工程數(shù)學(xué)

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數(shù)第一章目錄函數(shù)的概念01函數(shù)的性質(zhì)02初等函數(shù)03初步認(rèn)識(shí)MATLAB04CONTENTS

第一節(jié)函數(shù)的概念010101一、函數(shù)的定義定義1.1.1設(shè)D是一個(gè)給定的非空數(shù)集,如果對(duì)于任意一個(gè)數(shù)x∈D,按照某一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f,實(shí)數(shù)集中總有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),則稱f為D上x到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù),簡(jiǎn)稱y是x的函數(shù),記作

y=f(x),x∈D式中,x為自變量;y為因變量;D為函數(shù)的定義域.定義域D就是自變量x的取值范圍,也就是使函數(shù)y=f(x)有意義的數(shù)集.當(dāng)x取遍D中的一切數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合{yy=f(x),x∈D}稱為函數(shù)的值域,一般用Rf或f(D)表示.注意:函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則稱為函數(shù)的兩要素,兩個(gè)函數(shù)相同的充分必要條件是它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則均相同01二、函數(shù)的定義域與函數(shù)值

0101表示函數(shù)的方法主要有三種:列表法、圖像法和解析法.列表法是將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表格來(lái)表示兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的方法,如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等.圖像法是用圖像表示兩個(gè)變量x與y之間的函數(shù)關(guān)系的方法.如圖1-2表示的就是函數(shù)f(x)=x+1的圖像.三、函數(shù)的表示方法0101定義1.1.2對(duì)于這樣一個(gè)函數(shù)

y=f(x),x∈D,y∈Z若對(duì)于任意一個(gè)y∈Z,D中只有一個(gè)x值與之相對(duì)應(yīng),這就確定了一個(gè)以Z為定義域的函數(shù),這個(gè)函數(shù)就稱為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y),y∈Z.按照習(xí)慣記法,x作自變量,y作因變量,因此y=f(x)的反函數(shù)x=f-1(y)可以記作y=f-1(x),x∈Z.由反函數(shù)的定義知,反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域,反函數(shù)的值域?yàn)樵瘮?shù)的定義域.若函數(shù)y=f(x)具有反函數(shù),這就意味著,它的定義域D與值域Z之間按照對(duì)應(yīng)法則f建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,且反函數(shù)y=f-1(x)與y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱.四、反函數(shù)01第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)0202

定義1.2.1設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)不為零的數(shù)T,對(duì)于D內(nèi)任意的x,都有f(x+T)=f(x)成立,則稱f(x)為周期函數(shù),稱T為它的一個(gè)周期.

若T是函數(shù)的一個(gè)周期,則nT(n為非零整數(shù))也是它的周期.通常稱周期中的最小正周期為周期函數(shù)的周期,顯然函數(shù)y=sinx和y=cosx的周期都是2π,函數(shù)y=tanx的周期是π.

注意:并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期.例如,常數(shù)函數(shù)為周期函數(shù),任意非零實(shí)數(shù)為其周期,無(wú)最小正周期.

例1.2.1設(shè)f(x)=cos(x-1),指出函數(shù)f(x)的周期.

解因?yàn)閒(x+2π)=cos(x+2π-1)=cos(x-1)=f(x),所以f(x)的周期為2π.一、周期性二、有界性02

定義1.2.2設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,數(shù)集X?D,若存在正數(shù)M,使得對(duì)任意的x∈X,都有f(x)≤M(可以沒(méi)有等號(hào)),則稱f(x)是X上的有界函數(shù),否則稱f(x)是X上的無(wú)界函數(shù).也就是說(shuō),如果對(duì)于任何正數(shù)M,總存在x1∈X,使得|f(x1)|>M,那么f(x)是X上的無(wú)界函數(shù).

從定義中我們可以看出,有界函數(shù)的圖像必介于兩條平行于x軸的直線y=M和y=-M之間.

例如,函數(shù)y=sinx在它的定義域(-∞,+∞)內(nèi)始終都有|sinx|≤1.于是根據(jù)有界函數(shù)的定義可知,函數(shù)y=sinx在它的定義域內(nèi)是一個(gè)有界函數(shù).三、單調(diào)性02

定義1.2.3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有定義,若對(duì)于D中的任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有

(1)f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)增加,稱f(x)為D上的單調(diào)增函數(shù).區(qū)間D稱為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

(2)f(x1)≥f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上單調(diào)減少,稱f(x)為D上的單調(diào)減函數(shù).區(qū)間D稱為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

特別地,如果不等式f(x1)<f(x2)成立,則稱f(x)為D上的嚴(yán)格增函數(shù).如果不等式f(x1)>f(x2)成立,則稱f(x)為D上的嚴(yán)格減函數(shù).

例如,如圖1-4所示,函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]內(nèi)是單調(diào)減少的,在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的,在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)不是單調(diào)的.如圖1-5所示,函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的.0202四、奇偶性第三節(jié)初等函數(shù)0303一、基本初等函數(shù)(一)常數(shù)函數(shù)y=C(C為常數(shù)),x∈(-∞,+∞)常數(shù)函數(shù)如圖1-6所示.(二)冪函數(shù)03(三)指數(shù)函數(shù)03(四)對(duì)數(shù)函數(shù)03(五)三角函數(shù)圖1-1303(六)反三角函數(shù)03

定義1.3.1已知兩個(gè)函數(shù)

y=f(u),u∈D1,y∈Z1

u=φ(x),x∈D2,u∈Z2

則函數(shù)y=f[φ(x)]是由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)經(jīng)過(guò)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).其中,通常稱f(u)為外層函數(shù),φ(x)為內(nèi)層函數(shù),u為中間變量.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成,也可以由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成.

例如,函數(shù)y=ecosx是由y=f(u)=eu,u=φ(x)=cosx這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的.

復(fù)合函數(shù)是一個(gè)函數(shù),為了研究需要,今后經(jīng)常要將一個(gè)給定的函數(shù)看成由若干個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的形式,從而將它分解為若干個(gè)基本初等函數(shù).二、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)03第四節(jié)初步認(rèn)識(shí)MATLAB0404

20世紀(jì)70年代,美國(guó)新墨西哥大學(xué)的CleveMoler為了減輕學(xué)生編程的負(fù)擔(dān),用FORTRAN編寫了MATLAB.1984年,MathWorks公司正式將MATLAB推向市場(chǎng).到20世紀(jì)90年代,MATLAB已成為國(guó)際上流行的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件.

現(xiàn)在MATLAB是美國(guó)MathWorks公司旗下的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件,廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、無(wú)線通信、深度學(xué)習(xí)、圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺(jué)、信號(hào)處理、量化金融與風(fēng)險(xiǎn)管理、機(jī)器人、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域.

MATLAB以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位,提供了十分豐富的數(shù)值計(jì)算函數(shù)和強(qiáng)大的繪圖功能,而且簡(jiǎn)單易學(xué)、編程效率高.掌握MATLAB對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)模型的建立有很大的幫助.本書主要介紹MATLAB在數(shù)學(xué)中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.一、MATLAB簡(jiǎn)介04

變量和關(guān)鍵字是MATLAB編程中最基本的兩個(gè)概念,它們是構(gòu)成MATLAB表達(dá)式的常見(jiàn)元素.MATLAB變量是在程序運(yùn)行中值可以改變的量,變量由變量名來(lái)表示.

在MATLAB中有一類特殊的變量,是由系統(tǒng)默認(rèn)給定符號(hào)來(lái)表示的.例如,pi,它代表圓周率π這個(gè)常數(shù),即3.1415926…,這類變量類似于C語(yǔ)言中的符號(hào)常量,有時(shí)又稱為系統(tǒng)預(yù)定義的變量.

二、變量、常量與函數(shù)04

MATLAB算術(shù)運(yùn)算符包括:+加法;-減法;?乘法;/和\除法;^冪運(yùn)算;命令分隔符,逗號(hào)和;分號(hào).

關(guān)系運(yùn)算符是指兩數(shù)值或字符操作數(shù)之間的運(yùn)算符,這種運(yùn)算將根據(jù)兩操作數(shù)的關(guān)系產(chǎn)生結(jié)果true或false.MATLAB中的關(guān)系運(yùn)算符有6個(gè)

關(guān)系運(yùn)算符可以用來(lái)對(duì)兩個(gè)數(shù)值、兩個(gè)數(shù)組、兩個(gè)矩陣或兩個(gè)字符串等數(shù)據(jù)類型進(jìn)行比較,同樣也可以進(jìn)行不同類型的兩個(gè)數(shù)據(jù)之間的比較.比較的方式根據(jù)所比較的兩個(gè)數(shù)據(jù)類型的不同而不同.關(guān)系運(yùn)算符通過(guò)比較對(duì)應(yīng)的元素,產(chǎn)生一個(gè)僅包含1和0的數(shù)值或矩陣.返回值是1表示比較結(jié)果是真,返回值是0表示比較結(jié)果是假.

邏輯運(yùn)算符是聯(lián)系一個(gè)或兩個(gè)邏輯操作數(shù)并能產(chǎn)生一個(gè)邏輯結(jié)果的運(yùn)算符.MATLAB支持4種邏輯運(yùn)算,分別是與、或、非、異或,其中:與、或和非運(yùn)算既可以使用邏輯運(yùn)算符,也可以使用邏輯運(yùn)算函數(shù);異或運(yùn)算只能使用邏輯運(yùn)算函數(shù)三、關(guān)系運(yùn)算04MATLAB可以進(jìn)行代數(shù)式的運(yùn)算,要先用符號(hào)對(duì)象來(lái)建立代數(shù)式.查找符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量:findsym(expr)%按字母順序列出符號(hào)表達(dá)式expr中的所有符號(hào)變量.findsym(expr,N)%按順序列出expr中離x最近的N個(gè)符號(hào)變量.因式分解:symsx;f=x^6+1;factor(f).函數(shù)展開(kāi):symsx;f=(x+1)^6;expand(f).合并同類項(xiàng):collect(f,v)%按指定變量v進(jìn)行合并.函數(shù)簡(jiǎn)化:[How,y]=simple(f)%為f的最簡(jiǎn)短形式,How中記錄的為簡(jiǎn)化過(guò)程中使用的方法.四、代數(shù)式運(yùn)算THANKS謝謝觀看工程數(shù)學(xué)

極限與連續(xù)第二章目錄數(shù)列的極限01函數(shù)的極限02極限運(yùn)算與兩個(gè)重要極限03無(wú)窮大與無(wú)窮小04CONTENTS

函數(shù)的連續(xù)性05函數(shù)的連續(xù)性06用MATLAB求極限07第一節(jié)數(shù)列的極限01一、數(shù)列極限的定義01

定義2.1.1如果按照某一法則,對(duì)每個(gè)n∈N+,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)an,那么這些實(shí)數(shù)an按照下標(biāo)n從小到大排列得到的一個(gè)序列a1,a2,a3,a4,…,an,…稱為數(shù)列,記作數(shù)列{an}.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng),第n項(xiàng)an稱為數(shù)列的通項(xiàng)(或一般項(xiàng)),表示通項(xiàng)的公式稱為通項(xiàng)公式.例如,數(shù)列1,3,5,…,2n-1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是2n-1.

定義2.1.2如果當(dāng)無(wú)窮數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí),an無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就稱為數(shù)列{an}的極限,或稱數(shù)列{an}收斂于A.記作

01二、數(shù)列極限的運(yùn)算法則

下面介紹數(shù)列極限的運(yùn)算法則,利用這些法則可以求某些復(fù)雜的數(shù)列的極限.第二節(jié)函數(shù)的極限02一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限02

現(xiàn)在考慮自變量x的變化過(guò)程為x→x0.如果在x→x0的變化過(guò)程中,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于確定的數(shù)值A(chǔ),那么就說(shuō)A是f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限.下面給出自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限的定義.

定義2.2.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某空心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)x無(wú)限趨近于x0時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限,記作注意:在自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限的定義中,y=f(x)不需要在x0處有定義,x只需無(wú)限趨近于x0即可,不一定要達(dá)到.02

定義2.2.2如果當(dāng)

時(shí),函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)在x→x0時(shí)的左極限(右極限),記作注意:在考慮單側(cè)極限時(shí),應(yīng)注意x→x0的趨近方向.當(dāng)02二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義2.2.3如果當(dāng)x→∞時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記作注意:x→∞表示x→+∞、x→-∞兩種情況.但有的時(shí)候x的變化趨勢(shì)只能取這兩種變化中的一種情況.下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)函數(shù)f(x)極限的定義.定義2.2.4如果當(dāng)x→+∞(x→-∞)時(shí),函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞(x→-∞)時(shí)的極限,記作注意到x→∞意味著同時(shí)考慮x→+∞和x→-∞,可以得到下面的結(jié)論:第三節(jié)極限運(yùn)算與兩個(gè)重要極限0303一、極限的四則運(yùn)算法則

上一節(jié)討論了函數(shù)極限的定義,下面我們介紹極限的運(yùn)算法則,利用這些法則可以求一些復(fù)雜函數(shù)的極限.03二、兩個(gè)重要極限03第四節(jié)無(wú)窮大與無(wú)窮小0404一、無(wú)窮小04二、無(wú)窮大如果當(dāng)x→x0(x→∞)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值f(x)可以大于預(yù)先指定的任何很大的正數(shù)M,那么就稱函數(shù)f(x)是當(dāng)x→x0(x→∞)時(shí)的無(wú)窮大.0404三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系04四、無(wú)窮小的比較

通過(guò)無(wú)窮小的性質(zhì)可以知道,兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積還是無(wú)窮小.但是,關(guān)于兩個(gè)無(wú)窮小的商,卻會(huì)出現(xiàn)不同的情況.例如,當(dāng)x→0時(shí),sinx,3x,x2都是無(wú)窮小,而第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性0505一、函數(shù)的連續(xù)性的定義0505二、間斷點(diǎn)第六節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)0606一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性06二、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性06三、初等函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)2.6.3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.06四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)2.6.4(有界性與最大值最小值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么函數(shù)f(x)在[a,b]上一定有最大值與最小值.如圖2-4所示,函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在x1和x2,使得當(dāng)x∈[a,b]時(shí),f(x1)≥f(x),f(x2)≤f(x)恒成立,則f(x1)和f(x2)分別稱為函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.x1、x2稱為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).06

性質(zhì)2.6.5(介值定理)如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在兩端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A和f(b)=B,C是A和B之間的任一實(shí)數(shù),那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=C.如圖2-6所示.

推論(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號(hào),即f(a)·f(b)<0,則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=0.如圖2-7所示.06性質(zhì)2.6.3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.第七節(jié)用MATLAB求極限0707MATLAB中主要用limit求函數(shù)的極限,常用的命令如表2-1所示.THANKS謝謝觀看工程數(shù)學(xué)

導(dǎo)數(shù)與微分第三章目錄導(dǎo)數(shù)的概念01初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02高階導(dǎo)數(shù)03隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)04CONTENTS

05函數(shù)的微分微分中值定理0607洛必達(dá)法則函數(shù)的單調(diào)性與極值0809函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)10MATLAB中導(dǎo)數(shù)的計(jì)算導(dǎo)數(shù)的概念0101一、兩個(gè)經(jīng)典問(wèn)題(一)切線斜率問(wèn)題

已知曲線方程為y=f(x),試求出過(guò)曲線上點(diǎn)M(x0,y0)處的切線斜率.如圖3-1所示,建立直角坐標(biāo)系,在曲線y=f(x)上取鄰近于M(x0,y0)的點(diǎn)N(x0+Δx,y0+Δy),過(guò)M,N兩點(diǎn)的直線MN稱為曲線y=f(x)的割線.當(dāng)Δx→0時(shí),點(diǎn)N沿著曲線y=f(x)趨向于點(diǎn)M,割線MN繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)并趨向于極限位置直線MT,直線MT稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)M的切線,割線MN的傾角為φ,切線MT的傾角為α,割線MN的斜率kMN為01

(二)變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題

已知物體做變速直線運(yùn)動(dòng),位移方程為s=s(t),要確定該物體在時(shí)刻t0的運(yùn)動(dòng)速度v(to).可取鄰近于時(shí)刻t0的時(shí)刻t=t0+Δt,在Δt時(shí)間內(nèi),物體走過(guò)的路程為物體運(yùn)動(dòng)的平均速度為

若時(shí)間間隔較短,比值可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的近似速度.顯然,Δt越小,近似程度越高.令Δt→0,平均速度v的極限就是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度極限值v(t0)稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的(瞬時(shí))速度.01二、導(dǎo)數(shù)的定義

由以上分析知,瞬時(shí)速度問(wèn)題和切線斜率問(wèn)題可以抽象出一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式:

這就得出了導(dǎo)數(shù)的概念.

定義3.1.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)x在x0處有增量Δx時(shí),相應(yīng)的函數(shù)有增量

如果極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),此極限值為y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),記作即01三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理3.1.2如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).證若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)f′(x0),則

其中,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).故可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù),但是反之不成立.

例如例3.1.3,函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo),但是在x=0處連續(xù).故連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo).01四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由切線問(wèn)題的討論知(見(jiàn)圖3-1),函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線的斜率,即曲線在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的切線方程為曲線在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的法線方程為(1)如果f′(x0)=∞,則曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處有垂直于x軸的切線x=x0;(2)如果f′(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處有平行于x軸的切線y=f(x0)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則02由上節(jié)導(dǎo)數(shù)的定義可以得出導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.定理3.2.1設(shè)函數(shù)f(x),g(x)都在x處可導(dǎo),則有注意:定理3.2.1中的(1)和(2)能推廣到任意有限個(gè)導(dǎo)函數(shù)的情形.例如,三個(gè)函數(shù)u(x),v(x),w(x)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算的情況為二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則02

定理3.2.2如果函數(shù)x=f(y)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f(y)≠0,則它的反函數(shù)y=f-1(x)在區(qū)間[c,d]={xx=f(y),y∈[a,b]}內(nèi)可導(dǎo),且三、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式02綜合前面所學(xué),我們有如下基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)0303

定義3.3.1如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)仍為x的可導(dǎo)函數(shù),則y′=f′(x)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作,即

依此類推,可知二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù),分別記作

函數(shù)f(x)在某點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù),記作第四節(jié)隱函數(shù)和由參數(shù)方程

所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)0404一、隱函數(shù)求導(dǎo)的方法

設(shè)F(x,y)=0確定了一個(gè)一元隱函數(shù)y=y(x),將y=y(x)代入F(x,y)=0,得u=F[x,y(x)]=0,則

在恒等式F[x,y(x)]≡0兩邊對(duì)x求導(dǎo),當(dāng)遇到y(tǒng)的函數(shù)f(y)時(shí),需要求若

記z=f(y),則

將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入方程中,得到關(guān)于的代數(shù)方程,從中解得即為所求.二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法04

先在方程兩邊取對(duì)數(shù),再對(duì)所得式兩邊分別求導(dǎo)即可.冪指函數(shù)y=uv(u>0),如果u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),那么也可以用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求出冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解法一先在兩邊取對(duì)數(shù),得lny=v·lnu.兩邊對(duì)x求導(dǎo),注意y,u,v是x的函數(shù),得

解法二將y=uv,(u>0)化為y=evlnu,則一般形式的冪指函數(shù),可以用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)04參數(shù)方程,表示y與x間的函數(shù)關(guān)系如果函數(shù)x=φ(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=φ-1(x),且反函數(shù)能與函數(shù)y=ψ(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù),函數(shù)x=φ(t),y=ψ(t)可導(dǎo),則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則,得即第五節(jié)函數(shù)的微分0505一、微分的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可以表示為

其中A是不依賴Δx的常數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是可微的,AΔx稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相對(duì)于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy=AΔx.

函數(shù)在點(diǎn)x0可微的充分必要條件是函數(shù)在x0可導(dǎo),并且dy=f′(x0)Δx,Δy=dy+o(α),稱dy是Δy的線性主部.05

因?yàn)閐y=f′(x0)Δx是Δx的線性函數(shù),所以在f′(x0)≠0的條件下,就說(shuō)dy是Δy的線性主部,Δy≈dy.自變量x的微分,記作dx,即dx=Δx.函數(shù)y=f(x)在x0處的微分記為dy=f′(x0)dx.

函數(shù)y=f(x)在x處的微分記為dy=f′(x)dx.從而有

,函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù),所以導(dǎo)數(shù)又叫微商.05

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處可微,函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線,M(x0,y0)是曲線y=f(x)的一點(diǎn),Δy是曲線y=f(x)的點(diǎn)M(x0,y0)的縱坐標(biāo)的增量.N(x0+Δx,y0+Δy)是鄰近M的一點(diǎn),dy是曲線在M(x0,y0)的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量,當(dāng)Δx很小時(shí),Δy-

dy比dy的值小得多,Δy≈dy,因此用切線段MP近似代替曲線段MN,如圖3-3所示.二、微分的幾何意義05三、基本初等函數(shù)的微分公式05四、微分的四則運(yùn)算法則由微分的定義可以得到微分的四則運(yùn)算法則:(1)d[f(x)±g(x)]=df(x)±dg(x)=[f′(x)±g′(x)]dx;(2)d[f(x)·g(x)]=g(x)df(x)+f(x)dg(x)=[f′(x)g(x)+f(x)g′(x)]dx,特別地,d[Cf(x)]=Cd[f(x)]=Cf′(x)dx;05五、復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)y=f(u)及u=g(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的微分

dy=yx′dx=f′(u)g′(x)dx而g′(x)dx=du,因此,復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的微分公式還寫成

dy=f′(u)du,或dy=yu′du無(wú)論u是自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù),微分形式dy=f′(u)du都保持不變,稱為微分形式不變性.05六、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

在工程計(jì)算中,經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式,利用微分能將一些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡(jiǎn)單的近似公式代替.

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)≠0,則有Δy≈dy=f′(x0)Δx.即或05六、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

在工程計(jì)算中,經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式,利用微分能將一些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡(jiǎn)單的近似公式代替.

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)≠0,則有Δy≈dy=f′(x0)Δx.即或

在式(3.5.2)中,令Δx=x-x0,那么式(3.5.2)就寫成05

如果f′(x0)與f(x0)都容易計(jì)算,那么就能利用式(3.5.1)近似計(jì)算Δy,用式(3.5.2)近似計(jì)算f(x0+Δx),用式(3.5.3)近似計(jì)算f(x).此近似計(jì)算的實(shí)質(zhì)就是用x的線性函數(shù)f(x0)+f′(x0)(x-x0)近似表達(dá)函數(shù)f(x).其幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處附近的切線段近似等于該曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處附近的曲線段.

在式(3.5.3)中,令x0=0,得f(x)≈f(0)+f′(0)x(|x|很小).由此得幾個(gè)在工程上常用的近似公式:第六節(jié)微分中值定理0606一、羅爾定理

定理3.6.1(費(fèi)馬引理)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,并且在x0處可導(dǎo),如果對(duì)任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),那么f′(x0)=0.

定理3.6.2(羅爾定理)如果函數(shù)y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b).

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f′(ξ)=0.幾何意義:如果在兩端高度相同的連續(xù)曲線y=f(x)上,除端點(diǎn)外,處處具有不垂直于x軸的切線,那么曲線上至少存在一點(diǎn)C,使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于x軸,如圖3-4所示.注意:羅爾定理的三個(gè)條件缺一不可,否則結(jié)論不真.06二、拉格朗日中值定理定理3.6.3(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得等式

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立.我們把上式改寫成來(lái)研究定理的幾何意義.幾何意義:如果在連續(xù)曲線y=f(x)上,除端點(diǎn)外,處處具有不垂直于x軸的切線,那么曲線上至少存在一點(diǎn)C,使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于AB,如圖3-5所示.f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)稱為拉格朗日中值公式.這個(gè)公式對(duì)于f(b)<f(a)也成立.作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用,有如下推論.06推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).證在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1,x2(x1<x2),應(yīng)用拉格朗日中值定理,得由f′(ξ)=0,得f(x2)-f(x1)=0,即f(x1)=f(x2).因?yàn)閤1,x2是I上任意兩點(diǎn),所以上面的等式表明f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的,這就是說(shuō),f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).第七節(jié)洛必達(dá)法則0707

07

07

07二、其他類型的未定式

第八節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值0808一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

如圖3-6所示,如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加(減少),那么它的圖形是一條沿x軸正向上升(下降)的曲線.這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的(是非正的),即y′=f′(x)≥0[y′=f′(x)≤0].由此可見(jiàn),函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系.08反過(guò)來(lái),能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性呢?定理3.8.1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.注意:判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間08二、函數(shù)的極值及其求法(一)極值的定義

定義3.8.1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0∈(a,b).如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)<f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,x0稱為函數(shù)的極大值點(diǎn);如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)>f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,x0稱為函數(shù)的極小值點(diǎn).下面通過(guò)圖3-7所示的函數(shù)圖像來(lái)理解08

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).

函數(shù)的極大值和極小值是函數(shù)的局部性質(zhì).如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,那也只是就x0附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō),f(x0)是最大的,就f(x)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō),f(x0)不一定是最大的.極小值的局部性質(zhì)也是類似的.08(二)極值與水平切線的關(guān)系

在可導(dǎo)函數(shù)取得極值處,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值.

定理3.8.2(必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么這個(gè)函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)為零,即f′(x0)=0.

定義3.8.2使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),即方程f′(x0)=0的實(shí)根,稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).

就是說(shuō):可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn).但反過(guò)來(lái),函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn),如函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況.08三、極值的充分條件定理3.8.3(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù),且在x0的某去心鄰域(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(x0-δ,x0)內(nèi)f′(x)>0,在(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)<0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值(見(jiàn)圖3-8);(2)如果在(x0-δ,x0)內(nèi)f′(x)<0,在(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)>0,那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值(見(jiàn)圖3-9);(3)如果在(x0-δ,x0)及(x0,x0+δ)內(nèi)f′(x)的符號(hào)相同,那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值(見(jiàn)圖3-10).08定理3.8.3也可簡(jiǎn)單地這樣說(shuō):當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí),如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù),那么f(x)在x0處取得極大值;如果f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正,那么f(x)在x0處取得極小值;如果f′(x)的符號(hào)并不改變,那么f(x)在x0處沒(méi)有極值.確定極值點(diǎn)和極值的步驟:(1)求出函數(shù)的定義域;(2)求出導(dǎo)數(shù)f′(x);(3)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn);(4)列表判斷,考察f′(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)的左右鄰近處的情況,以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn).如果是極值點(diǎn),則要按定理3.8.3確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值;(5)確定函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.08定理3.8.4(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那么(1)當(dāng)f″(x0)<0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當(dāng)f″(x0)>0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.定理3.8.4表明,如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)f″(x0)≠0,那么x0一定是極值點(diǎn),并且可以通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)f″(x0)的符號(hào)來(lái)判定f(x0)是極大值還是極小值.但如果f″(x0)=0,則定理3.8.4就不適用.第九節(jié)函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)0909定義3.9.1設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1,x2,恒有一、凹凸性的概念那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).定義3.9.2設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方,則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的;如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方,則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的.09定理3.9.1如圖3-11所示,設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)和(b,c)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),則(1)若在(b,c)內(nèi)f″(x)>0,則f(x)在[b,c]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f″(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的.二、凹凸性的判定09定義3.9.3連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).定理3.9.2(拐點(diǎn)存在的必要條件)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0二階可導(dǎo),且點(diǎn)(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn),則f″(x0)=0.定理3.9.3(拐點(diǎn)存在的充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且二階可導(dǎo)[f(x0)或f″(x0)可以不存在],若在x0的左、右鄰域內(nèi),f″(x0)的符號(hào)相反,則點(diǎn)(x0,f(x0))是曲線的拐點(diǎn).確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求出二階導(dǎo)數(shù)f″(x);(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);(4)列表判斷,確定曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)三、曲線的拐點(diǎn)第十節(jié)MATLAB中導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1010MATLAB中微分運(yùn)算常用命令如表3-7所示.三、曲線的拐點(diǎn)表3-7MATLAB中微分運(yùn)算的常用命令THANKS謝謝觀看工程數(shù)學(xué)

積

分第四章目錄不定積分的概念與性質(zhì)01基本積分公式和直接積分法02換元積分法03分部積分法04CONTENTS

定積分的概念及性質(zhì)05定積分的基本公式06定積分的換元法與分部積分法07廣義積分08定積分的應(yīng)用09利用MATLAB計(jì)算定積分10第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)01一、原函數(shù)

定義4.1.1設(shè)函數(shù)F(x)和f(x)在區(qū)間I上有定義,若對(duì)?x∈I,有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).

例如,因?yàn)?sinx)′=cosx,所以sinx是cosx在區(qū)間(-∞,+∞)上的一個(gè)原函數(shù).又如,因?yàn)?x3)′=3x2,所以x3是3x2在區(qū)間(-∞,+∞)上的一個(gè)原函數(shù).可以看出,求已知函數(shù)f(x)的原函數(shù)就是找到這樣一個(gè)函數(shù)F(x),使得F′(x)=f(x).

研究原函數(shù),需要解決兩個(gè)問(wèn)題:在什么條件下,函數(shù)的原函數(shù)存在?如果存在,那么是否只有一個(gè)?0101

定理4.1.1(原函數(shù)存在定理)若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),則它在該區(qū)間上存在原函數(shù).

由于初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的,由定理4.1.1知,每個(gè)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù).

設(shè)C是任意常數(shù),因?yàn)?x3+C)′=3x2,所以x3+C也是3x2的原函數(shù).C每取定一個(gè)實(shí)數(shù),就得到3x2的一個(gè)原函數(shù),從而3x2有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù).由此可見(jiàn),若一個(gè)函數(shù)存在原函數(shù),那么它的原函數(shù)是不唯一的.

原函數(shù)有如下特性:

(1)若函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù),則函數(shù)族F(x)+C(C為任意常數(shù))也是函數(shù)f(x)的原函數(shù);

(2)函數(shù)f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù).

上述特性表明,若函數(shù)f(x)有原函數(shù),則它必有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),若函數(shù)F(x)是其中一個(gè),則這無(wú)窮多個(gè)都可以寫成F(x)+C的形式.二、不定積分的概念01

定義4.1.2函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分,記作∫f(x)dx,其中符號(hào)∫為積分號(hào),f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量.

由定義4.1.2可知,f(x)的不定積分是f(x)的全體原函數(shù),是一族函數(shù).即若F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù),則∫f(x)dx=F(x)+C,其中,C為任意常數(shù),稱為積分常數(shù).三、不定積分的幾何意義01

從幾何上看,函數(shù)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖形是一條曲線.因此,不定積分

是一族曲線,稱為函數(shù)f(x)的積分曲線族.這一族積分曲線可以由其中任一條沿著y軸平行移動(dòng)而得到.在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)x處做切線,切線互相平行,其斜率都是f(x)(見(jiàn)圖4-1).四、不定積分的性質(zhì)01性質(zhì)4.1.1求不定積分與求導(dǎo)數(shù)(或微分)互為逆運(yùn)算.也就是說(shuō),不定積分的導(dǎo)數(shù)(或微分)等于被積函數(shù)(或被積表達(dá)式),例如對(duì)一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)求不定積分,其結(jié)果與此函數(shù)僅相差一個(gè)積分常數(shù),例如性質(zhì)4.1.2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子k可以提到積分符號(hào)的前面,即性質(zhì)4.1.3兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于它們不定積分的代數(shù)和,即上式可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情形,即第二節(jié)基本積分公式和

直接積分法02一、基本積分公式0201

不定積分與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算,因而可以由導(dǎo)數(shù)的基本公式對(duì)應(yīng)地得到不定積分的基本公式.二、直接積分法02

在求積分問(wèn)題時(shí),直接用基本積分公式進(jìn)行計(jì)算或者利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì),先將被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?包括代數(shù)變換和三角變換),再代入基本積分公式,便可求出一些函數(shù)的不定積分,通常把這種求不定積分的方法稱為直接積分法.第三節(jié)換元積分法03一、第一類換元積分法03

定理4.3.1(第一類換元積分法)設(shè)函數(shù)u=φ(x)可導(dǎo),若則

式(4.3.1)稱為不定積分的第一類換元積分公式.利用第一類換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱為第一類換元積分法.

第一類換元積分法的關(guān)鍵是要能從被積函數(shù)中分離出因式φ′(x),使φ′(x)與dx結(jié)合湊成微分dφ(x).因此也稱此換元積分法為湊微分法.可以形象地用公式表示為二、第二類換元積分法03

第一類換元積分法是將不定積分通過(guò)φ(x)=u變換成不定積分.但有時(shí)也可以將公式反過(guò)來(lái)使用,如果不定積分不易直接應(yīng)用基本積分公式計(jì)算,那么我們可以通過(guò)變量代換,令x=φ(t),將其化為比較容易計(jì)算的不定積分,這就是第二類換元積分法定理4.3.2(第二類換元積分法)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),x=φ(t)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)φ′(t),且φ′(t)≠0,t=φ-1(x)是其反函數(shù).若式(4.3.2)稱為不定積分的第二類換元積分公式.

第四節(jié)分部積分法0404

定理4.4.1設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)均具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)乘積的微分公式有d(uv)=udv+vdu,移項(xiàng)得udv=d(uv)-vdu,兩邊積分得這個(gè)公式稱為不定積分的分部積分公式.在使用時(shí),應(yīng)注意:(1)分部積分公式主要用來(lái)求解被積函數(shù)是兩類函數(shù)乘積的不定積分;下面舉例來(lái)說(shuō)明其應(yīng)用.第五節(jié)定積分的概念及性質(zhì)05一、曲邊梯形的面積05

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0),直線x=a,x=b(a<b)及y=0(x軸)所圍成的平面圖形AabB稱為曲邊梯形,其中在x軸上的線段ab稱為曲邊梯形的底邊,曲線弧AB稱為曲邊梯形的曲邊,如圖4-5所示.

由于曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上是不斷變化的,因而它的面積不能由公式“面積=底×高”求得.如何計(jì)算它的面積呢?

為了計(jì)算曲邊梯形的面積,我們可以先將它分割成若干個(gè)小曲邊梯形,在小曲邊梯形中f(x)的變化很小,可以用相應(yīng)的小矩形近似代替,用所有小矩形的面積之和可以近似代替整個(gè)曲邊梯形的面積.顯然,分割得越細(xì),近似程度就越高,當(dāng)無(wú)限細(xì)分時(shí),所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值.

根據(jù)以上分析,我們按下面的方法求曲邊梯形的面積.05

(1)分割———分曲邊梯形為n個(gè)小曲邊梯形.

如圖4-6所示,在[a,b]上任取n-1個(gè)內(nèi)分點(diǎn):a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b將區(qū)間[a,b]分割為n個(gè)小區(qū)間:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…,[xn-1,xn].

記每一小區(qū)間長(zhǎng)度為Δxi=xi-xi-1,過(guò)分點(diǎn)xi(i=1,2,…,n-1)作x軸的垂線,將曲邊梯形AabB分割為n個(gè)小曲邊梯形,其中第i個(gè)小曲邊梯形的面積記為ΔAi(i=1,2,…,n).05

(2)近似代替———用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積.設(shè)ΔAi表示第i個(gè)小曲邊梯形的面積,則曲邊梯形AabB的面積為

.在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上任意取一點(diǎn)ξi,以Δxi為底邊,f(ξi)為高的小矩形面積f(ξi)Δxi近似代替小曲邊梯形的面積,則有ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n),如圖4-6所示.05

(3)求和———求n個(gè)小矩形面積之和.

n個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積和是原曲邊梯形面積的一個(gè)近似值,即(4)取極限———由近似值過(guò)渡到精確值.分割得越細(xì),就越接近曲邊梯形的面積,若用來(lái)表示所有小區(qū)間中的最大區(qū)間長(zhǎng)度,當(dāng)分點(diǎn)數(shù)無(wú)限增大且λ→0時(shí),和式的極限就是曲邊梯形AabB的面積A,即

曲邊梯形的計(jì)算步驟為:采取分割、近似代替、求和、取極限的方法,最后歸結(jié)為同一種結(jié)構(gòu)的和式的極限.事實(shí)上,很多實(shí)際問(wèn)題的解決都可以采取這種方法,歸結(jié)為這種和式結(jié)構(gòu)的極限.現(xiàn)拋開(kāi)問(wèn)題的實(shí)際內(nèi)容,只從數(shù)量關(guān)系上的共性加以概括總結(jié),便得到了定積分的概念.二、定積分的概念05

定義4.5.1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,任取分點(diǎn)a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b將[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n).記Δxi=xi-xi-1(i=1,2,…,n)為區(qū)間長(zhǎng)度,,并在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi(xi-1≤ξi≤xi),得出f(ξi)Δxi的和式.若λ→0時(shí),和式的極限存在,且此極限值與區(qū)間[a,b]的分法及點(diǎn)ξi的取法無(wú)關(guān),則稱這個(gè)極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分,記為,即05

這里稱f(x)為被積函數(shù),f(x)dx為被積表達(dá)式,x為積分變量,[a,b]為積分區(qū)間,a為積分下限,b為積分上限.若f(x)在[a,b]上的定積分存在,則稱其在[a,b]上可積.

根據(jù)定義4.5.1,上述兩個(gè)實(shí)例可以分別寫成如下定積分的形式:

曲邊梯形的面積A用定積分可以表示為

變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程可以表示為05

關(guān)于定積分的定義,有以下說(shuō)明.

(1)定積分的值只與被積函數(shù)、積分區(qū)間有關(guān),與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān),即

(2)定義4.5.1中要求a<b,若a>b、a=b時(shí)有如下規(guī)定:即互換定積分的上、下限,定積分要變號(hào);定積分的上下限相等,定積分為零.

(3)定積分是一個(gè)數(shù),不定積分是一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)的全體.因此,定積分和不定積分是兩個(gè)完全不同的概念.

在怎樣的條件下,f(x)在[a,b]上的定積分一定存在呢?有下面的定理.05

定理4.5.1如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積.在有限區(qū)間上,函數(shù)連續(xù)是可積的充分條件,但不是必要條件.

如果f(x)在[a,b]上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則f(x)在[a,b]上可積.由此可知,初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是可積的.

定理4.5.2如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界.函數(shù)有界是可積的必要條件,無(wú)界函數(shù)一定不可積.05

在閉區(qū)間[a,b]上,若函數(shù)f(x)≥0,則曲邊梯形的圖形在x軸的上方,此時(shí)在幾何上表示由曲線y=f(x),直線x=a,x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積,積分值是正的,即,如圖4-7所示.特別地,在閉區(qū)間[a,b]上,若函數(shù)f(x)≡1,則在閉區(qū)間[a,b]上,若函數(shù)f(x)≤0,則曲邊梯形的圖形在x軸的下方,此時(shí)在幾何上表示由曲線y=f(x),直線x=a,x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù),積分值是負(fù)的,即如圖4-8所示.三、定積分的幾何意義05在閉區(qū)間[a,b]上,若f(x)有正有負(fù)時(shí),則積分值f(x)dx就表示曲線y=f(x)在x軸上方的面積減去x軸下方的面積,如圖4-9所示而曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的平面圖形的總面積為05四、定積分的性質(zhì)

設(shè)f(x),g(x)在[a,b]區(qū)間上可積,則根據(jù)定義可推證定積分有以下性質(zhì).

性質(zhì)4.5.1常數(shù)因子可直接提到積分符號(hào)前面,即

特別地,若函數(shù)f(x)≡1,則

性質(zhì)4.5.2代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和,即性質(zhì)4.5.3如果a<c<b,那么這一性質(zhì)稱為定積分的區(qū)間可加性,無(wú)論c∈[a,b],還是c?[a,b],性質(zhì)均成立.05

性質(zhì)4.5.4如果在[a,b]上有f(x)≥g(x),則注意:比較兩個(gè)定積分的大小,必須在同一積分區(qū)間上比較兩個(gè)被積函數(shù)的大小.

性質(zhì)4.5.5(估值定理)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值分別為M和m,則

性質(zhì)4.5.6(積分中值定理)設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使

幾何意義:設(shè)f(x)≥0,則由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積等于以區(qū)間[a,b]為底,以f(ξ)為高的矩形abcd的面積(見(jiàn)圖4-13).通常稱

為f(x)在[a,b]上的平均值.第六節(jié)定積分的基本公式0606一、變上限積分函數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),x為[a,b]上的任意一點(diǎn),則積分存在.當(dāng)x在區(qū)間[a,b]上變化時(shí),積分是上限x的函數(shù),稱為變上限的定積分,記作F(x).因?yàn)槎ǚe分與積分變量所用字母無(wú)關(guān),為了避免混淆,將積分變量用t表示,即x∈[a,b].變上限定積分的幾何意義,用F(x)表示右側(cè)一邊可以變動(dòng)的曲邊梯形的面積,F(x)隨著x的變化而變化,因而是x的函數(shù),如圖4-14所示.變上限積分函數(shù)有以下重要定理.06

定理4.6.1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則變上限的定積分

在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo),且這說(shuō)明F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù).由此可得到原函數(shù)存在定理.定理4.6.2若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則函數(shù)是函數(shù)f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).這個(gè)定理既肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的,又初步揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系.變上限積分函數(shù)的性質(zhì)不僅在證明微積分基本定理時(shí)有重要作用,在討論函數(shù)F(x)本身的性質(zhì)時(shí)也很重要.06二、牛頓-萊布尼茨公式

定理4.6.3如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且F(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則為了書寫方便,通常用

來(lái)表示F(b)-F(a),即

定理4.6.3稱為微積分基本定理,它揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系.公式(4.6.1)稱為牛頓-萊布尼茨公式,它為定積分的計(jì)算提供了有效的方法.計(jì)算函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分,就是計(jì)算f(x)的任一原函數(shù)在[a,b]上的增量.從而將計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù).第七節(jié)定積分的換元

法與分部積分法0707一、定積分的換元法

定理4.7.1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),函數(shù)x=φ(t)在區(qū)間[α,β]上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ′(t).當(dāng)t在[α,β]上變化時(shí),x=φ(t)在[a,b]上變化,且x=φ(α),b=φ(β),則

上式稱為定積分的換元公式.

這個(gè)公式與不定積分換元法類似,它們的區(qū)別是:不定積分換元求出積分后,需將變量還原為x,而定積分在換元的同時(shí),積分上下限也相應(yīng)地變化,求出原函數(shù)后不需將變量還原,直接根據(jù)新變量的積分限計(jì)算.

注意:換元必須換限.07二、定積分的分部積分法第八節(jié)

廣義積分0808一、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分———無(wú)窮積分08二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分———瑕積分08第九節(jié)定積分的應(yīng)用0909一、定積分應(yīng)用的微元法加性.步驟(2)是關(guān)鍵,這一步確定的ΔAi≈f(ξi)Δxi是被積表達(dá)式f(x)dx的雛形.這可以從以下過(guò)程來(lái)理解:由于分割的任意性,在實(shí)際應(yīng)用中,為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),對(duì)AA;≈f(ξ;)Ox;省略下標(biāo),得AA≈f(ξ)Qx,用[x,x+dx]表示[a,b]內(nèi)的任一小區(qū)間,并取小區(qū)間的左端點(diǎn)x為ξ，則0A的近似值就是以dx為底,f(x)為高的小.矩形的面積(如圖4-15所示的陰影部分),即ΔA≈f(x)dx09

通常稱f(x)dx為面積元素,記為dA=f(x)dx.

將步驟(3)(4)這兩步合并,即將這些面積元素在[a,b]上“無(wú)限累加”,就得到面積A,即一般說(shuō)來(lái),用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),通常按以下步驟來(lái)進(jìn)行:

(1)確定積分變量x,并求出相應(yīng)的積分區(qū)間[a,b];

(2)在區(qū)間[a,b]上任取一個(gè)小區(qū)間[x,x+dx],并在小區(qū)間上找出所求量F的微元dF=f(x)dx;

(3)寫出所求量F的積分表達(dá)式

，然后計(jì)算它的值.利用定積分按上述步驟解決實(shí)際問(wèn)題的方法稱為定積分的微元法.注意:能夠用微元法求出結(jié)果的量F一般應(yīng)滿足以下兩個(gè)條件.

(1)F是與變量x的變化范圍[a,b]有關(guān)的量;

(2)F對(duì)于[a,b]具有可加性,即如果把區(qū)間[a,b]分成若干個(gè)部分區(qū)間,則F相應(yīng)地分成若干個(gè)分量.09二、定積分的幾何應(yīng)用

(一)直角坐標(biāo)系下面積的計(jì)算

(1)由曲線y=f(x)和直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積的求法前面已經(jīng)介紹過(guò),此處不再敘述;

(2)設(shè)f(x)≥g(x),求由兩條曲線y=f(x),y=g(x)及直線x=a,x=b所圍成的平面圖形的面積A(見(jiàn)圖4-16).

下面用微元法求面積A.

①取x為積分變量,x∈[a,b].

②在區(qū)間[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx],該區(qū)間上小曲邊梯形的面積dA可以用高為f(x)-g(x),底邊為dx的小矩形的面積近似代替,從而得面積元素dA=[f(x)-g(x)]dx.

③寫出積分表達(dá)式,即09

(3)求由兩條曲線x=ψ(y),x=φ(y)[ψ(y)≤φ(y)]及直線y=c,y=d所圍成平面圖形(見(jiàn)圖4-17)的面積.這里取y為積分變量,y∈[c,d].

用類似(2)的方法可以推出:09

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行列式與矩陣第五章目錄行列式的概念01行列式的計(jì)算及克拉默法則02矩陣的概念03矩陣的運(yùn)算04CONTENTS

矩陣的秩與逆矩陣05分塊矩陣及其運(yùn)算06矩陣的初等變換07矩陣的MATLAB基礎(chǔ)知識(shí)08第一節(jié)行列式的概念01一、線性方程組與行列式0101

該行列式稱為二階行列式.它有兩行兩列,其中:橫寫的稱為行,豎寫的稱為列.行列式中的數(shù)aij稱為行列式的元素.aij中的第一個(gè)附標(biāo)i稱為行標(biāo),表示它在第i行;aij中的第二個(gè)附

標(biāo)j稱為列標(biāo),表示它在第j列.二階行列式是兩個(gè)項(xiàng)的代數(shù)和,其中一項(xiàng)是左上角到右下角的對(duì)角線(稱為主對(duì)角線)上兩個(gè)元素的乘積,帶正號(hào);另一項(xiàng)是右上角到左下角的對(duì)角線(稱為次對(duì)角線)上兩個(gè)元素的乘積.010101二、排列及其逆序數(shù)三、n階行列式01010304第二節(jié)行列式的計(jì)算

及克拉默法則02一、行列式的性質(zhì)020202020202二、行列式的計(jì)算02三、克拉默法則02第三節(jié)矩陣的概念030303第四節(jié)矩陣的運(yùn)算04一、矩陣的加法04二、數(shù)與矩陣相乘04三、矩陣與矩陣相乘0404根據(jù)定義,可以推出矩陣乘法的一些主要性質(zhì).0404四、矩陣的轉(zhuǎn)置04五、方陣的行列式第五節(jié)矩陣的秩與逆矩陣0505一、矩陣的秩050505二、逆矩陣第六節(jié)分塊矩陣及其運(yùn)算0606一、分塊矩陣06二、分塊矩陣的運(yùn)算(一)分塊矩陣的加法

設(shè)矩陣A與矩陣B有相同的行數(shù)與列數(shù),采用的分塊法相同,則它們對(duì)應(yīng)的子塊Aij與Bij有相同的行、列數(shù),于是有(二)分塊矩陣與數(shù)的乘法06二、分塊矩陣的運(yùn)算(三)分塊矩陣與分塊矩陣的乘法設(shè)A為m×l矩陣,B為l×n矩陣,分塊成其中,Ai1,Ai2,…,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,…,Btj的行數(shù),則06(四)分塊矩陣的轉(zhuǎn)置(五)分塊對(duì)角矩陣的行列式與逆矩陣

定義5.6.2設(shè)A為n階方陣,若A的分塊矩陣只有主對(duì)角線上有非零子塊,其余子塊都是零矩陣,且非零子塊都是方陣,即第七節(jié)矩陣的初等變換0707一、矩陣的初等變換與初等矩陣用消元法解線性方程組時(shí),經(jīng)常用到以下三種變換:(1)交換兩個(gè)方程的相對(duì)位置;(2)將一個(gè)方程兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù);(3)將一個(gè)方程兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù),再加到另一個(gè)方程上.由于這三種變換都是可逆的,因此變換前和變換后的方程組是同解的.我們將這三種變換稱為方程組的初等變