn)椤癎N*,所以答題數(shù)量為7或8時(shí)，學(xué)生甲可獲得最佳的復(fù)賽成績(jī).

4.現(xiàn)如今國(guó)家大力提倡養(yǎng)老社會(huì)化、市場(chǎng)化，老年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種，能夠滿足

老年人的高質(zhì)量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負(fù)責(zé)人為了能給老年人提供

更加良好的服務(wù)，現(xiàn)對(duì)所入住的120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況

如下表所示.

入住房間的類型單人間雙人間三人間

人數(shù)366024

(1)若按入住房間的類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120名老年人中隨機(jī)抽取1