二項式定理的應用單選題1、（2025屆山東省濱州市高三上期末）綻開式中項的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的綻開式通項為：當，即時，項的系數(shù)為：本題正確選項：2、（2024年高考北京）在的綻開式中，的系數(shù)為（）A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】綻開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.3、（2025屆山東省臨沂市高三上期末）的綻開式的中間項為（）A．-40 B． C．40 D．【答案】B【解析】的綻開式的通項為則中間項為.故選：B.4、（2025屆山東省濰坊市高三上期中）綻開式中的系數(shù)為（）A．-112 B．28 C．56 D．112【答案】D【解析】由．取，得．綻開式中的系數(shù)為．故選：D.5、（2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）（1+2x2）（1+x）4的綻開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．6、（2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）的綻開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】綻開式的通項公式為（且）所以的各項與綻開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C.7、（2024·吉林省吉大附中高二月考）若的綻開式中含有常數(shù)項，則的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由題意的綻開式的，令，得，當時，取到最小值5，故答案為C．8、（2025屆浙江省溫州市高三4月二模）若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】綻開式的通項為：，故，，依據(jù)對稱性知：.故選：.9、（2024·河北衡水中學高三月考）已知二項式的綻開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2︰5，則的系數(shù)為（）A．14 B． C．240 D．【答案】C【解析】二項綻開式的第項的通項公式為由綻開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系數(shù)為，故選C10、（2024·貴州省貴陽一中高三月考）在二項式的綻開式中,各項系數(shù)之和為,各項二項式系數(shù)之和為,且,則綻開式中常數(shù)項的值為（）A．18 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】令,可得各項系數(shù)之和;各項二項式系數(shù)之和;而=,解得;所以,其通項=,令,可得綻開式中常數(shù)項為.故選C.多選題11、（2024·棗莊市第三中學高三月考）對隨意實數(shù)x，有.則下列結論成立的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對隨意實數(shù)x，有[﹣1+2（x﹣1）]9，∴a222＝﹣144，故A正確；故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正確；令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正確；令x＝0，可得a0﹣a1+a2+…﹣a9＝﹣39，故D正確；故選：ACD.12、（2024·山東省日照試驗高級中學高三月考）對于二項式，以下推斷正確的有（）A．存在，綻開式中有常數(shù)項；B．對隨意，綻開式中沒有常數(shù)項；C．對隨意，綻開式中沒有的一次項；D．存在，綻開式中有的一次項.【答案】AD【解析】設二項式綻開式的通項公式為，則，不妨令，則時，綻開式中有常數(shù)項，故答案A正確，答案B錯誤；令，則時，綻開式中有的一次項，故C答案錯誤，D答案正確。故答案選AD13、對于二項式，以下推斷正確的有（）A．對隨意，綻開式中有常數(shù)項 B．存在，綻開式中有常數(shù)項C．對隨意，綻開式中沒有x的一次項 D．存在，綻開式中有x的一次項【答案】BD【解析】綻開式的通項為：，取，得到，故當是的倍數(shù)時，有常數(shù)項，故錯誤正確；取，取，時成立，故錯誤正確；故選：.14、（2024年徐州一中月考）對于的綻開式，下列說法正確的是（）A．綻開式共有6項 B．綻開式中的常數(shù)項是-240C．綻開式中各項系數(shù)之和為1 D．綻開式中的二項式系數(shù)之和為64【答案】CD【解析】的綻開式共有7項，故A錯誤；的通項為，令，綻開式中的常數(shù)項為，故B錯誤；令，則綻開式中各項系數(shù)之和為，故C正確；的綻開式中的二項式系數(shù)之和為，故D正確.故選：.

15、已知的綻開式中各項系數(shù)的和為2，則下列結論正確的有（）A．B．綻開式中常數(shù)項為160C．綻開式系數(shù)的肯定值的和1458D．若為偶數(shù)，則綻開式中和的系數(shù)相等【答案】ACD【解析】對于A，令二項式中的為1得到綻開式的各項系數(shù)和為，，故A正確；對于B，，綻開式的通項為，當綻開式是中常數(shù)項為：令,得可得綻開式中常數(shù)項為：，當綻開式是中常數(shù)項為：令,得(舍去)故的綻開式中常數(shù)項為.故B錯誤；對于C，求其綻開式系數(shù)的肯定值的和與綻開式系數(shù)的肯定值的和相等，令，可得：綻開式系數(shù)的肯定值的和為：.故C正確；對于D，綻開式的通項為，當為偶數(shù)，保證綻開式中和的系數(shù)相等①和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時和的系數(shù)相等，②和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時和的系數(shù)相等，③和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時和的系數(shù)相等，故D正確；綜上所在，正確的是：ACD故選：ACD.16、對于二項式，以下推斷正確的有（）A．存在，綻開式中有常數(shù)項；B．對隨意，綻開式中沒有常數(shù)項；C．對隨意，綻開式中沒有的一次項；D．存在，綻開式中有的一次項.【答案】AD【解析】設二項式綻開式的通項公式為，則，不妨令，則時，綻開式中有常數(shù)項，故答案A正確，答案B錯誤；令，則時，綻開式中有的一次項，故C答案錯誤，D答案正確。故答案選AD17、已知的綻開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等，且綻開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是（）A．綻開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B．綻開式中第6項的系數(shù)最大C．綻開式中存在常數(shù)項D．綻開式中含項的系數(shù)為45【答案】BCD【解析】由二項式的綻開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等可知,又綻開式的各項系數(shù)之和為1024,即當時,,所以,所以二項式為,則二項式系數(shù)和為,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為,故A錯誤；由可知綻開式共有11項,中間項的二項式系數(shù)最大,即第6項的二項式系數(shù)最大,因為與的系數(shù)均為1,則該二項式綻開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項的系數(shù)最大,故B正確；若綻開式中存在常數(shù)項,由通項可得,解得,故C正確；由通項可得,解得,所以系數(shù)為,故D正確,故選:BCD填空題18、（2024年高考全國III卷理數(shù)）的綻開式中常數(shù)項是__________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】其二項式綻開通項：當，解得的綻開式中常數(shù)項是：.故答案為：.（2025屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）二項式的綻開式中的常數(shù)項是_______.（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】有題意可得，二項式綻開式的通項為：令可得，此時.20、（2024·全國高三專題練習（理））在的綻開式中,含項的系數(shù)是_______.【答案】280【解析】的綻開式中：，取得到項的系數(shù)為故答案為：21、（2025屆山東省濰坊市高三上學期統(tǒng)考）在的綻開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中的常數(shù)項是．【答案】7【解析】本題考查二項式定理的學問，利用二項式的通項來解題.依據(jù)題意可得，，令，可得常數(shù)項為7.22、（2024年高考浙江卷理數(shù)）在二項式的綻開式中，常數(shù)項是__________；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是__________．【答案】【解析】由題意，的通項為，當時，可得常數(shù)項為；若綻開式的系數(shù)為有理數(shù)，則，有共5個項．故答案為：，．23、（2025屆山東省德州市高三上期末）的綻開式中，常數(shù)項為______；系數(shù)最大的項是______.【答案】【解析】的綻開式的通項為，令，得，所以，綻開式中的常數(shù)項為；令，令，即，解得，，，因此，綻開式中系數(shù)最大的項為.故答案為：；.24、（2024年高考浙江）二項綻開式，則_______，________．【答案】80；122【解析】的通項為，令，則，故；.故答案為：80；122.25、（2025屆浙江省嘉興市高三5月模擬）二項式的綻開式中，常數(shù)項為______，全部項的系數(shù)之和為______．【答案】416【解析】的綻開式的通項，令，解得，則常數(shù)項為；二項式中，令，得到，則全部項的系數(shù)之和為16.故答案為：4；16.25、（2025屆浙江省紹興市高三4月一模）已知，則_____，_______.【答案】0665【解析】因為，令可得：.所以：；；；；……；；故.故答案為：0，665.27、（2025屆浙江省之江教化評價聯(lián)盟高三其次次聯(lián)考）已知多項式，則_________，_________.【答案】416.【解析】令，得，設，則，則多項式等價為，則為一次項的系數(shù)，則，故答案為：4，16.28、（2025屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學期開學）若二項式的綻開式中各項系數(shù)之和為108，則________，有理項的個數(shù)為________．【答案】24【解析】中令可得，可得．中只有一項為有理項，因此綻開式中有理項是4個．故答案為：2；4.29、（2024·浙江溫州中學3月高考模擬）已知多項式滿意，則_________，__________．【答案】【解析】∵多項式滿意∴令，得，則∴∴該多項式的一次項系數(shù)為∴∴∴令，得故答案為5，72解答題30、（2024·湖北省江夏一中高二月考）已知二項式的綻開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2：5，按要求完成以下問題：（1）求的值；（2）求綻開式中常數(shù)項；（3）計算式子的值.【解析】（1）依題意，，即，解得；（2）由（1）知，∴，，由，得