第八節(jié)函數(shù)與方程課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的聯(lián)系，掌握函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖象交點(diǎn)(橫坐標(biāo))三者之間的靈活轉(zhuǎn)化.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.會(huì)用二分法求方程的近似解.從近三年高考情況來看，函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)個(gè)數(shù)的判斷、由零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)(方程的根)是否存在、利用函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)確定參數(shù)的取值范圍等是考查的熱點(diǎn)．本節(jié)內(nèi)容也可與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查，難度較大．預(yù)計(jì)2025年高考函數(shù)與方程仍會(huì)出題，可能以選擇題或填空題考查三種形式的靈活轉(zhuǎn)化，也可能與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查，難度較大.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．2．方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．3．函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有eq\x(\s\up1(01))f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解．4．二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且eq\x(\s\up1(02))f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)的近似值．函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)技巧：(1)若連續(xù)函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào)．(4)連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，不一定能推出f(a)f(b)<0.1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．()(2)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)<0.()(3)函數(shù)y＝f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．()(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，則f(x)無零點(diǎn)．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)(人教A必修第一冊(cè)4.5.1例1改編)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零點(diǎn)為1，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2答案B(2)下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是()答案A解析根據(jù)題意，利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件是函數(shù)在零點(diǎn)的左、右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，即圖象穿過x軸，據(jù)此分析，知選項(xiàng)A中的函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)．故選A.(3)(人教A必修第一冊(cè)習(xí)題4.5T2改編)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示，則該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為()x123456y126.115.15－3.9216.78－45.6－232.64A.2 B．3C．4 D．5答案B解析由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，6]上至少有3個(gè)零點(diǎn)．故選B.(4)若函數(shù)f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例1(1)(2024·湖南長沙長郡中學(xué)高三月考)函數(shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)閒(0)f(1)＝5(3－lg3)>0，f(1)f(2)＝(3－lg3)(1－lg5)>0，f(2)f(3)＝(1－lg5)(－1－lg7)<0，f(3)f(4)＝(－1－lg7)×(－3－lg9)>0，所以函數(shù)f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2，3)．故選C.(2)用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個(gè)近似解為________(精確度為0.01)．答案1.56(答案不唯一，在[1.5562，1.5625]上即可)解析注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，顯然f(1.5562)f(1.5625)＜0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56.【通性通法】確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．【鞏固遷移】1．(2023·廣東梅州高三二模)用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析令f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝log4x，y＝－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)>0，所以函數(shù)f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在區(qū)間(1，2)上有唯一零點(diǎn)，所以用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是(1，2)．故選B.2．已知2<a<3<b<4，函數(shù)y＝logax與y＝－x＋b的交點(diǎn)為(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________．答案2解析依題意，x0為方程logax＝－x＋b的解，即為函數(shù)f(x)＝logax＋x－b的零點(diǎn)，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴x0∈(2，3)，即n＝2.考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例2(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4，x≤1，,log2(x－1)，x>1，))則函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．答案2解析當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝x2－4＝0，可得x＝2(舍去)或x＝－2；當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)＝log2(x－1)＝0，可得x＝2.綜上所述，函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.(2)方程lnx＋cosx＝eq\f(1,3)在(0，1)上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為________．答案1解析解法一：lnx＋cosx＝eq\f(1,3)，即cosx－eq\f(1,3)＝－lnx，在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)y＝cosx－eq\f(1,3)和y＝－lnx的大致圖象，如圖所示，在(0，1)上兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程lnx＋cosx＝eq\f(1,3)在(0，1)上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為1.解法二：令f(x)＝lnx＋cosx－eq\f(1,3)，則f′(x)＝eq\f(1,x)－sinx，顯然在(0，1)上f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝lneq\f(1,e)＋coseq\f(1,e)－eq\f(1,3)＝－1－eq\f(1,3)＋coseq\f(1,e)<0，f(1)＝ln1＋cos1－eq\f(1,3)＝0＋cos1－eq\f(1,3)>coseq\f(π,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)>0，所以在(0，1)上函數(shù)f(x)的圖象和x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程lnx＋cosx＝eq\f(1,3)在(0，1)上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為1.【通性通法】求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個(gè)解，則f(x)有多少個(gè)零點(diǎn)．(2)構(gòu)造函數(shù)法：判斷函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷．(3)圖象法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時(shí)需要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍．【鞏固遷移】3．(2024·江蘇無錫模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lgx，x>0))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．答案2解析當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2－2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，零點(diǎn)為x＝－eq\r(2)；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－6＋lgx，∵y＝2x－6單調(diào)遞增，y＝lgx單調(diào)遞增，∴f(x)＝2x－6＋lgx單調(diào)遞增．f(1)＝－4<0，f(3)＝lg3>0，由零點(diǎn)存在定理知，在區(qū)間(1，3)必有唯一零點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.4．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－|log2x|的零點(diǎn)有________個(gè)．答案2解析f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－|log2x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＝|log2x|的根的個(gè)數(shù)，即為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)與y＝|log2x|圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出大致圖象如圖所示，則由圖象可知交點(diǎn)有2個(gè)，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有2個(gè)．考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用(多考向探究)考向1利用零點(diǎn)比較大小例3已知函數(shù)f(x)＝3x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)?)A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．b<c<a答案A解析解法一：因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x，y＝x均為R上的增函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝3x＋x為R上的增函數(shù)，因?yàn)閒(－1)＝eq\f(1,3)－1<0，f(0)＝1>0，所以－1<a<0.因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x，y＝x在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)＝log2x＋x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，因?yàn)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)<0，g(1)＝1>0，所以eq\f(1,2)<b<1.由h(c)＝c(c2＋1)＝0可得c＝0，因此a<c<b.故選A.解法二：由題設(shè)，3a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以問題可轉(zhuǎn)化為直線y＝－x與y＝3x，y＝log2x，y＝x3的圖象的交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知a<c＝0<b.故選A.【通性通法】(1)直接利用方程研究零點(diǎn)．(2)利用圖象交點(diǎn)研究零點(diǎn)．(3)利用零點(diǎn)存在定理研究零點(diǎn)．【鞏固遷移】5．(2023·江西南昌模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝lnx＋x－4的零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．c<a<b答案C解析由已知條件得f(x)的零點(diǎn)可以看成y＝2x的圖象與直線y＝4－x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，g(x)的零點(diǎn)可以看成y＝ex的圖象與直線y＝4－x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，h(x)的零點(diǎn)可以看成y＝lnx的圖象與直線y＝4－x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出函數(shù)y＝2x，y＝ex，y＝lnx，y＝4－x的圖象，如圖所示，由圖可知b<a<c.故選C.考向2根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)例4(2023·山東濟(jì)南高三三模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x＋1)2，x≤0，,|lgx|，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．(0，1] B．[0，1]C．(0，1) D．(1，＋∞)答案A解析依題意，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即f(x)＝b有四個(gè)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝b的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)y＝f(x)可知，當(dāng)x∈(－∞，－1]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，y∈[0，＋∞)；當(dāng)x∈(－1，0]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，y∈(0，1]；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，y∈(0，＋∞)；當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，y∈[0，＋∞)．結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)b的取值范圍為(0，1]．故選A.【通性通法】根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y＝g(x)，y＝h(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為y＝a，y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．【鞏固遷移】6．(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函數(shù)f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1 B．－1C．0 D．－2答案B解析函數(shù)f(x)＝2|x|＋x2＋a的定義域?yàn)镽，f(－x)＝2|－x|＋(－x)2＋a＝f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋x2＋a，則f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)min＝a＋1，由函數(shù)f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零點(diǎn)，得a＋1＝0，解得a＝－1，所以實(shí)數(shù)a的值為－1.故選B.7．設(shè)a∈R，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記f(x)＝min{|x|－2，x2－ax＋3a－5}．若f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案[10，＋∞)解析設(shè)g(x)＝x2－ax＋3a－5，h(x)＝|x|－2，由|x|－2＝0可得x＝±2.要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則Δ＝a2－12a＋20≥0，解得a≤2或a≥10.①當(dāng)a＝2時(shí)，g(x)＝x2－2x＋1，作出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象如圖所示，此時(shí)函數(shù)f(x)只有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)a<2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的2個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2(x1<x2)，要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則x2≤－2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)<－2，,g(－2)＝4＋5a－5≥0，))無解；③當(dāng)a＝10時(shí)，g(x)＝x2－10x＋25，作出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，符合題意；④當(dāng)a>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的2個(gè)零點(diǎn)分別為x3，x4(x3<x4)，要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則x3≥2，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)>2，,g(2)＝4＋a－5≥0，))解得a>4，所以a>10.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[10，＋∞)．考向3根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)例5已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在區(qū)間(1，3]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0))解析由于函數(shù)y＝log2(x＋1)，y＝m－eq\f(1,x)在區(qū)間(1，3]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(1，3]上單調(diào)遞增，由于函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－eq\f(1,x)＋m在區(qū)間(1，3]上有零點(diǎn)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(1)<0，,f(3)≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,m＋\f(5,3)≥0，))解得－eq\f(5,3)≤m<0.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，0)).【通性通法】根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)的方法(1)利用零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式(組)求解．(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解．(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的上下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式(組)求解．【鞏固遷移】8．(2024·湖北荊州中學(xué)高三月考)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋\f(1,2)))，若函數(shù)y＝f(x)－a在區(qū)間[－3，4]上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋\f(1,2)))，x∈[0，3)的圖象，可見f(0)＝eq\f(1,2)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)極大值＝eq\f(1,2)，方程f(x)－a＝0在[－3，4]上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a在[－3，4]上有10個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)f(x)的周期為3，因此直線y＝a與函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋\f(1,2)))，x∈[0，3)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則有a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·江蘇揚(yáng)中第二高級(jí)中學(xué)高三期初檢測)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x＋3x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f(－1)＝eq\f(1,2)－3＝－eq\f(5,2)<0，f(0)＝1＋0＝1>0，所以由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(－1，0)．故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()A．2 B．－2，0C.eq\f(1,2) D．0答案D解析當(dāng)x≤1時(shí)，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當(dāng)x>1時(shí)，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)(舍去)．綜上所述，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0.故選D.3．函數(shù)f(x)＝ex|lnx|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析令f(x)＝ex|lnx|－1＝0，即|lnx|＝e－x，則函數(shù)f(x)＝ex|lnx|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)y＝e－x與y＝|lnx|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，y＝e－x與y＝|lnx|的圖象如圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)＝ex|lnx|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選B.4．(2023·河南扶溝期末)若關(guān)于x的方程logeq\s\up-7(\f(1,2))x＝eq\f(m,1－m)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪(1，＋∞)答案B解析y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上為減函數(shù)，則1<y<2，即1<eq\f(m,1－m)<2，解得eq\f(1,2)<m<eq\f(2,3).故選B.5．已知三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x－1＋x－1，g(x)＝ex－1－1，h(x)＝log2(x－1)＋x－1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．c>b>a答案D解析∵函數(shù)f(x)＝2x－1＋x－1為增函數(shù)，又f(0)＝2－1－1＝－eq\f(1,2)<0，f(1)＝1>0，∴a∈(0，1)，由g(x)＝ex－1－1＝0，得x＝1，即b＝1，∵h(yuǎn)(x)＝log2(x－1)＋x－1在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＋eq\f(3,2)－1＝－eq\f(1,2)<0，h(2)＝log2(2－1)＋2－1＝1>0，∴eq\f(3,2)<c<2，∴c>b>a.故選D.6．若方程mx－x－m＝0(m>0，且m≠1)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0，1) B．(2，＋∞)C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞)答案D解析方程mx－x－m＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)y＝mx與y＝x＋m的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)m>1時(shí)，如圖1所示，由圖可知，當(dāng)m>1時(shí)，函數(shù)y＝mx與y＝x＋m的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)0<m<1時(shí)，如圖2所示，由圖可知，當(dāng)0<m<1時(shí)，函數(shù)y＝mx與y＝x＋m的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1，＋∞)．故選D.7．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[0，1] B．(－1，1)C．[0，1) D．(－∞，1]答案D解析由題意，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ex為增函數(shù)，其中f(0)＝1，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝lnx為增函數(shù)，且f(1)＝0，又由函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即為g(x)＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即y＝f(x)與y＝－x＋m的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)y＝－x＋m恰好過點(diǎn)(1，0)，(0，1)時(shí)，兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，要使得函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]．故選D.8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是()A．(1，10) B．(5，6)C．(10，12) D．(20，24)答案C解析函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，不妨設(shè)a<b<c，則－lga＝lgb＝－eq\f(1,2)c＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0<－eq\f(1,2)c＋6<1，所以ab＝1，10<c<12，所以10<abc<12.故選C.二、多項(xiàng)選擇題9．下列說法正確的是()A．函數(shù)y＝x2－3x－4的零點(diǎn)是(4，0)，(－1，0)B．方程ex＝3＋x有兩個(gè)解C．函數(shù)y＝3x，y＝log3x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)內(nèi)的近似解的過程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間(1.25，1.5)上答案BCD解析對(duì)于A，令y＝x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4，所以函數(shù)y＝x2－3x－4的零點(diǎn)是－1和4，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，分別作出y＝ex，y＝3＋x的圖象，y＝ex與y＝3＋x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程ex＝3＋x有兩個(gè)解，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橥讛?shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以函數(shù)y＝3x，y＝log3x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閥＝3x＋3x－8單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理知，因?yàn)閒(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以方程的根落在區(qū)間(1.25，1.5)上，故D正確．故選BCD.10．若關(guān)于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)m＝0時(shí)，x1＝2，x2＝3B．m>－eq\f(1,4)C．當(dāng)m>0時(shí)，2<x1<x2<3D．二次函數(shù)y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零點(diǎn)為2和3答案ABD解析對(duì)于A，易知當(dāng)m＝0時(shí)，(x－2)(x－3)＝0的根為2，3，故A正確；對(duì)于B，設(shè)y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，因?yàn)閥＝(x－2)(x－3)的圖象與直線y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)，所以m>－eq\f(1,4)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)m>0時(shí)，y＝(x－2)(x－3)－m的圖象由y＝(x－2)(x－3)的圖象向下平移m個(gè)單位長度得到，x1<2<3<x2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由(x－2)(x－3)＝m展開得，x2－5x＋6－m＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m可得y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝(x－2)(x－3)－m＋m＝(x－2)(x－3)，所以二次函數(shù)y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零點(diǎn)為2和3，故D正確．故選ABD.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x<1，,－4x2＋16x－13，x≥1，))函數(shù)g(x)＝f(x)－a，則下列結(jié)論正確的是()A．若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是[1，2)B．若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0，1)C．若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，則x3＋x4＝4D．若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，則x3x4的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(7,2)))答案BCD解析令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與y＝a圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，故作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由圖可知，若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是[1，2)∪{0}，故A錯(cuò)誤；若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0，1)，故B正確；若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，此時(shí)x3，x4關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以x3＋x4＝4，故C正確；由C項(xiàng)可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－xeq\o\al(2,4)＋4x4，由于g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，a的取值范圍是(0，1)，故0<－4xeq\o\al(2,4)＋16x4－13<1，所以eq\f(13,4)<－xeq\o\al(2,4)＋4x4<eq\f(7,2)，故D正確．故選BCD.三、填空題12．已知函數(shù)f(x)＝log2(x－1)＋a在區(qū)間(2，3)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案(－1，0)解析由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得f(x)為增函數(shù)，又函數(shù)f(x)在(2，3)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(2)f(3)<0，即a(a＋1)<0，解得－1<a<0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1，0)．13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|＋1，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)y＝f(x)－kx－1有m個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)y＝f(x)－eq\f(1,k)x－1有n個(gè)零點(diǎn)，且m＋n＝7，則非零實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪[3，＋∞)解析f(x)的圖象與直線y＝kx＋1和y＝eq\f(1,k)x＋1共7個(gè)交點(diǎn)，f(x)的圖象如圖所示，所以①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<k<3，,\f(1,k)≥3，))解得0<k≤eq\f(1,3)；②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<\f(1,k)<3，,k≥3，))解得k≥3.綜上，非零實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))∪[3，＋∞)．14．(2024·河北衡水中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,x－2)與g(x)＝1－sinπx，則函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－2，6]內(nèi)所有零點(diǎn)的和為________．答案16解析令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(1,x－2)與g(x)＝1－sinπx的圖象，如圖所示，又f(x)，g(x)的圖象都關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，結(jié)合圖象可知f(x)與g(x)的圖象在[－2，6]上共有8個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)，由對(duì)稱性可得，所有零點(diǎn)的和為4×2×2＝16.15．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)，x<0，,lnx，x>0，))則方程f(f(x))＋3＝0的解的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6答案C解析已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)，x<0，,lnx，x>0，))∴令f(x)＝－3，則當(dāng)x>0時(shí)，lnx＝－3，解得x＝eq\f(1,e3)；當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)＝－3，解得x＝eq\f(－3±\r(5),2).∵f(f(x))＋3＝0，即f(f(x))＝－3，則f(x)＝eq\f(1,e3)或f(x)＝eq\f(－3±\r(5),2).由f(x)＝eq\f(1,e3)，得lnx＝eq\f(1,e3)，此方程只有一個(gè)根，∵當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(1,x)≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，等號(hào)成立，∴f(x)＝eq\f(－3＋\r(5),2)僅在x>0時(shí)有一個(gè)根，f(x)＝eq\f(－3－\r(5),2)在x<0時(shí)有兩個(gè)根，在x>0時(shí)有一個(gè)根．綜上，方程f(f(x))＋3＝0的解的個(gè)數(shù)為5.故選C.16．(多選)(2024·湖北荊州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|log\f(1,2)x|，0<x<4，,4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))，4≤x≤14，))若方程f(x)＝m有四個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，則下列結(jié)論正確的是()A．0<m<2 B．x1x2＝eq\f(1,2)C．x3x4∈(48，55) D．x1x3∈(1，5)答案ACD解析對(duì)于A，當(dāng)0<x<1時(shí)，logeq\s\up-7(\f(1,2))x>0，則f(x)＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x，易得f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，且f(x)>f(1)＝0，當(dāng)1≤x<4時(shí)，logeq\s\up-7(\f(1,2))x≤0，則f(x)＝－logeq\s\up-7(\f(1,2))x，易得f(x)在[1，4)上單調(diào)遞增，且f(1)≤f(x)<f(4)，即0≤f(x)<2，當(dāng)4≤x≤14時(shí)，f(x)＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))，則由f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))，x∈[4，14]的圖象，可知f(x)在[4，8)上單調(diào)遞減，在[8，14]上單調(diào)遞增，且f(4)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋