第二十二章圓(下)二正多邊形和圓22.3正多邊形的有關(guān)計算基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1正多邊形的相關(guān)概念及其畫法1.下列有關(guān)正多邊形的一些結(jié)論：①正多邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②正n邊形的中心角為360°n，且與每一個外角相等；③圓內(nèi)接菱形是正方形；④正n邊形有n條對稱軸.其中正確的個數(shù)為(A.1 B.2 C.3 D.42.用尺規(guī)畫正十二邊形時，先將半徑為R的圓等分，從而作出正六邊形，再將各邊所對的弧，最后，依次連接各分點(diǎn)，即可得到正十二邊形.

3.畫一個外接圓半徑為2cm的正五邊形，再作出這個五邊形的各條對角線，畫出一個五角星.知識點(diǎn)2正多邊形的有關(guān)計算4.(2023北京海淀十一學(xué)校月考)已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為()A.1 B.2 C.3 D.55.(2023北京豐臺二中期中)斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書·律歷志》記載：“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉.”意思是“斛的底面為正方形外接一個圓，此圓外是一個同心圓.”問題：如圖所示，現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”為兩寸五分(即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺)，則此斛底面的正方形的邊長為尺.

6.(2022北京海淀清華附中月考)如圖，☉O是正五邊形ABCDE的外接圓，點(diǎn)P為ED上的一點(diǎn)，則∠APC的度數(shù)為.

7.(2021江蘇句容期中)如圖，☉O的半徑為1，作兩條互相垂直的直徑AB、CD，弦AC是☉O的內(nèi)接正四邊形的一條邊.若以A為圓心，1為半徑畫弧，交☉O于點(diǎn)E、F，連接AE、CE，弦EC是該圓內(nèi)接正n邊形的一邊，則該正n邊形的面積為.

能力提升全練8.(2022四川綿陽中考)在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，將“雪花”圖案(邊長為4的正六邊形ABCDEF)放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，-3)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(2-23，3) B.(0，1+23) C.(2-3，3) D.(2-23，2+3)9.(2021河北中考)如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF對角線FD上一點(diǎn)，S△AFO=8，S△CDO=2，則S正六邊形ABCDEF的值是()A.20 B.30 C.40 D.隨點(diǎn)O位置而變化10.(2022江蘇宿遷中考)如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB=6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM=2.若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是.

11.(2023北京海淀期末)如圖，AB，AC，AD分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、正三角形的一邊.若AB=2，下面四個結(jié)論：①該圓的半徑為2；②AC的長為π2；③AC平分∠BAD；④連接BC，CD，則△ABC與△ACD的面積比為1∶3，其中所有正確結(jié)論的序號是.素養(yǎng)探究全練12.(2022浙江金華中考)如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法：如圖2.1.作直徑AF.2.以F為圓心，F(xiàn)O的長為半徑作圓弧，與☉O交于點(diǎn)M，N.3.連接AM，MN，NA.(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)△AMN是正三角形嗎?請說明理由；(3)從點(diǎn)A開始，以DN長為半徑，在☉O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值.

第二十二章圓(下)二正多邊形和圓22.3正多邊形的有關(guān)計算答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，而邊數(shù)是奇數(shù)的正多邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故①錯誤；∵正n邊形的中心角為360°n，每一個外角為360°n，∴正n邊形的中心角與每一個外角相等，故②正確；圓內(nèi)接菱形是正方形，故③正確；正n邊形有n條對稱軸，故④正確.故選2.答案六；平分3.解析畫法：(1)以O(shè)為圓心，OA=2cm為半徑畫圓；(2)以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA為一邊作∠AOB=72°，再依次作∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°，分別與圓交于點(diǎn)B、C、D、E；(3)連接AB、BC、CD、DE、EA，則五邊形ABCDE就是所要畫的正五邊形，如圖①；(4)連接AC、AD、BD、BE、CE，得五角星，如圖②.圖①圖②4.C如圖，連接OA，作OM⊥AB，則∠AOM=30°，OA=2，∴AM=1，根據(jù)勾股定理可得OM=OA2?AM2=22?125.答案2解析如圖，∵四邊形CDEF為正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE為小☉O的直徑，∠ECD=45°，由題意得AB=2.5尺，BE=AC=0.25尺，∴CE=2.5-0.25×2=2尺，∴CD=22CE=2尺6.答案72°解析如圖，連接OA，OC，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠AOC=360°5×2=144°，∴∠APC=12∠AOC=727.答案3解析如圖，連接OE，根據(jù)題意可知AB⊥CD，AE=AO=EO=1，∴∠AOC=90°，∠AOE=60°，∴∠EOC=30°，∴n=360°30°=12作EG⊥OC于點(diǎn)G，∴EG=12OE=1∴該正十二邊形的面積為12S△COE=12×12OC·EG=12×12×1×1能力提升全練8.A如圖，連接BD，CF交于點(diǎn)M，易知點(diǎn)B(2，1)，BD⊥CF.在Rt△BCM中，BC=4，∠BCM=12×120°=60°，∴CM=12BC=2，BM=32BC=23，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-(23-2)=2-23，縱坐標(biāo)為1+2=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2-23，3)，9.B如圖，設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為G，連接GC，GD，GE，GF，AC.易得△EFG，△DEG和△CDG都是等邊三角形，且全等，點(diǎn)C，G，F(xiàn)在同一條直線上，則S△CDG=S△DFG=16S正六邊形ABCDEF.易得四邊形ACDF是矩形，∵S△AFO=8，S△CDO=2，∴S矩形ACDF=2×(8+2)=20∴S△CDG=14S矩形ACDF=5，∴S正六邊形ABCDEF=6S△CDG=3010.答案47解析如圖，設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O，過點(diǎn)M、O作直線l交CD于點(diǎn)N，則直線l將正六邊形的面積平分，直線l被正六邊形所截的線段長是MN的長，連接OF，過點(diǎn)M作MH⊥OF于點(diǎn)H，連接OA，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=6，中心為O，∴AF=AB=6，∠AFO=12∠AFE=12×(6?2)×180°6=60°，MO∵OA=OF，∴△OAF是等邊三角形，∴OA=OF=AF=6，∵AM=2，∴MF=AF-AM=6-2=4，∵M(jìn)H⊥OF，∴∠FMH=90°-60°=30°，∴FH=12MF=12×4=2，MH=2∴OH=OF-FH=6-2=4，∴OM=MH2+OH∴NO=OM=27，∴MN=NO+OM=27+27=47.11.答案①③④解析如圖，設(shè)圓的圓心是O，半徑是r，連接OA，OB，OC，OD，作CM⊥AB交AB的延長線于M，CN⊥AD于N，∵AB是圓內(nèi)接正六邊形的一邊，∴AB所對的圓心角的度數(shù)=16×360°=60°∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=2，∴該圓的半徑為2，故①正確；∵AC是圓內(nèi)接正方形的一邊，∴AC所對的圓心角的度數(shù)=14×360°=90°∴BC所對的圓心角的度數(shù)=90°-60°=30°，∵AD是圓內(nèi)接正三邊形的一邊，∴AD所對的圓心角的度數(shù)=13×360°=120°∴CD所對的圓心角的度數(shù)=120°-90°=30°，∴BC=CD，∴∠BAC=∠CAD，∴AC平分∠BAD，故③正確；AC的長=90π×2180=π，故②錯誤易知AB=DB，∴OB⊥AD，∴AD=2AH，∵sin∠AOH=AHAO∴AH=AO·sin60°=32r，∴AD=2AH=3r∵AC平分∠BAD，∴CM=CN，∵S△ABC=12AB·CM=12r·S△ACD=12AD·CN=12·3r·∴S△ABC∶S△ACD=1∶3，故④正確.綜上，正確的有①③④.素養(yǎng)探究全練12.解析(1)∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC=(5?2)×180°5=108°，即∠ABC=108°(2)△AMN是正三角形.理由：連接ON，NF，如